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文檔簡介
1、 線性代數知識點總結第一章 行列式 二三階行列式N階行列式:行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和 (奇偶)排列、逆序數、對換行列式的性質:行列式行列互換,其值不變。(轉置行列式) 行列式中某兩行(列)互換,行列式變號。 推論:若行列式中某兩行(列)對應元素相等,則行列式等于零。 常數k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。 推論:若行列式中兩行(列)成比例,則行列式值為零; 推論:行列式中某一行(列)元素全為零,行列式為零。 行列式具有分行(列)可加性 將行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,值不變行列式依行(列)展開:余子式、代數余子式 定理:行列式中某一行的元素與另
2、一行元素對應余子式乘積之和為零。 克萊姆法則: 非齊次線性方程組 :當系數行列式時,有唯一解: 齊次線性方程組 :當系數行列式時,則只有零解 逆否:若方程組存在非零解,則D等于零 特殊行列式:轉置行列式:對稱行列式:反對稱行列式: 奇數階的反對稱行列式值為零三線性行列式: 方法:用把化為零,?;癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺?行列式運算常用方法(主要)行列式定義法(二三階或零元素多的)化零法(比例)化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念:(零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運算:加法(同型矩陣)-交換、結合律 數乘-分配、結合律 乘法
3、注意什么時候有意義 一般AB=BA,不滿足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 轉置 (反序定理) 方冪: 幾種特殊的矩陣:對角矩陣:若AB都是N階對角陣,k是數,則kA、A+B、 AB都是n階對角陣 數量矩陣:相當于一個數(若) 單位矩陣、上(下)三角形矩陣(若) 對稱矩陣 反對稱矩陣 階梯型矩陣:每一非零行左數第一個非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣:加法,數乘,乘法:類似,轉置:每塊轉置并且每個子塊也要轉置 注:把分出來的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣:設A是N階方陣,若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的, (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣) 初等變換1、交換兩行
4、(列)2.、非零k乘某一行(列)3、將某行(列)的K 倍加到另一行(列)初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣:單位矩陣經過一次初等變換得到的(對換陣 倍乘陣 倍加陣) 等價標準形矩陣 矩陣的秩r(A):滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆,則滿秩 若A是非奇異矩陣,則r(AB)=r(B) 初等變換不改變矩陣的秩 求法:1定義2轉化為標準式或階梯形 矩陣與行列式的聯系與區(qū)別: 都是數表;行列式行數列數一樣,矩陣不一樣;行列式最終是一個數,只要值相等,就相等,矩陣是一個數表,對應元素相等才相等;矩陣,行列式 逆矩陣注:AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆; 不是
5、所有的方陣都存在逆矩陣;若A可逆,則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運算律: 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的,且 2、可逆矩陣A的數乘矩陣kA也是可逆的,且 3、可逆矩陣A的轉置也是可逆的,且 4、兩個可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的,且 但是兩個可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆,即使可逆,但A為N階方陣,若|A|=0,則稱A為奇異矩陣,否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆,則伴隨矩陣:A為N階方陣,伴隨矩陣: (代數余子式)特殊矩陣的逆矩陣:(對1和2,前提是每個矩陣都可逆) 1、分塊矩陣 則 2、準對角矩陣, 則 3、 4、(A可逆) 5、 6、(A可逆) 7、 8、判斷矩陣是否可逆
6、:充要條件是,此時求逆矩陣的方法:定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關系: 設是m*n階矩陣,則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣,等于用同等的m階初等矩陣左乘以A:對A的列實行一次初等變換得到的矩陣,等于用同種n階初等矩陣右乘以A (行變左乘,列變右乘) 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組:增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當r=n時,有唯一解;當時,有無窮多解 r(AB)r(B),無解 齊次線性方程組:僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 當齊次線性方程組方程個數<未知量個數,一定有非零解 當齊次線性方程組方程個數=
