很好的拉普拉斯變換講解

1、第7章 拉普拉斯變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數線性微分方程的一種簡便的方法，而且在自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用本章將扼要地介紹拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）的基本概念、主要性質、逆變換以及它在解常系數線性微分方程中的應用7.1拉氏變換的基本概念在代數中，直接計算是很復雜的，而引用對數后，可先把上式變換為，然后通過查常用對數表和反對數表，就可算得原來要求的數這是一種把復雜運算轉化為簡單運算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡的做法7.1.1 拉氏變換的基本概念定義 設函數當時有定義，若廣義積分在的某一區(qū)域內收斂，則此積分就確定了一個參量為的函數，記作，即（7

2、-1）稱（7-1）式為函數的拉氏變換式，用記號表示函數稱為的拉氏變換(Laplace) (或稱為的象函數)函數稱為的拉氏逆變換（或稱為象原函數），記作，即關于拉氏變換的定義，在這里做兩點說明：(1) 在定義中，只要求在時有定義為了研究拉氏變換性質的方便，以后總假定在時，（2）在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數是在復數范圍內取值為了方便起見，本章我們把作為實數來討論，這并不影響對拉氏變換性質的研究和應用（3）拉氏變換是將給定的函數通過廣義積分轉換成一個新的函數，它是一種積分變換一般來說，在科學技術中遇到的函數，它的拉氏變換總是存在的例7-1 求一次函數（為常數）的拉氏變換解 7.1.2 單位

3、脈沖函數及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產生的電流時，要涉及到我們要介紹的脈沖函數，在原來電流為零的電路中，某一瞬時(設為)進入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上的電流，以表示上述電路中的電量，則由于電流強度是電量對時間的變化率，即，所以，當時，；當時，上式說明，在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠用來表示上述電路的電流強度為此，引進一個新的函數，這個函數稱為狄拉克函數定義 設，當0時，的極限稱為狄拉克（Dirac）函數，簡稱為函數當時，的值為；當時，的值為無窮大，即和 的圖形如圖7-1和圖7-2所示顯然，對任何，有，所以 工程技術中，常將函數稱為單位脈沖函數，有些工程書上，將

4、函數用一個長度等于的有向線段來表示（如圖7-2所示），這個線段的長度表示函數的積分，叫做函數的強度例7-2 求的拉氏變換解 根據拉氏變換的定義，有，即例7-3 求單位階梯函數的拉氏變換解 ，例7-4求指數函數（為常數）的拉氏變換解 ，即類似可得；習題71求1-4題中函數的拉氏變換1234是常數）7.2 拉氏變換的性質拉氏變換有以下幾個主要性質，利用這些性質，可以求一些較為復雜的函數的拉氏變換性質1 (線性性質) 若 ，是常數，且，則 （7-2）證明 例7-5 求下列函數的拉氏變換：（1）； （2）解（1）（2）性質2（平移性質） 若，則（為常數） （7-3）證明 位移性質表明：象原函數乘以等于

5、其象函數左右平移個單位例7-6 求 ，和 解 因為，由位移性質即得性質3（滯后性質） 若，則 （7-4）證明 =，在拉氏變換的定義說明中已指出，當時，因此，對于函數，當（即）時，所以上式右端的第一個積分為，對于第二個積分，令，則滯后性質指出：象函數乘以等于其象原函數的圖形沿軸向右平移個單位（如圖7-3所示）由于函數是當時才有非零數值故與相比，在時間上滯后了一個值，正是這個道理，我們才稱它為滯后性質在實際應用中，為了突出“滯后”這一特點，常在這個函數上再乘，所以滯后性質也表示為例7-7 求解 因為，由滯后性質得例7-8 求解 因為，所以例7-9 求下列函數的拉氏變換：（1） （2）解 （1）由圖

