線性代數知識點總結

1、 線性代數知識點總結第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數、對換行列式的性質：行列式行列互換，其值不變。（轉置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。 推論：若行列式中某兩行（列）對應元素相等，則行列式等于零。 常數k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數余子式 定理：行列式中某一行的元素與另

2、一行元素對應余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當系數行列式時，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當系數行列式時，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：轉置行列式：對稱行列式:反對稱行列式: 奇數階的反對稱行列式值為零三線性行列式: 方法：用把化為零，?；癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺?行列式運算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念：（零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運算：加法（同型矩陣）-交換、結合律 數乘-分配、結合律 乘法

3、注意什么時候有意義 一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 轉置 (反序定理) 方冪： 幾種特殊的矩陣：對角矩陣：若AB都是N階對角陣，k是數，則kA、A+B、 AB都是n階對角陣 數量矩陣：相當于一個數（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若） 對稱矩陣 反對稱矩陣 階梯型矩陣：每一非零行左數第一個非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣：加法，數乘，乘法：類似，轉置：每塊轉置并且每個子塊也要轉置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣：設A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣) 初等變換1、交換兩行

4、（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣：單位矩陣經過一次初等變換得到的（對換陣 倍乘陣 倍加陣） 等價標準形矩陣 矩陣的秩r(A)：滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1定義2轉化為標準式或階梯形 矩陣與行列式的聯系與區(qū)別： 都是數表；行列式行數列數一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個數，只要值相等，就相等，矩陣是一個數表，對應元素相等才相等；矩陣，行列式 逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆； 不是

5、所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉置也是可逆的，且 4、兩個可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且 但是兩個可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對1和2，前提是每個矩陣都可逆） 1、分塊矩陣 則 2、準對角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判斷矩陣是否可逆

6、：充要條件是，此時求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關系： 設是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當r=n時，有唯一解；當時，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 當齊次線性方程組方程個數<未知量個數，一定有非零解 當齊次線性方程組方程個數=

7、未知量個數，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N維向量：由n個實數組成的n元有序數組。希臘字母表示（加法數乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，負向量，相等向量，轉置向量向量間的線性關系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關（無）：定義向量組的秩：極大無關組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無關的部分組，則它是 極大無關組的充要條件是：中的每一個向量都可由線性表出。 秩:極大無關組中所含的向量個數。 定理：設A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F性方程組解的結構：齊次非齊次、基礎解系線性組合或線性表示注：兩個向量，若則是線性組合 單位向

8、量組 任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關（無）注： n個n維單位向量組一定是線性無關 一個非零向量是線性無關，零向量是線性相關 含有零向量的向量組一定是線性相關 若兩個向量成比例，則他們一定線性相關向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關的方法：1、定義法：設，求（適合維數低的）2、 向量間關系法：部分相關則整體相關，整體無關則部分無關3、 分量法（n個m維向量組）：線性相關（充要） 線性無關（充要） 推論當m=n時，相關，則；無關，則 當m<n時，線性相關推廣：若向量組線性無關，則當s為奇數時

9、，向量組 也線性無關；當s為偶數時，向量組也線性相關。 定理：如果向量組線性相關，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關。極大無關組注：向量組的極大無關組不是唯一的，但他們所含向量的個數是確定的； 不全為零的向量組的極大無關組一定存在； 無關的向量組的極大無關組是其本身； 向量組與其極大無關組是等價的。齊次線性方程組（I）解的結構：解為 （I）的兩個解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數。非齊次線性方程組（II）解的結構：解為 （II）的兩個解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導出組AX

10、=O的一個解，則u+v是（II）的一個解。定理： 如果齊次線性方程組的系數矩陣A的秩，則該方程組的基礎解系存在，且在每個基礎解系中，恰含有n-r個解。 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導出組AX=O的全部解，則u+v是（II）的全部解。第4章 向量空間 向量的內積 實向量定義：（，）=性質：非負性、對稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長度 的充要條件是=0；是單位向量的充要條件是（，）=1單位化向量的夾角正交向量：是正交向量的充要條件是（，）=0正交的向量組必定線性無關正交矩陣：階矩陣 性質：1、若A為正交

11、矩陣，則可逆，且，且也是正交矩陣；、若A為正交矩陣，則；、若A、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是 標準正交向量；第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N階方陣，若數使AX=X，即（I-A）=0有非零解，則稱為A的一 個特征值，此時，非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 將代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、對于不同的矩陣，有重根、單根、復根、實根（主要學習的） 特殊：的特征向量為任意N階非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 則- 則- 則- 若=A則-=0或

12、1 若=I則-=-1或1 若=O則-=0 跡tr(A )：跡（A）= 性質： 1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的 2、A與有相同的特征值 3、N階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關 4、5、P281 相似矩陣定義P283：A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足，則矩陣A與B 相似，記作AB性質1、自身性：AA,P=I 2、對稱性：若AB則BA 3、傳遞性：若AB、BC則AC - - 4、若AB，則A與B同（不）可逆 5、若AB，則 兩邊同取逆， 6、若AB，則它們有相同的特征值。 （特征值相同的矩陣不一定相似） 7、若AB，則 初等變換不改變矩陣的秩 例子：則 A=O A=I A=矩陣對角化定理：N階矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關的特征向量注：1、P與中的順序一致 2、A,則與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個互異的特征值，則 （P281）定理：n階方陣的充要條件是對于每一個重特征根，都有 注：三角形矩陣、數量矩陣的特征值為主對角線。約當形矩陣 約當塊：形如的n階矩陣稱為n階約當塊； 約當形矩陣：由若干個約當塊組成的對角分塊矩陣（是約當塊）稱為約當形矩陣。定理：任何矩陣A都相似于一