平面向量解三角形培優(yōu)教案

1、第05講 平面向量、解三角形 溫故知新 知識要點一平面向量向量：分值在10分左右，一般有一道小題的純向量題，另外在函數(shù)、三角、解析幾何與立體幾何中均可能結(jié)合出題。向量是新增的重點內(nèi)容，它融代數(shù)特征和幾何特征于一體，能與三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何自然交匯、親密接觸。在處理位置關(guān)系、長度、夾角計算上都有優(yōu)勢，向量作為代數(shù)與幾何的紐帶，理應(yīng)發(fā)揮其坐標運算與動點軌跡、曲線方程等綜合方面的工具性功能，因此加大對向量的考查力度，充分體現(xiàn)向量的工具價值和思維價值，應(yīng)該是今后高考命題的發(fā)展趨勢。向量和平面幾何的結(jié)合是高考選擇、填空題的命題亮點，向量不再停留在問題的直接表達水平上，而與解析幾何、函數(shù)、三

2、角等知識有機結(jié)合將成為一種趨勢，會逐漸增加其綜合程度?！疽c梳理】要點一：向量的有關(guān)概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度)2向量的表示方法：(1)字母表示法 (2)幾何表示法 (3)坐標表示法3相等向量：長度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等兩向量與相等，記為4零向量：長度為零的向量叫零向量零向量只有一個，其方向是任意的5單位向量：長度等于1個單位的向量單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量6共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量任一組共線向量都可以移到同一直線上規(guī)定：與任一向量共線注：共線向量又稱

3、為平行向量7相反向量： 長度相等且方向相反的向量要點二、向量的運算1運算定義運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y22運算律(交換律)； (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：； ；兩個向量的數(shù)量積：·=·； ()·=·()=(·)；(+)·=·+·3運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，

4、有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合)(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長度)； (垂直的判斷)； (求角度) Ø 典例分析 例1|=1，|=2，= + ，且，則向量與的夾角為( )A30° B60° C120° D150°【解析】設(shè)所求兩向量的夾角為，即：所以例2給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為90°如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓

5、弧上運動若xy，其中x、yR，則xy的最大值是_【解析】設(shè)AOC，則COB90°，cos ·sin ·，即xycos sin sin例3在RtABC中，BCA90°，CACB1，P為AB邊上的點，且，若··，則的取值范圍是() A，1 B，1 C， D，【解析】直角ABC中，BCA=90°，CA=CB=1，以C為坐標原點CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，如圖：C（0，0），A（1，0），B（0，1），=，0，1，1+2+2224+10，解得：，0，1，1 故選：B例4對任意兩個非零的平面向量和，定義若平面向量滿足，與的

6、夾角，且和都在集合中，則=（ ）A B1 C D.【解析】 = , 即， = 選C例5設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個命題：給定向量，總存在向量，使；給定向量和，總存在實數(shù)和，使； 給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實數(shù)，使；給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是（ ）A1B2C3D4.【解析】選項，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，故總存在向量，使，故正確；選項，當向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故可知正確；選項，取=（4，4），=2，=（1，0）

7、，無論取何值，向量都平行于x軸，而向量的模恒等于2，要使成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量的縱坐標一定為4，故找不到這樣的單位向量使等式成立，故錯誤；選項，因為和為正數(shù)，所以和代表與原向量同向的且有固定長度的向量，這就使得向量不一定能用兩個單位向量的組合表示出來，故不一定能使成立，故錯誤故選B例6已知向量a，b(cos x，1)(1)當ab時，求cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范圍【解析】(1)ab，cos xsin x0，tan xco

8、s2xsin 2x(2)f(x)2(ab)·bsin，由正弦定理，可得sin A，Af(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A)故所求范圍為1，例7已知 ，若 點是 所在平面內(nèi)一點，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，即，所以，因此，因為，所以 的最大值等于，當，即時取等號學霸說向量在整個高中數(shù)學里面是一個工具性的知識，首先要弄懂向量的基本知識，然后對于向量與解析幾何等綜合知識要依據(jù)向量的基本，根據(jù)高中知識體系交叉綜合進行靈活變形Ø 舉一反三1設(shè)為單位向量，(1)若為平面內(nèi)的某個

9、向量，則；(2)若與平行，則；(3)若與平行且，則上述命題中，假命題個數(shù)是( )A0 B1 C2 D3【解析】D2如圖所示，D是ABC的邊AB上的中點，則向量( )A BC D【解析】，故選A3. 在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若SABC=（其中SABC表示ABC的面積），且（+）=0，則ABC的形狀是（）A有一個角是30°的等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】如圖，在邊AB，AC上分別取點D，E，使，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，則：四邊形ADFE為菱形，連接AF，DE，AFDE，且；AFBC；又DEAF；DEBC，且AD=A

10、E；AB=AC，即b=c；延長AF交BC的中點于O，則：，b=c；4c2a2=a2；a2=2c2=b2+c2；BAC=90°，且b=c；ABC的形狀為等腰直角三角形故選：D4與向量的夾角相等，且模為1的向量是 ( )A B 或C D或【解析】設(shè)所求平面向量為，由或時，當時，；當時，故平面向量與向量的夾角相等故選B5如圖，已知圓M：（x3）2+（y3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是（）A B6，6 C D4，4【解析】解：因為圓M：（x3）2+（y3）2=4，圓心的坐標（3，3）半徑為2，所以|ME

11、|=，|OM|=3，=，=6cos（OME）6，6，的取值范圍是6，6故選B6 如圖，在ABC中，AFAB，D為BC的中點，AD與CF交于點E若a，b，且xayb，則xy_【解析】如圖，設(shè)FB的中點為M，連接MD因為D為BC的中點，M為FB的中點，所以MDCF因為AFAB，所以F為AM的中點，E為AD的中點方法一因為a，b，D為BC的中點，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab所以x，y，所以xy方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF因為ba，所以(ba)ab所以x，y，則xy 知識要點二解三角形1 三角形常用公式：ABC；Sab sin Cbc sin Aca sin

