華師大版初二數(shù)學勾股定理的16種證明方法

1、勾股定理的證明【證法 1】（課本的證明）abba做 8 個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為ba、b,斜邊長為 c, 再做三個邊長分別為 a、b、c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是 a + b,所以面積相等.即2 2121a2b24 ab = c24 ab22222，整理得a+b=c.【證法 2】（鄒元治證明）以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B 三點在一條直線上，B、F、C 三點在一條直線上，C、G、D 三點在一條直線上. R

2、tAHAE 也 RtAEBF, / AHE = / BEF. / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四邊形 EFGH 是一個邊長為 c 的正方形.它的面積等于 c2.-RtAGDH / HGD =-/ HGD + / EHA +-/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2個邊長為 a + b 的正方形，它的面積等于（a + b）.（a +b2=4漢ab +c22也 RtAHAE, /EHA./ GHD = 90o,/ GHD = 90o.又 ABCD 是【證法 3】 （趙爽

3、證明）A、E、Ba2b2= c2C以 a、b 為直角邊（ba）,以 c 為斜 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角1ab三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀 RtADAH 也 RtAABE, / HDA = / EAB. / HAD + / HAD = 90 o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD 是一個邊長為 c 的正方形，它的面積等于 c2.EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o.2EFGH 是一個邊長為 ba 的正方形，它的面積等于 b-a .12 24漢ab + （ba）=c2. a2+b2=c2【證法 4】（1876

4、年美國總統(tǒng) Garfield 證明）以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角又 / DAE = 90o, / EBC = 90o,AD / BC.ABCD 是一個直角梯形，它的面積等于 2（b）1(Hb f =1ah-c22 2 21ab形的面積等于2在一條直線上. RtAEAD/ ADE = / AED +/ AED +.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使也 RtACBE,/ BEC./ ADE = 90o,/ BEC = 90o./ DEC = 180o 90o= 90o.ADEC是一個等腰直角三角形,三占-1c它的面積等于2a2b2=c2A、*【證法

5、 5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a b，斜邊長為 c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D、E、F 在一條直線上.過 C 作 AC 的延長線交 DF于點 P. D、E、F 在一條直線上,且 RtAGEF 也 Rt EBD, /EGF =/BED, /EGF +/GEF = 90, /BED +/GEF = 90, /BEG =180o90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG 是一個邊長為 c 的正方形. /ABC +/CBE = 90o. RtAABC 也 RtAEBD, /ABC =/EBD. /EBD +/CB

6、E = 90o.即/ CBD= 90o.又/BDE = 90o,ZBCP = 90o,BC = BD = a. BDPC 是一個邊長為 a 的正方形.同理，HPFG 是一個邊長為 b 的正方形. 設多邊形 GHCBE 的面積為 S,貝 Ua2bS 2 -ab,2a2+b2=c2.【證法 6】（項明達證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 邊長為 c.再做一個邊長為 c 的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形,C 三點在一條直線上.E過點Q作QP/ BC,交AC于點P. 過點B作BM丄PQ,垂足為M ;再過點 F 作 FN 丄 PQ,垂足為 N. / BCA = 90o, QP

7、/ BC, / MPC = 90o, BM 丄 PQ, / BMP =90o, BCPM 曰 / QBM +/ ABC + / QBM =又/ BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c , RtABMQ 也 RtABCA.同理可證 RtAQNF 也 RtAAEF.c2= S 2 -ab2a、 b（ba）， 斜 使E、A、APIL、b即/ MBC = 90o./ QBA = 90o,/ MBC = 90o,個矩形，/ MBA = /MBA = /ABC ,從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 4】（梅文鼎證明）1【證法 7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為 a b、c 的正方形，把

8、它們拼成如圖所示形狀，使 H、B 三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過 C 作 CL 丄 DE, 交 AB 于點 M，交 DE 于點L. AF = AC，AB = AD，/ FAB = / GAD， FAB 也 GAD，12aFAB 的面積等于2， GAD 的面積等于矩形 ADLM的面積的一半，矩形 ADLM 的面積=a2.同理可證，矩形 MLEB 的面積=b2.c2=a2+b2，即a2+b2=c2.【證法 8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在 Rt ABC 中，設直角邊 AC、 長為 c,過點C 作 CD 丄 AB，垂足是 D.在厶 ADC 和厶 ACB 中, /ADC =/ACB = 9

9、0o,/ CAD = / BAC，ADCs ACB.AD : AC = AC : AB，即AC2= AD AB.2同理可證， CDBs ACB，從而有BC =BD AB. AC2+BC2=(AD+DB )AB = AB2，即a2+b2=c2【證法 9】（楊作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b（ba），斜邊 長為 c.再做一個邊長為 c 的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過 A 作 AF 丄 AC，AF交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R.過 B 作 BP 丄 AF，垂足為 P.過 D 作 DE 與 CB 的延長線垂直，垂足為 E, DE 交 AF 于 H

10、. /BAD = 90o,ZPAC = 90o, ./DAH =/BAC.又/DHA = 90o,ZBCA = 90o,AD = AB = c,.RtADHA 也 RtBCA.C、正方形 ADEB 的面積=矩形 ADLM 的面積+矩形 MLEB 的面積BC 的長度分別為 a、b，斜邊 AB 的DcRHP4536cc9 2 c1.DH = BC = a, AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一個矩形,所以 RtAAPB 也 Rt BCA.即 PB = CA = b, AP= a,從而 PH = b a. RtADGT 也 RtABCA ,RtADHA 也 RtABCA. RtADG

