天津市高數(shù)競賽試題和答案

1、 2011年天津市高數(shù)競賽試題和答案（最新的） (理工類)一. 填空題（本題15分，每小題3分）:1. 設(shè)是連續(xù)函數(shù), 且, 則 2. 設(shè) , 若 則 3. 4. 設(shè)是連續(xù)函數(shù), 且其中由x軸、y軸以及直線圍成, 則 5. 橢球面平行于平面的切平面方程為 和 二. 選擇題（本題15分，每小題3分）:1. 設(shè) 則在處(A) , (B) , (C) , (D) 不可導(dǎo). 答: (A)2. 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 且滿足方程已知?jiǎng)t(A) 在 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增加, (B) 在 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增少, (C) 在處取得極小值, (D) 在處取得極大值. 答: ( C) 3. 圖中曲線段的方程為, 函數(shù)在

2、區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 則積分 表示 (A) 直角三角形AOB 的面積, (B) 直角三角形AOC 的面積, (C) 曲邊三角形AOB 的面積, (D) 曲邊三角形AOC 的面積. 答: (D)4. 設(shè)在區(qū)間 上的函數(shù) 且 令 則(A) (B) (C) (D) 答: (C ) 5. 設(shè) 曲面取上側(cè)為正, 是 在 的部分, 則曲面積分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 三. (6分) 設(shè)函數(shù) 其中函數(shù)處處連續(xù). 討論在處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. 解 因此, 在處連續(xù). 因此, 在處可導(dǎo), 且 四. (6分) 設(shè)函數(shù)由方程確定, 又函數(shù)由方程確定, 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 方程兩邊對求導(dǎo) 當(dāng) t=0

3、時(shí), x=0, 故 方程 兩邊對x求導(dǎo) 當(dāng) 時(shí), 故 因此, 五. (6分) 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，記，求的導(dǎo)數(shù)，并討論在處的連續(xù)性.解 由已知的極限知 從而有 當(dāng) 時(shí), 從而有 因?yàn)?所以, 在處連續(xù). 當(dāng) 時(shí), 在處, 由 有 所以, 而 故 在處連續(xù).六. (7分) 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo), 且滿足: () 研究在區(qū)間的單調(diào)性和曲線的凹凸性. () 求極限 解 () 當(dāng)時(shí), 有 故 在區(qū)間單調(diào)增加. 從而當(dāng)時(shí), 也單調(diào)增加. 可見, 曲線在區(qū)間向下凸.(或當(dāng)時(shí), 可得 可見, 曲線在區(qū)間向下凸. ) () 由題設(shè)知, 應(yīng)用洛必達(dá)法則 七. (7分) 設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且 試證 證 令 則

4、在 連續(xù), 且對 , 又由題設(shè)知, 當(dāng)時(shí), 令 則在上連續(xù), 且 故有 因此 于是在上單調(diào)增加, 取, 即得 所證結(jié)論成立.八. (7分) 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 且 直線是曲線上任意一點(diǎn)處的切線, 其中 記直線與曲線以及直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 試問為何值時(shí)取得最小值. 解 切線的方程為 即 于是 可見, 在連續(xù), 在可導(dǎo). 令 ,由于 在內(nèi)有唯一的駐點(diǎn) 并且, 當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng)時(shí), 因此, 在處取得最小值.九. (7分) 計(jì)算其中為從點(diǎn)沿圓周在第一象限部分到點(diǎn)的路徑.解 令 則 取點(diǎn) 作有向直線段 其方程為 從0變到1).作有向直線段 其方程為 從0變到1). 由曲線、

5、有向直線段和形成的閉曲線記為(沿順時(shí)針方向), 所圍成的區(qū)域記為, 則 十. (8分) 設(shè)（1）有向閉曲線是由圓錐螺線 ：，（從0變到）和有向直線段 構(gòu)成， 其中， ；（2）閉曲線將其所在的圓錐面劃分成兩部分，是其中的有界部分. （）如果 表示一力場，求沿所做的功； （）如果 表示流體的流速，求流體通過流向上側(cè)的流量. (單位從略） 解（）作有向直線段 其方程為 從 變到0).所求沿所做的功為 . （）所在的圓錐面方程為，曲面 上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為 在面上的投影區(qū)域?yàn)? 在極坐標(biāo)系下表示為: 故所求流體通過流向上側(cè)的流量為 . 注: ()的另一解法 應(yīng)用Stokes公式， 可得 . 十

6、一. (8分) 設(shè)函數(shù)在心形線所圍閉區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 是在曲線上的點(diǎn)處指向曲線外側(cè)的法向量(簡稱外法向), 是沿的外法向的方向?qū)?shù), 取逆時(shí)針方向. () 證明: () 若 求的值. () 證 由方向?qū)?shù)的定義 其中, 是相對于 x軸正向的轉(zhuǎn)角. 設(shè)是 L的切向量相對于x軸正向的轉(zhuǎn)角, 則 或 故 () 解 應(yīng)用格林公式 由對稱性 十二.(8分) 設(shè)圓含于橢圓的內(nèi)部, 且圓與橢圓相切于兩點(diǎn)(即在這兩點(diǎn)處圓與橢圓都有公共切線).() 求 與 滿足的等式; () 求與的值, 使橢圓的面積最小. 解 () 根據(jù)條件可知, 切點(diǎn)不在軸上. 否則圓與橢圓只可能相切于一點(diǎn). 設(shè)圓與橢圓相切于點(diǎn), 則 既滿足橢圓方程又滿足圓方程, 且在處橢圓的切線斜率等于圓的切線斜率, 即. 注意到 因此, 點(diǎn)應(yīng)滿足 由(1)和(2)式, 得 (4)由 (3) 式得 代入(4) 式 化簡得 或 (5) () 按題意, 需求橢圓面積在約束條件 (5) 下的最小值. 構(gòu)造函