最小淋雨量問(wèn)題21

1、 2010年數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)招新考核參賽隊(duì)員 (簽名) ： 2010年數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)招新考核題 目 最小淋雨量問(wèn)題 摘要本模型是研究生活中人在雨中行走時(shí)淋雨量的問(wèn)題。人在雨中行走過(guò)程較為復(fù)雜，但我們可以通過(guò)忽略行走中身體的上下浮動(dòng)及雙臂與腿部的擺動(dòng)來(lái)將人體行走的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為一個(gè)較為規(guī)則的四棱柱的運(yùn)動(dòng)。也就是將人簡(jiǎn)化為一個(gè)規(guī)則的，僅有長(zhǎng)、寬、高的一個(gè)長(zhǎng)方體，建立模型。本題中廣泛采用了微分方程模型，通過(guò)將人分為幾個(gè)平面，分別求得各個(gè)平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。對(duì)于上表面，均采用降雨量與時(shí)間的微分（即單位時(shí)間內(nèi)所接受的雨水量）建立關(guān)系，再通過(guò)求積分而得出問(wèn)題所求解的函數(shù)關(guān)系式。而對(duì)于與雨水接

2、觸的側(cè)面，我們采用了化歸的思想，將人與雨水接觸的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是說(shuō)化歸為了一個(gè)求平面接觸雨水的問(wèn)題，與上表面所采用的方法相同，同樣以降雨量與時(shí)間的微分建立微分方程，求解函數(shù)關(guān)系式。而對(duì)于較為復(fù)雜的第三問(wèn)，我們以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度與雨的速度相同的三種情況討論，并分別求解，也就是說(shuō)同樣化歸為了一個(gè)求平面與求側(cè)面淋雨量的情況。然后根據(jù)所得函數(shù)式，借助數(shù)學(xué)工具M(jìn)ATLAB求得所需函數(shù)圖形。第五問(wèn)同樣采用歸元法，建立空間坐標(biāo)軸，分解雨水為三個(gè)雨人的側(cè)面平行的方向，在分別求解即可。本題廣泛采用了化歸思想，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題，將較復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化

3、為較簡(jiǎn)單問(wèn)題，結(jié)合微分方程模型，使得原本較為復(fù)雜的問(wèn)題顯得簡(jiǎn)單，易懂。模型基本解決了現(xiàn)實(shí)中淋雨量的問(wèn)題。而本模型的實(shí)際意義又不僅僅局限于現(xiàn)實(shí)中的淋雨問(wèn)題，降雨同樣可以與氣流相類比，因此本模型有極大地現(xiàn)實(shí)意義，可廣泛拓展到工業(yè)、生產(chǎn)、生活領(lǐng)域。可用于計(jì)算以一定速度運(yùn)動(dòng)地機(jī)械承受的氣流量，同樣可用于計(jì)算建筑所承受的氣流量關(guān)鍵詞：長(zhǎng)方體 淋雨量 微分方程模型 matlab 化歸思想1問(wèn)題重述在人行進(jìn)在雨中時(shí)，淋雨量和人行進(jìn)速度之間是怎樣的關(guān)系。為了研究這個(gè)問(wèn)題，假設(shè)一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數(shù)且方向不變，但是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量

4、越少。將人體簡(jiǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方體，高=1.5 m(頸部以下)，寬=0.5m，厚=0.2m，設(shè)跑步距離=1000m,跑步最大速度為=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2 cm/h，記跑步速度為,按以下步驟進(jìn)行討論：（1） 不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全 程的總淋雨量。（2） 雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數(shù), , , , , ， 之間的關(guān)系，問(wèn)速度v為多大，總淋雨量最少。計(jì)算=0, =300時(shí)的總淋雨量。（3） 雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2。建立總淋雨量與速度及參數(shù),

