角動(dòng)量守恒及其應(yīng)用

1、智浪教育普惠英才文庫“角動(dòng)量守恒”及其應(yīng)用 在研究“質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某一定點(diǎn)或軸線運(yùn)動(dòng)”這類問題時(shí)，我們常利用“角動(dòng)量守恒定律”來處理此類問題?！敖莿?dòng)量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，應(yīng)用該定律來處理力學(xué)問題在近幾年的全國中學(xué)生物理競(jìng)賽中屢屢出現(xiàn)。從反饋情況來看，能否靈活應(yīng)用“角動(dòng)量守恒”成為解題的“瓶頸”。幫助學(xué)生認(rèn)清該定律的內(nèi)容及其規(guī)律并能夠適當(dāng)?shù)刈兪教幚泶祟悊栴}，無疑對(duì)參加全國中學(xué)物理競(jìng)賽有很大的幫助。下面就“角動(dòng)量守恒”及其應(yīng)用作一些簡(jiǎn)單探討。OmP圖1r1 角動(dòng)量守恒定律11質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)量為P，相對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為L(zhǎng)，其值，其中是質(zhì)點(diǎn)

2、的動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考點(diǎn)0的位置矢量r的夾角。其角動(dòng)量的變化量等于外力的沖量矩（M為外力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩），即。若M=0，得=0，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。12質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，且處于慣性系中，可以推導(dǎo)出作用于各質(zhì)點(diǎn)諸力對(duì)參考點(diǎn)的外力矩的沖量，仍等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量的變化量，即。同樣當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。如果n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，處于非慣性系中，只要把質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心取作參考點(diǎn)，上述結(jié)論仍成立。13角動(dòng)量守恒的判斷mmmMDBCAV0圖2當(dāng)外力對(duì)參考點(diǎn)的力矩為零，即時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。有四種情況可判斷角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)或

3、質(zhì)點(diǎn)系不受外力。所有外力通過參考點(diǎn)。每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。甚至某一方向上的外力矩為零，則在這一方向上滿足角動(dòng)量守恒。內(nèi)力對(duì)參考點(diǎn)的力矩遠(yuǎn)大于外力對(duì)參考點(diǎn)的合力矩，即內(nèi)力矩對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響遠(yuǎn)超過外力矩的影響，角動(dòng)量近似守恒。2 角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用例題1 （第23屆物理競(jìng)賽復(fù)賽第2題）如圖2所示，一根質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿，長(zhǎng)為2l，兩端和中心處分別固連著質(zhì)量為m的小球B、D和C，開始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一質(zhì)量為M的小球A，以一給定速度v0沿垂直于桿DB的方向與右端小球B作彈性碰撞。求剛碰后小球A、B、C、D的速度，并詳細(xì)討論以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況。本

4、題粗看是一類彈性碰撞類問題，利用動(dòng)量守恒、能量守恒及桿子牽連速度來求解。但本題涉及4個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)系，未知量多，利用上述關(guān)系還不能求解。挖掘題中的守恒規(guī)律成為本題的難點(diǎn)，且守恒規(guī)律不易挖掘。解析 小球A、B碰撞瞬間，球A擠壓B，其作用力方向垂直于桿，使球B獲得沿方向的速度。從而在碰撞瞬間使小球C、D的速度也沿方向。對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A組成的系統(tǒng)，碰撞前后動(dòng)量守恒。由于小球C位于由B、C、D三球組成的質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心處，所以小球C的速度也就是質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心速度?？傻茫?（1）質(zhì)點(diǎn)組B、C、D與A是彈性碰撞，碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能相等。碰撞后A、B、C、D的速度分別為、，得 （2）對(duì)質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在

5、碰撞瞬間，在B處受到A球的作用力，若取B（與B球重合的空間固定點(diǎn)）為參考點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)組B、C、D在碰撞前后，外力矩等于零，所以質(zhì)點(diǎn)組角動(dòng)量守恒?？傻茫?（3）由桿的剛性條件有： （4）由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得 （5） （6） （7） （8）碰撞后各小球的運(yùn)動(dòng)碰撞后，質(zhì)點(diǎn)組B、C、D不受外力作用，其質(zhì)心作勻速運(yùn)動(dòng)，即，碰撞后，B、D兩小球?qū)⒗@小球C作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度的大小為方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。由（6）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向與M、m的大小有關(guān)，由于M、m取值不同而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)情形比較復(fù)雜，即可以使；且；情景的出現(xiàn)，在此不作詳細(xì)討論。圖3例題2 （第20屆物理競(jìng)賽復(fù)賽第1題

6、）如圖3所示，a為一固定放置的半徑為R的均勻帶電球體，O為其球心己知取無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零時(shí)，球表面處的電勢(shì)為U=1000 V在離球心O很遠(yuǎn)的O點(diǎn)附近有一質(zhì)子b，它以 Ek2000 eV 的動(dòng)能沿與O¢O平行的方向射向a以l表示b與O¢O線之間的垂直距離，要使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值把質(zhì)子換成電子，再求l的最大值解析 質(zhì)子在運(yùn)動(dòng)過程中受到a球?qū)λ膸靵隽ψ饔?，且?guī)靵隽偸峭ㄟ^a球的球心。類似這樣的力我們稱之為有心力。如取球心O為參考點(diǎn)，則其作用力對(duì)O的力矩始終為零，即質(zhì)子在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。即在有心力作用下角動(dòng)量守恒。圖4v如圖4所示，令

7、表示質(zhì)子的質(zhì)量，和分別表示質(zhì)子的初速度和到達(dá)a球球面處的速度，表示元電荷。質(zhì)子在b處的角動(dòng)量為；到達(dá)球a表面時(shí)的角動(dòng)量為所以得： （1） 質(zhì)子從b運(yùn)動(dòng)到a，能量守恒，由于無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)能為零，故得： （2） 由式（1）、（2）可得 代入數(shù)據(jù)，可得 若把質(zhì)子換成電子，此時(shí)式（2）中改為。同理可求得 圖5mMO例題3 如圖5所示，滑輪兩邊懸掛的重物與盤的質(zhì)量相同，均為M，處于靜止?，F(xiàn)有距盤底高為h質(zhì)量為m的膠泥自由下落，求膠泥粘在盤上時(shí)盤獲得的初速度。不計(jì)滑輪與繩質(zhì)量，及軸承摩擦和繩的伸長(zhǎng)。解析 對(duì)盤、重物、膠泥組成的質(zhì)點(diǎn)系，在膠泥下落過程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸心O的外力矩為膠泥的重力矩。當(dāng)膠泥與盤碰撞時(shí)，碰撞內(nèi)力對(duì)O的內(nèi)力矩遠(yuǎn)大于膠