二面角及其平面角

1、二面角及其平面角 養(yǎng)正中學 林長城一、知識回顧與問題的提出。1、空間中兩個平面的位置關系？2、問題：兩個相交平面的相對位置是如何來確定呢？我們說，它們的相對位置是由這兩個平面所成的“角”來確定的。那么，我們不禁要問，兩個平面所成的“角”又是如何確定的？為什么要研究兩個平面所成的“角”？3、客觀實例： （1）教材P44中的“筑水壩”和“人造衛(wèi)星軌道”。 （2）木工與車床工：木工所用的刨子，它的刨刀和刨底，用粗刨和細刨的不同，要裝配成適當?shù)慕嵌?；車床上的車刀口的兩個面所成的角的大小也要根據(jù)被加工對象和刀口的材質(zhì)來決定。這些事實都說明了我們研究兩個平面所成的“角”是十分必要的。那么如何確定兩個平面所

2、成的“角”呢？引入今天的新課。二、二面角的概念1、有關定義： 半平面：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。2、平面角與二面角的比較：三、二面角的平面角1、引入：問題1：我們怎樣來度量一個二面角的大小呢?從度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念產(chǎn)生的背景。同時也使學生產(chǎn)生了強烈的問題意識。問題2：我們以前學過的空間角，如異面直線所成的角，空間線面所成的角怎樣度量的?答：(1)異面直線所成的角的定義：過空間任意一點，分別引兩條異面直線的平行線，我們把這兩條平行線所成的銳角（或直角）叫做異面直線和所成的角(2)直線和平面所成的角的定義：平面的斜線和斜線在平

3、面上的射影所成的銳角稱為直線和平面所成的角(3)共同特征：把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，并且角的大小唯一確定設計這個問題意在引發(fā)學生回憶：空間角都是轉(zhuǎn)化成平面角進行度量的，從化歸思想的角度引導學生猜想得到：二面角也可以轉(zhuǎn)化成平面角進行度量。問題3：既然要用平面角度量二面角，那這個平面角的頂點和兩邊應放在什么位置?采用分組討論、合作學習的形式引導學生探索分析問題。用現(xiàn)成的教具“課本和兩只筆”為模型進行實踐。使學生在不斷的體驗、思索、推翻、排除中發(fā)現(xiàn)二面角的平面角。2、二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（1

4、）觀察與結(jié)論：如圖，在二面角-a-的棱a上任取一點O，在平面和內(nèi)，從O點分別作垂直于棱a的射線OA、OB，射線OA和OB組成AOB.在棱a上另取任意一點，按照前述同樣的方法作出。因為OA和，OB和都垂直于棱a，且分別處于平面和，所以 AOB和的兩邊分別平行且方向相同，因此， AOB=。由此可見， AOB的大小與點O在棱a上的位置無關。因此我們可以得到如下結(jié)論：（2）二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（3）對二面角的平面角的理解，應提醒學生注意下面兩點： 它是一個“平面角”，因此它的兩邊必須在同一個平面內(nèi)

5、，如圖，AB、CD不成平面角。 二面角的平面角的兩邊必須都與棱垂直。如圖，ABC的頂點雖在棱上兩邊也分別在二面角的半平面內(nèi)，但BC不與棱垂直，所以ABC不是二面角的平面角。(4)二面角的平面角的取值范圍： 0 180 3、如何確定二面角的平面角：學生練習：模仿教師作二面角。鍛煉學生的動手能力，給學生充分的時間和空間在頭腦中建構(gòu)二面角。從二面角的平面角的定義來看，因為平面角的頂點是二面角棱上的任意一點，而平面角所在的平面始終保持與棱垂直，所以同一個二面角的所有平面角都相等。因此，求解二面角問題的關鍵是確定平面角的位置，應該根據(jù)具體問題的特定條件抓住“二面角的平面角”的三個要素：（1）確定二面角的

6、棱上一點；（2）經(jīng)過這點分別在兩個半平面內(nèi)引射線；（3）所引的射線都垂直于棱。從而就可以使二面角的平面角所在的平面經(jīng)過棱上特定的點，并垂直于棱。同時，還應注意，在確定位置與求解的過程中，應正確、合理、綜合地運用“直線和平面垂直”的概念以及“三垂線定理及其逆定理”等有關知識。進一步加強學生對度量唯一性的理解，深化平面角概念的理解和掌握。通過探索發(fā)現(xiàn)，在師生之間，生生之間的溝通互動中強化了重點，分解了難點?？梢允箤W生看到問題的不同側(cè)面和解決途徑，不僅學會了二面角的平面角的定義，還學會了理清和表達自己的見解，學會相互接納、贊賞、爭辯、互助，并不斷對自己和別人的看法進行反思和評判。學生的猜想能力，觀察

7、分析能力，空間想象能力都得到了一定的鍛煉，競爭意識和合作精神也得到了培養(yǎng)。四、應用實例為鞏固所學知識，設計了兩道簡單練習及三道例題，這三道例題由淺入深，由易到難，既體現(xiàn)了教學的鞏固性原則，又兼顧了因材施教的原則。練習：1、如圖1，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:A.ABP B.ACP C.都不是2、如圖2，已知P為二面角內(nèi)一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數(shù)是多少？ 例2如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切

8、值。例3如圖P為二面角內(nèi)一點，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。常規(guī)例題，使學生了解體會怎樣在具體題目中作二面角的平面角。教師根據(jù)題意，引導學生充分利用已知圖形的性質(zhì)，分別由定義法、三垂線定理法及垂面法作出該二面角的平面角。為調(diào)動學生的積極性，我讓學生先做，并給學生板演的機會，以增強學生的參與意識，活躍課堂氣氛。這三道例題是涉及利用二面角的平面角進行計算的習題類型，在講解過程結(jié)束后，引導學生總結(jié)解題過程，即“一作二證三計算”，從而達到使學生熟練掌握解題思路，規(guī)范解題步驟的目的。附：思考題1、如圖所示，在正方體AC1中，求二面角A1BDC1的大小。思考題2、如圖，設E、F、G是正方體AC1的棱AA1、AB、BC的中點，求二面角EFGA的大小。四、課堂小結(jié)1、作二面角的平面角通常有以下幾種方法：（1）由定義，在棱上取一點，分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，這兩條垂線組成二面角的平面角。（2）利用三垂線定理或其逆定理，在一個面內(nèi)取一點作另一個面的垂線，自垂足作棱的垂線，這垂線和斜線所成的角是二面角的平面角。（3）過空間一點作二面角棱的垂面，垂面與兩個半平面的兩條交線所成的角是二面角的平面角。2、立幾中的計算題一般要有三個步驟：（1）作圖（例如作出二面角的平面角）。（2）證