5、, , , , , 之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算300時(shí)的淋雨量。（4） 以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（5） 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化。圖1 圖2圖12基本假設(shè)（1）假設(shè)降雨面積相對(duì)地球面積較小，降雨地區(qū)的地面是平面。（2）假設(shè)降雨時(shí)，雨水基本是均勻分布在空間中的。（3）假設(shè)人在行進(jìn)過(guò)程中是沒(méi)有上下浮動(dòng)的。（4）假設(shè)人在行進(jìn)過(guò)程中不是一步一步間斷地行進(jìn)的而是均勻行進(jìn)的。3 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)說(shuō)明：1) 雨中人的身高2) 雨中人的寬度3) 雨中人的厚度4) 人奔跑的距離5) 雨的速度6) 雨與人之間的夾角7

6、) 問(wèn)題（1）中矢量加和后雨水與人的夾角8) 雨水從背后下落與人行速度矢量作和后的夾角9) 問(wèn)題（3）中雨水與人的夾角10) 問(wèn)題2中雨水速度與人行速度矢量加和后雨與人所成的角度11) 人奔跑的速度12) 人奔跑的最大速度13) 每秒鐘每平方米接受的雨水厚度14) 空間中每立方米雨水的含量15) 人的上表面積16) 人的側(cè)面積17) 上表面接受的雨量18) 側(cè)面接受的雨量19) 人接受的總的雨量20) 問(wèn)題一種陰影部分的面積21) 問(wèn)題（3）第一個(gè)模型中陰影部分的面積22) 問(wèn)題（3）第二個(gè)模型中陰影部分的面積23) 問(wèn)題（2）中陰影部分的面積24) 常數(shù)4 模型建立與求解4.1 模型 14.

7、1.1 模型分析 人運(yùn)動(dòng)的速度決定了上表面暴露在雨中得時(shí)間，也就間接影響了人的總的淋雨量，而由于雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只與走過(guò)的路程有關(guān)。所以速度愈大，淋雨量愈小，這是個(gè)最優(yōu)解問(wèn)題。考察題干，這是一個(gè)實(shí)際對(duì)象的特性隨時(shí)間變化的過(guò)程，由此可用微分方程模型求解。4.1.2 模型建立 在微分方程中，上表面所淋雨對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)上表面所接受雨量，即得微分方程而在本題中，所以要求得淋雨量與速度的關(guān)系只需進(jìn)行函數(shù)積分。又由分析可知側(cè)面所受雨量為一常數(shù)。所以僅需在方程后加上即可。即為前表面淋雨量，對(duì)于的求解，可以建立兩種模型，（1） 將雨水看做是均勻地分布在空間中的，單位體積內(nèi)的雨量根據(jù)降

8、雨量可以求得：人行走在一個(gè)均勻布滿雨水的空間中，走過(guò)的體積乘以單位體積的雨量即為人的前表面的淋雨量，即（2） 以人為參考系，對(duì)人的速度和雨水的速度進(jìn)行矢量加和，得圖：人的前表面單位時(shí)間的淋雨量即為陰影部分地面單位時(shí)間的淋雨量，陰影部分的面積為：陰影部分的淋雨量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)上表面所接受雨量，即得微分方程4.1.3 模型求解 對(duì)方程進(jìn)行積分運(yùn)算求得即為前表面淋雨量，兩種方法所求的結(jié)果是相同的，均為：于是求得帶入數(shù)據(jù)得4.2模型24.2.1模型分析本模型用來(lái)解決問(wèn)題二，人的速度不同影響上表面的淋雨時(shí)間，進(jìn)而影響淋雨量。對(duì)于前表面，由于雨是迎著人下落的，可以將人作為參考系，這樣就可以將人

9、在水平方向的速度和雨水的速度矢量加和。通過(guò)作圖分析，人體前面的淋雨量可以等價(jià)于一定面積地面的降雨量，即人體前面的淋雨量也可以根據(jù)人行速度，以及降雨的角度，雨速建立微分方程。4.2.2模型建立（1）建立上表面淋雨量模型人的上表面的淋雨量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關(guān)于時(shí)間微分方程：而在本題中，所以要求上表面的淋雨量只需要對(duì)淋雨量與時(shí)間，時(shí)間與速度的函數(shù)進(jìn)行積分，即可求得人體上表面接受的降雨量。（2）建立前表面的淋雨量模型只需要考慮人的前表面，畫出題目中的以人作為參考系，將人的水平方向的速度和雨的速度進(jìn)行矢量加和，得圖： b人前表面的淋雨量即為陰影部分的淋雨量,陰影

