常微分方程與差分方程解法歸納

1、常微分方程解法歸納1. 一階微分方程部分 可分離變量方程（分離變量法）如果一階微分方程中的二元函數(shù)可表示為的形式，我們稱為可分離變量的方程。對于這類方程的求解我們首先將其分離變量為的形式，再對此式兩邊積分得到從而解出的解，其中C為任意常數(shù)。具體例子可參考書本P10P11的例題。一階線性齊次、非齊次方程（常數(shù)變易法） 如果一階微分方程中的二元函數(shù)可表示為的形式，我們稱由此形成的微分方程為一階線性微分方程，特別地，當(dāng)時我們稱其為一階線性齊次微分方程，否則為一階線性非齊次微分方程。對于這類方程的解法，我們首先考慮一階線性齊次微分方程，這是可分離變量的方程，兩邊積分即可得到，其中C為任意常數(shù)。這也是一

2、階線性非齊次微分方程的特殊情況，兩者的解存在著對應(yīng)關(guān)系，設(shè)來替換C，于是一階線性非齊次微分方程存在著形如的解。將其代入我們就可得到這其實也就是，再對其兩邊積分得，于是將其回代入即得一階線性微分方程的通解。具體例子可參照書本P16P17的例題。一階齊次型微分方程（變量代換）如果一階微分方程中的二元函數(shù)滿足對于一切非零實數(shù)都有等式成立，我們稱一階微分方程為一階齊次型微分方程。對于此類微分方程的解法，我們一般利用變量代換的方法將其化為一階可分離變量的方程然后再相應(yīng)求解。事實上，如果我們令于是。于是一階齊次型微分方程可表示為然后令將其化為一階可分離變量微分方程。具體過程如下：令，代入方程可得也就是，它

3、的通解是易求得的，求出它的通解之后將回代就可得到一階齊次型微分方程的通解。當(dāng)然，有時候我們令于是。于是一階齊次型微分方程可表示為也就是此時令，代入方程可得然后再依次求解。有時候后者的代換方法會更簡潔，當(dāng)然兩者的解法本質(zhì)上是沒有區(qū)別的，具體求解時可以靈活地運用。具體例子可參看書本P20P22的例題。伯努利方程（變量代換）如果一階微分方程中的二元函數(shù)滿足等式，我們就稱由此形成的微分方程為伯努利方程。對于此類方程的求解，我們可以通過變量替換將其轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程求解。我們可以在方程兩邊同除以，可以將方程變形為即。我們令，于是方程即利用一階線性微分方程的通解可得的通解，再將回代就得到了伯努利方程的

4、通解。具體例子可參照書本P22P23的例題。變量代換方法的應(yīng)用-其他類型的齊次微分方程形如的方程也是齊次方程。對于這種類型的方程通過簡單的代換就可以化為一階齊次型微分方程來進行求解。我們討論更一般的情形，對于形如的齊次方程，我們令，其中為待定常數(shù)，可得，可以選取適當(dāng)?shù)氖沟卯?dāng)時，有唯一解，可以化上面的方程為齊次方程，求解此方程，并將代回就得到齊次方程的解。當(dāng)時要分兩種情況討論。情況一：若，則。原方程可以化為。令則得到變量可分離的方程，然后按照相應(yīng)的解法即可求解。情況二：若，則中至少有一個為0.當(dāng)時，原方程為是可變量分離的方程，按照相應(yīng)的解法即可求解。當(dāng)時，可以令，原方程就變?yōu)榱诉@是可變量分離的方

5、程，按照相應(yīng)的解法即可求解。具體例子可參看書本P24P25的例題。2. 可降階的高階微分方程部分（主要討論二階微分方程） 形如的微分方程對于形如的微分方程，我們可以連續(xù)對等式兩邊積分n次便可以求得其含有n個任意常數(shù)的通解為。具體例子可參看書本P28例題。形如的微分方程一般二階微分方程可以表示為，當(dāng)因變量不顯含時形成了如的不顯含因變量的二階微分方程。我們可以通過變量代換來進行降階。我們令，于是方程可化為，這是一個以為未知函數(shù)，以為自變量的一階微分方程，我們可以容易求得。設(shè)其通解為，則。兩邊積分就得到原方程的通解為。其中為任意常數(shù)。具體可參看書本P28P30例題（注意例4?。┬稳绲奈⒎址匠膛c不顯含