7、未知量個數,有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解,一定是無窮多個N維向量:由n個實數組成的n元有序數組。希臘字母表示(加法數乘) 特殊的向量:行(列)向量,零向量,負向量,相等向量,轉置向量向量間的線性關系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關(無):定義向量組的秩:極大無關組(定義P188) 定理:如果是向量組的線性無關的部分組,則它是 極大無關組的充要條件是:中的每一個向量都可由線性表出。 秩:極大無關組中所含的向量個數。 定理:設A為m*n矩陣,則的充要條件是:A的列(行)秩為r?,F性方程組解的結構:齊次非齊次、基礎解系線性組合或線性表示注:兩個向量,若則是線性組合 單位向
8、量組 任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(無)注: n個n維單位向量組一定是線性無關 一個非零向量是線性無關,零向量是線性相關 含有零向量的向量組一定是線性相關 若兩個向量成比例,則他們一定線性相關向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關的方法:1、定義法:設,求(適合維數低的)2、 向量間關系法:部分相關則整體相關,整體無關則部分無關3、 分量法(n個m維向量組):線性相關(充要) 線性無關(充要) 推論當m=n時,相關,則;無關,則 當m<n時,線性相關推廣:若向量組線性無關,則當s為奇數時
9、,向量組 也線性無關;當s為偶數時,向量組也線性相關。 定理:如果向量組線性相關,則向量可由向量組線性表出,且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關。極大無關組注:向量組的極大無關組不是唯一的,但他們所含向量的個數是確定的; 不全為零的向量組的極大無關組一定存在; 無關的向量組的極大無關組是其本身; 向量組與其極大無關組是等價的。齊次線性方程組(I)解的結構:解為 (I)的兩個解的和仍是它的解; (I)解的任意倍數還是它的解; (I)解的線性組合也是它的解,是任意常數。非齊次線性方程組(II)解的結構:解為 (II)的兩個解的差仍是它的解; 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解,v是其導出組AX
10、=O的一個解,則u+v是(II)的一個解。定理: 如果齊次線性方程組的系數矩陣A的秩,則該方程組的基礎解系存在,且在每個基礎解系中,恰含有n-r個解。 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解,v是其導出組AX=O的全部解,則u+v是(II)的全部解。第4章 向量空間 向量的內積 實向量定義:(,)=性質:非負性、對稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長度 的充要條件是=0;是單位向量的充要條件是(,)=1單位化向量的夾角正交向量:是正交向量的充要條件是(,)=0正交的向量組必定線性無關正交矩陣:階矩陣 性質:1、若A為正交
11、矩陣,則可逆,且,且也是正交矩陣;、若A為正交矩陣,則;、若A、為同階正交矩陣,則也是正交矩陣;、階矩陣()是正交矩陣的充要條件是的列(行)向量組是 標準正交向量;第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N階方陣,若數使AX=X,即(I-A)=0有非零解,則稱為A的一 個特征值,此時,非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。 |A|= 注: 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 將代入(I-A)X=0求出所有非零解 3、對于不同的矩陣,有重根、單根、復根、實根(主要學習的) 特殊:的特征向量為任意N階非零向量或 4、特征值: 若是A的特征值 則- 則- 則- 若=A則-=0或
12、1 若=I則-=-1或1 若=O則-=0 跡tr(A ):跡(A)= 性質: 1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的 2、A與有相同的特征值 3、N階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關 4、5、P281 相似矩陣定義P283:A、B是N階矩陣,若存在可逆矩陣P,滿足,則矩陣A與B 相似,記作AB性質1、自身性:AA,P=I 2、對稱性:若AB則BA 3、傳遞性:若AB、BC則AC - - 4、若AB,則A與B同(不)可逆 5、若AB,則 兩邊同取逆, 6、若AB,則它們有相同的特征值。 (特征值相同的矩陣不一定相似) 7、若AB,則 初等變換不改變矩陣的秩 例子:則 A=O A=I A=矩陣對角化定理:N階矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關的特征向量注:1、P與中的順序一致 2、A,則與P不是唯一的推論:若n階方陣A有n個互異的特征值,則 (P281)定理:n階方陣的充要條件是對于每一個重特征根,都有 注:三角形矩陣、數量矩陣的特征值為主對角線。約當形矩陣 約當塊:形如的n階矩陣稱為n階約當塊; 約當形矩陣:由若干個約當塊組成的對角分塊矩陣(是約當塊)稱為約當形矩陣。定理:任何矩陣A都相似于一
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