張量分析總結(jié)

1、一、知識(shí)總結(jié)1 張量概念1.1 指標(biāo)記法啞標(biāo)和自由指標(biāo)的定義及性質(zhì)自由指標(biāo)：在每一項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，一個(gè)公式中必須相同。性質(zhì)：在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)兩次。啞標(biāo)：一個(gè)單項(xiàng)式內(nèi)，在上標(biāo)（向量指標(biāo)）和下標(biāo)（余向量指標(biāo)）中各出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次的指標(biāo)。性質(zhì)：?jiǎn)?biāo)可以把多項(xiàng)式縮寫成一項(xiàng)；自由指標(biāo)可以把多個(gè)方程縮寫成一個(gè)方程。例：(1.1)式(1.1)可簡(jiǎn)單的表示為下式：(1.2)其中：i為自由指標(biāo)，j為啞標(biāo)。特別區(qū)分，自由指標(biāo)在同一項(xiàng)中最多出現(xiàn)一次，表示許多方程寫成一個(gè)方程；而啞標(biāo)j則在同項(xiàng)中可出現(xiàn)兩次，表示遍歷求和。在表達(dá)式或者方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)中

2、出現(xiàn)兩次。1.2 Kronecker符號(hào)定義為：(1.3)的矩陣形式為：(1.4)可知。符號(hào)的兩指標(biāo)中有一個(gè)與同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相同時(shí)，可把該因子的重指標(biāo)換成的另一個(gè)指標(biāo)，而符號(hào)消失。如： (1.5)的作用：更換指標(biāo)、選擇求和。1.3 Ricci符號(hào)為了運(yùn)算的方便，定義Ricci符號(hào)或稱置換符號(hào)：(1.6)圖1.1 i,j,k排列圖的值中，有3個(gè)為1，3個(gè)為-1，其余為0。Ricci符號(hào)（置換符號(hào)）是與任何坐標(biāo)系都無關(guān)的一個(gè)符號(hào)，它不是張量。1.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換圖1.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如上圖所示，設(shè)舊坐標(biāo)系的基矢為，新坐標(biāo)系的基矢為。有 在下進(jìn)行分解： 在下進(jìn)行分解： 其中， 為新舊坐標(biāo)軸間的夾角余弦

3、，稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)。空間點(diǎn)P在新老坐標(biāo)系矢徑：(1.7)其中為上圖中坐標(biāo)原點(diǎn)的位移矢量。將向新坐標(biāo)軸上投影的矢量的分量：由此得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的公式：(1.8)類似地，將向老坐標(biāo)上投影，可以推導(dǎo)出老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的公式：(1.9)特別的，當(dāng)新舊坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，也即坐標(biāo)軸僅發(fā)生旋轉(zhuǎn)，此時(shí)，上兩式的矩陣形式為：(1.10)由上可知， ，是正交矩陣，則。 綜合以上可知： (1.11)同理，可推出：將老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換稱為正轉(zhuǎn)換，； 將新坐標(biāo)到老坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換稱為正轉(zhuǎn)換，其中為常數(shù)，稱為雅克比行列式。若J處處不為0，則說明存在相應(yīng)的逆變化，即：1.5 張量的分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換規(guī)律1.5.1 一階張

4、量一階張量在新老坐標(biāo)系中的分解為：(1.12)其中：(1.13)則：(1.14)得到：(1.15)同理：(1.16)得：(1.17)矢量是與一階基矢相關(guān)聯(lián)的不變量，可表示為一階基矢的線性組合，此組合與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，故為一階張量，標(biāo)量為零階張量。 二階張量定義為二階基矢，寫在一起，不作任何運(yùn)算。由下式：(1.18)可得坐標(biāo)變換時(shí)二階基矢的轉(zhuǎn)換規(guī)律為：(1.19)又：(1.20)記：，(1.21)則：(1.22)該式表示 a 與 b 并乘為一個(gè)坐標(biāo)不變量，稱為二階張量。記為：(1.23)將式(1.13)代入上式可得：(1.24)此分量轉(zhuǎn)換可進(jìn)一步推廣到高階張量。張量與坐標(biāo)軸選擇無關(guān)，故可獨(dú)立于