11、T 也 RtADHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又 / DGT = 90o,/ DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH 是一個邊長為a 的正方形.GF = FH = a . TF 丄 AF , TF = GT GF = b a . TFPB 是一個直角梯形，上底 TF=ba,下底 BP= b,高 FP=a +（b a）. 用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以 c 為邊長的正方形的面積為.RtAHGF 也 RtABDC.即S7=.過 Q 作 QM 丄 AG，垂足是 M .由/ BAQ =

12、 / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtAABE 也 RtAQAM .又 RtAHBT 也2c二S|S2S3S4S5S8S3S411 la亠ib - a b2ab=2,S5- S8S9-1ab - S82把代入，得c2二 S,S2b2- S=b2S2S)=a b cS3S4 =bb2-S S8-S8SsS9b2a2a、直線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）-/TBE =/TBH =/ABH = 90o, /ABE.又/BTH =/BEA = :90o,BT = BE =b,RtAHBT 也 RtAABE.HT = AE =a.GH = GT

13、HT = ba.又/GHF +/BHT = :90o,/DBC +/BHT =:/TBH +z-/GHF =/DBC. DB = EB- ED = ba,/HGF =/BDC = =90o,【證法 10】（李銳證明設直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（ba），斜邊的長為 分別為 a、b、c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、BHTc.做三個邊長G 三點在一條Ss= S5RtAABE 也 RtAQAM，又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE./AQM +/FQM = 90o，ZBAE +/CAR = 90o，ZAQM =/BAE， /FQM=/CAR./QMF =/

14、ARC = 90o，QM = AR = a，RtAQMF 也 RtAARC.即S4二S6.2=3 + S2+ S3+ S4+ S5a = 3 + S6bS8 S5S4 S6, , ,=5 S6S3S7S8Rt ABE.所以 Rt HBT 也 RtAQAM .即 由又S72aa2-S3S7S8=S2b2b2=S|S4S3S2S5=c2,=c2【證法 11】（利用切割線定理證明）在 RtAABC 中，設直角邊 BC = a，AC = b，斜邊 AB = c.如圖，以 B 為圓 心 a為半徑作圓，交 AB 及 AB 的延長線分別于 D、E,則 BD = BE = BC = a.因 為/ BCA =9

15、0o,點 C 在。B 上，所以 AC 是。B 的切線.由切割線定理，得AC2=AE *AD=AB BE AB - BD=c a c -a2=c=c2b2即b2/.a22-a2_a,2【證法12】（利用多列米定理證明）在 RtAABC 中，設直角邊 BC = a，AC = b，斜邊 AB = c （如圖）.過點 A 作 AD/ CB，過點 B 作 BD / CA，貝 U ACBD 為矩形，矩形 ACBD 內(nèi)接于一個圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有AB *DC =AD BC +AC *BD， AB = DC = c， AD = BC = a， AC = BD =

16、 b， AB2二BC2AC2，即c2二a2b2，/. a2+b2= c2【證法 13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在 RtAABC 中，設直角邊 BC = a，AC = b,切圓。0,切點分別為 D、E、F（如圖），設。O 的半徑為 r. AE = AF , BF = BD , CD = CE,-AC BC - AB 二 AE CE BD CD - AF BF斜邊 AB = c.作 Rt ABC 的內(nèi)CE CD= r + r = 2r,a b -c = 2ra b = 2r ca b $ = 2rS.ABC= 2ab2ab=4SABC，長為 c,過點 C 作 CD 丄 AB，垂足是 D.假設a

17、2bc2，即假設AC2BC2AB2二AB AB=ABAD BD =ABADAB * BD可知 AC $ =AB * AD,或者 BC $ =AB * BD.即 AD : AC豐AC: AB ,或者 BD : BCMBC:AB.在AADC 和AACB 中, /A =/A,.若 AD : AC 工 AC : AB，貝 U/ ADCMZACB.在ACDB 和AACB 中,Z B=Z B,若 BD : BCMBC: AB，貝 UZ CDBMZACB.又ZACB = 90o,ZADCM90o,ZCDBM90o.這與作法 CD 丄 AB 矛盾.所以，AC a2+b2=c2SABC = S AOB SB O

18、C S A OC-2r c c r=2=4 r2rc =4SABC,4 r2rc 二 2ab ,a2b22ab二2ab c2,【證法 14】（利用反證法證明）如圖，在 Rt ABC 中，設直角邊又r21cr21 ,ar br2rca2b2=c2AC、BC 的長度分別為 a、b,斜邊 AB 的a b 2ab = 4 r rc cc2，-AB2，則由-BC J AB2的假設不能成立.abb2ab【證法 15】（辛卜松證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b,斜邊的長為c.作邊長是 a+b 的正 方形 ABCD .把正方形 ABCD 劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形 ABCD2 2 2的面積為a b=a b 2ab;把正方形 ABCD 劃分成上方右圖所示的幾個212(a+b)=4H-ab+c22=2ab+c2./ ADC = 90 o.作 AB / DC, CB / DA，則 ABCD 是一個邊長為 c 的正方形.部分，則正方形 ABCD 的面積為a2b22ab = 2ab c2a2b2二c2【證法 16】(陳杰證明)設直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b(ba)，斜邊的長為 分別為 a、b 的正方形(ba),把它們拼成如圖所示形狀，使 條直線上.用