6、因變量的二階微分方程的定義類似，我們把形如的微分方程稱為不含自變量的二階微分方程。我們?nèi)匀煌ㄟ^變量代換來求解此類方程。我們令，于是方程可化為，這是一個關(guān)于的一階微分方程，我們可以容易求得。設(shè)其通解為，則由可得，兩邊積分就得到原方程的通解為。其中為任意常數(shù)。具體例子可參看書本P32P34例題。注：在可降階的微分方程求解問題中，在消去所設(shè)的變元如時我們一定要注意是否會丟失的解。3. 線性微分方程在介紹線性微分方程的解法之前有必要先介紹線性微分方程解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。我們直接介紹階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。對于區(qū)間上的個函數(shù)，若存在個不全為0的常數(shù)使得在上有，我們就稱這個函數(shù)在區(qū)間上是線性相關(guān)的，否

7、則就是線性無關(guān)的。此外對于階線性微分方程的系數(shù)都為常數(shù)是我們稱該方程為階線性常系數(shù)方程，否則為階線性變系數(shù)方程。進一步細分，對于自由項，若就稱原方程為階線性齊次方程，否則為階線性非齊次方程。若函數(shù)是階線性齊次方程的個線性無關(guān)的特解，則為階線性齊次方程的通解。若函數(shù)是階線性非齊次方程的個線性無關(guān)的特解，此外函數(shù)是階線性非齊次方程的1個線性無關(guān)的特解，則為階線性齊次方程的通解。 二階常系數(shù)齊次線性微分方程我們把形如y¢¢+py¢+qy=0的微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 我們知道如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解

8、, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 現(xiàn)在先嘗試能否適當(dāng)選取r, 使y=erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0. 由此可見, 只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0, 函數(shù)y=erx就是微分方程的解. 接下來介紹一般的解法，我們把方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程. 特征方程的兩個根r1、r2可用公式求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時, 函數(shù)、是方程的兩個線性無關(guān)的

9、解. 這是因為, 函數(shù)、是方程的解, 又不是常數(shù). 因此方程的通解為. (2)特征方程有兩個相等的實根r1=r2時, 函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解. 這是因為, 是方程的解, 又, 所以也是方程的解, 且不是常數(shù). 因此方程的通解為. (3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時, 函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解. 函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解. 函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得 y1=e(a+

10、ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以驗證, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步驟為: 第一步 寫出微分方程的特征方r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的兩個根r1、r2. 第三步 根據(jù)特征方程

11、的兩個根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 二階線性常系數(shù)非齊次方程我們把形如y¢¢+py¢+qy=f(x)的微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數(shù). 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x). 當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時, 方程的特解的求法: 一、 f(x)=Pm(x)elx 型 當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時, 可以猜想, 方程的特解也應(yīng)具有這種形式. 因此, 設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx, 將其代入方程, 得等式 Q¢&#

12、162;(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 則l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的單根, 則l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式 Q

13、2;¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 則l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2

14、+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm , 通過比較等式兩邊同次項系數(shù), 可確定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解 y*=x2Qm(x)elx. 綜上所述, 我們有如下結(jié)論: 如果f(x)=Pm(x)elx, 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如 y*=xk Qm(x)elx的特解, 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項

15、式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2. 二、f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx型方程y¢¢+py¢+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式應(yīng)用歐拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx , 其中, . 而m=maxl, n. 設(shè)方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解為y1*=xkQm(x)e(l+iw)x, 則必是方程的特解, 其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0

16、或1. 于是方程y¢¢+py¢+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解為 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx. 綜上所述, 我們有如下結(jié)論: 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx, 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)的特解可設(shè)為y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式, m=maxl, n, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1. 高階線性常系數(shù)微分方程對于階線性微分方程的解。我們首先討論階線性常系數(shù)微分方程的解。它的特征方程為，與二階的情況類似，故可按解得的情況按下表寫出微分方程所對應(yīng)的解。特征方程的根微分方程對應(yīng)的解單實根可寫出一個解K重實根