5、坐標(biāo)系來表述。2 張量的代數(shù)運(yùn)算2.1 張量的加減假如A、B為同階張量，將它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系下的同類型分量一一相加（減），得到的結(jié)果即為它們的和（差），記為，例如：(2.1)顯然，同階張量進(jìn)行加減運(yùn)算后仍為同階張量。2.2 標(biāo)量與張量的積張量A，標(biāo)量，若，則：(2.2)2.3 張量的并積兩個(gè)同維不同階（同階）張量A、B的并積C是一個(gè)階數(shù)為A、B階數(shù)之和的高階張量。(2.3)(2.4)(2.5)式(1.10)中：(2.6)2.4 張量的縮并若對(duì)某張量中任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，則張量將縮并為低二階的新張量。，有。取不同基矢量點(diǎn)積，縮并結(jié)果不同。2.5 張量的點(diǎn)積兩個(gè)張量先并乘后縮并的運(yùn)算稱為點(diǎn)積。如下

6、：(2.7)(2.8)(2.9)其中，(2.10)2.6 指標(biāo)的轉(zhuǎn)換對(duì)于張量，若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序，得到一個(gè)與原張量同階的新張量。如下式所示：(2.11)指標(biāo)轉(zhuǎn)換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到，如下式所示：(2.12)2.7 張量的商法則張量T，如果它滿足對(duì)于任意一個(gè)q階張量S的內(nèi)積均為一個(gè)p階張量U，即在任意坐標(biāo)系內(nèi)以下等式成立，則T必定是一個(gè)p+q階的張量。以上規(guī)則稱為張量的商法則。3 二階張量二階張量是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常遇到的一類張量，例如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量、變形梯度張量和正交張量等。3.1 二階張量的矩陣(1) 任何一二階張量T總可以按其分量寫成矩陣形式：(3.

7、1)二階張量與矩陣雖然有上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，但它們并非全能一一對(duì)應(yīng)。首先，矩陣并非只包括方陣，而二階張量只能對(duì)應(yīng)方陣；其次，在一般坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)置張量與轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱（或反對(duì)稱）張量與對(duì)稱（或反對(duì)稱）矩陣不能一一對(duì)應(yīng)；第三，二階張量的某些運(yùn)算不完全能用矩陣的運(yùn)算與之互相對(duì)應(yīng)。(2) 二階張量T的轉(zhuǎn)置張量TT為：(3.2)(3) 二階張量的行列式二階張量對(duì)應(yīng)的矩陣具有行列式值：由于兩個(gè)互為轉(zhuǎn)置的矩陣的行列式值相等，故兩個(gè)互為轉(zhuǎn)置的張量的行列式相等(4) 二階張量的代數(shù)運(yùn)算與矩陣的代數(shù)運(yùn)算張量的相等、相加、標(biāo)量與張量相乘等代數(shù)運(yùn)算均與矩陣運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)；二階張量與矢量的點(diǎn)積；二階張量與二階張量的點(diǎn)積。以上運(yùn)

8、算都可以表示成對(duì)應(yīng)的矩陣運(yùn)算，但二階張量的有些運(yùn)算沒有相應(yīng)的矩陣運(yùn)算，例如并乘運(yùn)算。3.2 幾種特殊的張量3.2.1零二階張量零二階張量將任意矢量映射為零矢量，它是一種特殊的退化的二階張量。零二階張量對(duì)應(yīng)的矩陣為：(3.3)(3.4)式中，左端的O是零二階張量，右端的0為零矢量。3.2.2 度量（單位）張量G(3.5)度量張量將任意矢量映射為原矢量，即：(3.6)度量張量與任意二階張量的點(diǎn)積仍為該張量本身，即：(3.7)因此，有些書中將度量張量記作I或1。3.2.3球形張量主對(duì)角分量為，其余分量為零的二階張量稱為球形張量。它是數(shù)與單位張量的數(shù)積，即： (3.8)3.2.4轉(zhuǎn)置張量二階張量由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得的新張量稱為張量B的轉(zhuǎn)置張量。若同時(shí)轉(zhuǎn)換二階張量B的分量指標(biāo)和基矢順序，結(jié)果仍為B。三階張量有三種不同的轉(zhuǎn)置張量，任意對(duì)換i，j，k得到：(3.9)3.2.5對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量對(duì)稱張量，轉(zhuǎn)置張量等