6、7-4容易看出，當時，的值是在的基礎上加上了（），即故可把寫成，于是（2）仿（1），把寫成，于是我們可以用拉氏變換定義來驗算例7-9所得的結果由例7-9看出，用單位階梯函數可將分段函數的表達式合寫成一個式子例7-10 已知，求解：如圖7-5所示，可用單位階梯函數表示為，于是，由拉氏變換定義來驗證：性質4（微分性質） 若，并設在0，+上連續(xù)，為分段連續(xù)，則 (7-5)證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得，可以證明，在存在的條件下，必有 因此，微分性質表明：一個函數求導后取拉氏變換等于這個函數的拉氏變換乘以參數，再減去函數的初始值應用上述結果，對二階導數可以推得同理，可得以此類推，可得 （7-6）

7、由此可見，各階導數的拉氏變換可以由的乘方與象函數的代數式表示出來特別是當初值時，有更簡單的結果 （7-7）利用這個性質，可將的微分方程轉化為的代數方程例7-11 利用微分性質求和解 令，則，由7-6式，得，即，移項化簡得利用上述結果，及（7-5）式，可得性質5（積分性質） 若，且設連續(xù)，則 （7-8）證明 令，顯見，且因，由微分性質，得，而，所以有，即積分性質表明：一個函數積分后再取拉氏變換，等于這個函數的象函數除以參數例7-12 求（是正整數）解 因為， ，所以由（7-8）式即得一般地，有性質6 若，則時 （7-9）性質7 若，則 （7-10）性質8 若，且存在，則 （7-11）例7-13

8、求解 因為，由（7-10）式可得例7-14 求解 因為，而且，所以由（7-11）式可得即因此，當時，得到一個廣義積分的值這個結果用原來的廣義積分的計算方法是得不到的現(xiàn)將拉氏變換的八個性質和在實際應用中常用的一些函數的象函數分別列表如下：表7-1 拉氏變換的性質序號設123(a>0)456（a>0）78表7-2 常用函數的拉斯變換表序號1123456789101112131415161718192021習題7-2求5-12題中函數的拉氏變換5 67 89 10 11 127.3 拉氏變換的逆運算前面我們主要討論了怎樣由已知函數求它的象函數的問題運算法的另一面是已知象函數要求它的象原函

9、數，這就是拉斯逆變換問題同時把常用的拉氏變換的性質用逆變換形式一一列出性質1（線性性質） 性質2（平移性質） 性質3（滯后性質） 例7-15 求下列象函數的逆變換：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）將代入表二（5），得 （2）由性質及表二（4），得（3）由性質及表二（2）、（3），得（4）由性質及表二（9）、（10），得例7-16 求的逆變換解在運用拉氏變換解決工程技術中的應有問題時，通常遇到的象函數常常是有理分式，對于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡單的分式之和，然后再利用拉氏變換表求出象原函數例7-17求的逆變換解 先將分解為兩個最簡分式之和：，用待定系數法求得，所

10、以，于是例7-18 求的逆變換解 先將分解為幾個簡單分式之和：，用待定系數法求得，所以，于是習題7-3求13-18題中函數的拉氏逆變換13 1415 1617 187.4 拉氏變換應用舉例下面舉例說明拉氏變換在解常微分方程中的應用例7-19 求微分方程滿足初值條件的解解 第一步 對方程兩邊取拉氏變換，并設：，將初始條件代入上式，得這樣，原來的微分方程經過拉氏變換后，就得到了一個象函數的代數方程第二步 解出：=第三步 求象函數的拉氏逆變換：這樣就得到了微分方程的解由例7-19可知，用拉氏變換解常系數線性微分方程的方法的運算過程如表7-3：象函數的代數方程常系數線性微分方程作拉氏變換解代數方程象原函數（微分方程的解）象函數求拉氏逆變換例7-20 求微分方程滿足初值條件的解解 對所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換設，則得將初值條件代入，得到的代數方程，即解出，得將上式分解為部分分式，再取拉氏逆變換，就得到滿足所給初值條件的方程的特解為用拉氏變換還可以解常系數線性微分方程組習題 7-4用拉氏變換求解19-22題中的微分方程19202122本章內容本章主要內容為：1拉氏變換的概念和性質；拉氏變換的逆變換2拉氏變換與逆變換之間有如下框圖所示的關系：拉氏變換拉斯變換