12、B；2三角形中的邊角不等關(guān)系: A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；3正弦定理：2R（外接圓直徑）；正弦定理的變式：；abcsin Asin Bsin C4正弦定理應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角幾何作圖時，存在多種情況如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：(1)A為銳角 一解 兩解 一解(2)A為銳角或鈍角當時有一解5余弦定理：6余弦定理應(yīng)用范圍：（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊7三角形的面積公式：

13、（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）（2）absinCbcsinAacsinB；Ø 典例分析例1已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對邊，且a2c2b2ac(1)求角B的大??；(2)若c3a，求tan A的值【解析】(1)a2c2b2ac，cos B0<B<，B(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba由余弦定理，得cos A0<A<，sin A，tan A方法二將c3a代入a2c2b2ac，得ba由正弦定理，得sin Bsin A由(1)知，B，sin A又ba>a，B>A，cos Atan A方法三c

14、3a，由正弦定理，得sin C3sin AB，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A， tan A例2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos ，·3(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值【解析】 (1)cos ，cos A2cos21，sin A又·3，bccos A3，bc5SABCbcsin A×5×2(2)由(1)知，bc5，又bc6，根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A361

15、010×20，a2例3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2(1)當p，b1時，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍【解析】(1)由題設(shè)并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B因為0<cos B<1，所以p2，由題設(shè)知p>0，所以<p<例4在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，則A的取值范圍是()A(0， B，) C(0， D，)【解析】根據(jù)正弦定理，

16、由sin2Asin2Bsin2CsinBsinC得a2b2c2bc，根據(jù)余弦定理cosA，又0<A<，0<A，故選C.例5在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周長為5，求b的長【解析】（1）由正弦定理2R知，即cosAsinB2cosCsinB2cosBsinCcosBsinA，即sin(AB)2sin(BC)，又由ABC知，sinC2sinA，所以2.(2)由(1)知2，c2a，則由余弦定理得b2a2(2a)22·a·2acosB4a2b2a，a2a2a5，a1，b2.Ø 舉一反三1在

17、ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，則A()A30° B60° C120° D150°【解析】由sinC2sinB可得c2b，由余弦定理得cosA，于是A30°，故選A.2如圖，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sin C的值為()A B C D【解析】設(shè)AB=a，則在ABD中，在BDC中，=故答案為：3 在ABC中，(1)證明：BC；(2)若cos A，求sin的值【解析】(1)證明在ABC中，由正弦定理及已知得于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即

18、sin(BC)0因為<BC<，從而BC0所以BC(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A又0<2B<，于是sin 2B從而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B所以sinsin 4Bcos cos 4Bsin 4 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀【解析】(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4又ABC的面積為，absin C，ab4聯(lián)立方程

19、組解得a2，b2(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當cos A0時，0<A<，A，ABC為直角三角形；當sin Asin B0時，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形或直角三角形5 在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2cos 2A(1)求A的度數(shù)；(2)若a，bc3，求b、c的值【解析】(1)BCA，即，由4sin2c

20、os 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20cos A，又0°<A<180°，A60°(2)由A60°，根據(jù)余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3，b2c22bc9整理得：bc2解聯(lián)立方程組得或課堂闖關(guān)Ø 初出茅廬 l 建議用時：10分鐘1 已知向量(2,2)，(4,1)，點P在x軸上，·取最小值時P點坐標是()A(3,0) B(1,0) C(2,0) D(3,0)2 等腰直角三角形ABC中，A，ABAC2，M是BC的中

21、點，P點在ABC內(nèi)部其邊界上運動，則·的取值范圍是( )A1,0 B1,2 C2，1 D2,03若點M是ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足53，則ABM與ABC的面積比為()A B C D4在ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，則的值為()A B C D15 ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A2 B2 C D6在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c若6cos C，則的值是_7在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若其面積S(b2c2a2)，則A_參考答案：1-5：DDCAD 64；7；&

22、#216; 優(yōu)學學霸 l 建議用時：15分鐘1如圖，O為ABC的外心，AB=4，AC=2，BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則的值為（）A4 B5 C7 D62設(shè)，是兩個非零向量則下列命題為真命題的是（）A若|+|=|，則 B若，則|+|=|C若|+|=|，則存在實數(shù)，使得=D若存在實數(shù)，使得=，則|+|=|3設(shè)、為非零向量，下列等恒成立的個數(shù)有（）（）=（）；（）（）=0；22=（+）（）；+=（+）（+）A1個 B2個 C3個 D4個4ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A2 B2 C D5在ABC中，若A60°，b1

23、，SABC，則的值為()A B C D6 定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的=（m，n），=（p，q），令=mqnp，給出下面五個判斷：若與共線，則=0；若與垂直，則=0；=；對任意的R，有；（）2+（）2=|2|2其中正確的有 （請把正確的序號都寫出）7. ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2()，1)，且mn.(1)求角B的大??；(2)若a，b1，求c的值參考答案：1-5：BCC D B 6；7. B或，c2或c1.考場直播 1【2015·湖南】已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC若點P的坐標為(2

24、，0)，則|的最大值為()A6 B7 C8 D9【解析】由A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，AC為圓直徑，故2(4，0)，設(shè)B(x，y)，則x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，x1時有最大值7，故選B2【2011·廣東高考】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則()A B C1 D2【解析】B 可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)×43×20，所以3【2015高考陜西】對任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）A BC D【解析】因為，所以選項A正確；當與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；，所以選項D正確故選B4