平面向量中常見的結(jié)論與專項訓(xùn)練

1、平面向量中常見的結(jié)論與專項訓(xùn)練第一部分:知識點梳理1.線段定比分點公式：如圖，設(shè). （注：）1）則定比分點向量式：2）定比分點坐標(biāo)式：設(shè)P（x,y）（分點），P1（x1,y1）（起點），P2（x2,y2）（終點）。則特例：當(dāng)=1時，就得到中點公式： ，實際上，對于起點相同，終點共線三個向量，（O與P1P2不共線），總有=u+v，u+v=1，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數(shù)和為1。 2.設(shè)、不共線，點P在AB上，則=+且+=1，、R.，不共線，若=+，且+=1，R，R，求證：A、B、P三點共線.提示：證明與共線.當(dāng)=時，=（+），此時P為AB的中點，這是向量的中點公式.3若

2、A（x1,y1）、B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)4.向量模的坐標(biāo)形式：=;5.求向量的夾角：cos=注：為銳角,不同向；為直角；為鈍角,不反向.6.平面兩點間的距離公式：已知A（x1,y1）、B（x2,y2）=8.三角形的四個“心”：重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.9.三角形中向量性質(zhì)： 1）過邊的中點.2）； 為的重心； 為的垂心； 所在直線過內(nèi)心.10.（1）；（2）.但可以推出：。11.三角形重心坐標(biāo)公式：ABC的頂點，重心坐標(biāo)：注意：在ABC中，若0為重心，則，這是

3、充要條件.12.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.13.設(shè)、是平面內(nèi)不共線的兩向量，若，則。14.設(shè)、是平面內(nèi)不共線的兩向量，15.不共線向量無除法運算。16.首尾相接的向量之和：17.在ABC中，18.直線的方向向量有無數(shù)個。其中，（1，k）與是較特殊的兩個。為直線的傾斜角、k為直線的斜率。19.重要結(jié)論：1），則三點、P、Q共線。 2）若點P為AB的中點。20.四邊形中的向量問題：1）平行四邊形兩對角線的平方之和等于四邊平方之和。即2）在四邊形ABCD中，若四邊形ABCD為平行四邊形。注：

4、若在平面中，若，則推不出ABCD為平行四邊形，有可能四點共線。3）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為菱形。4）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為菱形。5）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為梯形。6）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為矩形。7）在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD為矩形。三范例剖析例1 已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求點C、D和向量的坐標(biāo)變式訓(xùn)練1 已知點，點在線段的中垂線上，則點的橫坐標(biāo)的值是 例2 已知一個平行四邊形的頂點，對角線的交點為，則它的另外兩個頂點的坐標(biāo)為 變式訓(xùn)練2 已知P1(3,2)，P2（8，3），

5、若點P在直線P1P2上，且滿足|P1P|=2|PP2|，求點P的坐標(biāo)。例3 已知三角形的三個頂點為，（1）求三邊的長；（2）求邊上的中線的長；（3）求重心的坐標(biāo)；（4） 求的平分線的長；例4平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：（1）求滿足的實數(shù)m,n；（2）若，求實數(shù)k；（3）若滿足，且，求四鞏固訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中作矩形,已知,則的值為 .2.設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，則 .3.（2010遼寧文8）平面上三點不共線，設(shè),則的面積= .4.(2010北京市海淀區(qū)高三統(tǒng)一練習(xí))若向量a，b滿足：(a-b)(2a+b)=-4,且 |a|=2,|b|=4，則a與b的夾角等于_.5

6、.已知非零向量且， 則ABC為 6.已知，且關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是 _. 7.等邊的邊長為1,設(shè),則_.8.函數(shù)的圖象按向量平移后與的圖象重合,則函數(shù)_.9.把函數(shù)的圖象按向量平移，所得的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是_.10.已知中,點在邊上,且,則的值_.11.在中，為中線上的一個動點，若，則的最小值是_.12.記向量（1）求兩向量的數(shù)量積（2）令函數(shù)，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值。13.過的重心任作一直線分別交于點，若，求證： 14.已知向量向量與向量的夾角為，且（1）求向量（2）若向量與向量的夾角為向量，其中為依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。附錄：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設(shè) 是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是