常微分方程習題答案

1、習 題 411求解下列微分方程1） 解 利用微分法得 當 時，得從而可得原方程的以P為參數(shù)的參數(shù)形式通解或消參數(shù)P，得通解 當 時，則消去P，得特解 2）； 解 利用微分法得 當時，得 從而可得原方程以p為參數(shù)的參數(shù)形式通解： 或消p得通解 當時，消去p得特解 3） 解 利用微分法，得 兩邊積分得由此得原方程以P為參數(shù)形式的通解： ，或消去P得通解1 用參數(shù)法求解下列微分方程1）解 將方程化為 令 由此可推出 從而得因此方程的通解為 ，消去參數(shù)t，得通解對于方程除了上述通解，還有，顯然和是方程的兩個解。2）解：令，又令 則積分得，由此得微分方程的通解為，3）解：令 則解得 又由此得微分方程的通

2、解為， 。習題421得用P判別式求下列方程的奇解：2）解：方程的P判別式為消去p，得經(jīng)驗證可知是方程的解。令則有，和因此，由定理4.2可知， 是方程的奇解。2）解：方程的P判別式為，消去P，得 ，而不是方程的解，故不是方程的奇解。3）解：方程的P判別式為 ，消去P，得，顯然是方程的解，令則有 和因此，由定理4.2知，是方程的奇解。2舉例說明，在定理4.2的條件中的兩個不等式是缺一不可的，解：考慮方程方程（1）的P判別式為 消去P，得 令，于是有 因此雖然有 和但是又雖然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解為因此容易驗證卻不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的條件是不可缺少的。又考慮方程

3、方程（2）的P判別式為 消去P，得。令于是有， 因此，雖然有和但，而經(jīng)檢驗知是方程（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的條件是不可缺少的。3研究下面的例子，說明定理4.2的條件是不可缺少的解：方程的P判別式為 消去P，得 檢驗知 不是解，故不是奇解，而雖然是解，但不是奇解。令， ， 所以雖有但是因此此例說明定理4.2的條件是不可缺少的。習題431試求克萊羅方程的通解及其包絡(luò)解：克萊羅方程 （1）其中。對方程（1）求導值由 即時 代入（1）得（1）的通解 （2）它的C判別式為 由此得 ， 令 故 所以 又 （由于）因此滿足定理4.5相應(yīng)的非蛻化性條件。故是積分曲線族（2）的一支包

4、絡(luò)。課外補充1求下列給定曲線族的包絡(luò)。1）解：由相應(yīng)的C判別式消去C得C判別曲線 它的兩支曲線的參數(shù)表示式為： ，： ，對，我們有因此滿足定理4.5的相應(yīng)的非蛻化條件，同理可證，也滿足定理4.5的相應(yīng)的非蛻化條件，故，是曲線族的兩支包絡(luò)線。2解：由相應(yīng)的C判別式消去C得C判別曲線 它的兩支曲線的參數(shù)表示式為 ， ，對，我們有 因此滿足定理4.5的相應(yīng)的非蛻化條件，同理可證，也滿足定理4.5的相應(yīng)的非蛻化條件，故，是曲線族的兩支包絡(luò)線。3. 證：就克萊羅方程來說，P判別曲線和方程通解的C判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解。證：已知克萊羅方程的形式為 （1）（1）的通解為 （2）（2）的包絡(luò)由 確定，即為 （3）又知方程（1）還有解 由