10、部分的面積：前表面的淋雨量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關(guān)于時(shí)間微分方程：全程所用時(shí)間：所以要求人前表面的淋雨量即可對(duì)陰影部分的淋雨量與時(shí)間，時(shí)間與速度的函數(shù)進(jìn)行積分，即可求得前表面的淋雨量。4.2.3模型求解通過(guò)分別對(duì)模型2中的前表面和上表面的函數(shù)進(jìn)行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關(guān)系式。對(duì)上表面微分方程進(jìn)行積分得：對(duì)前表面微分方程進(jìn)行積分得：其中中常數(shù)C和中的常數(shù)C均為0，因?yàn)榱苡炅砍松媳砻婧颓氨砻娴牧苡炅繘](méi)有其他部位的淋雨量。而人的總的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度及參數(shù), , , , , , 之間的關(guān)系： 整理得：根

11、據(jù)分析，當(dāng)人行的速度最大時(shí)總淋雨量最小。當(dāng)=0時(shí)： =當(dāng)=時(shí)： = 43模型34.3.3.1模型分析 對(duì)于問(wèn)題3，雨從背面而來(lái)，左右表面不接受雨，因此將人的淋雨量分為兩個(gè)部分，即上表面接受的雨量和前（后）表面接受的雨量。同問(wèn)題2一樣，上表面接受的雨量是相同的。根據(jù)分析，當(dāng)人的速度大于雨速的水平分量時(shí)，人的前表面會(huì)沾雨后表面不沾雨；當(dāng)人的速度小于雨速的水平分分量時(shí)，人的前表面不沾雨而后表面會(huì)沾雨。故以人作為參考系，將人的速度與雨的水平速度進(jìn)行矢量加和，人的前（或后）表面接受的雨量即等價(jià)與沿著雨的方向?qū)⑷送队暗降孛嫔蠈?duì)應(yīng)的地面所接受的雨量。由此，可建立微分方程模型求解。4.3.2.2 模型建立 （

12、1）人的速度小于雨水的速度，人的后方淋雨。以人為參考系，將人的速度與雨水的速度合成，得到一新的雨水與人的夾角且滿足如下關(guān)系。 所以人投影到地面的面積為 對(duì)整個(gè)地面的淋雨量求時(shí)間的微分得到地面單位時(shí)間內(nèi)接受的雨量 同樣，上表面接受的雨量滿足如下微分方程：（2） 模型求解 對(duì) 微分方程兩邊同時(shí)積分可得所以兩邊相加可得（3）模型建立當(dāng)人的速度大于等于雨水在水平方向上的速度時(shí)，該模型與問(wèn)題2相同，建立相同的模型求解。人的上表面的淋雨量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關(guān)于時(shí)間微分方程：而在本題中，所以要求上表面的淋雨量只需要對(duì)淋雨量與時(shí)間，時(shí)間與速度的函數(shù)進(jìn)行積分，即可求得人

13、體上表面接受的降雨量。對(duì)于前表面，以人為參考系，對(duì)人的速度和雨速進(jìn)行水平方向的矢量加和，得圖： 人的前表面的淋雨量即為地面陰影部分的淋雨量。陰影部分的面積為：前表面的淋雨量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為單位時(shí)間內(nèi)陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關(guān)于時(shí)間微分方程：全程所用時(shí)間：所以要求人前表面的淋雨量即可對(duì)陰影部分的淋雨量與時(shí)間，時(shí)間與速度的函數(shù)進(jìn)行積分，即可求得前表面的淋雨量。4.3.2.3模型求解通過(guò)分別對(duì)模型3中的前表面和上表面的函數(shù)進(jìn)行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關(guān)系式。對(duì)上表面微分方程進(jìn)行積分得：對(duì)前表面微分方程進(jìn)行積分得：其中中常數(shù)C和中的常數(shù)C均為0，因?yàn)榱苡炅砍松媳砻婧颓氨?/p>

14、面的淋雨量沒(méi)有其他部位的淋雨量。而人的總的淋雨量等于前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度v及參數(shù)a, b, c, d, u, w, 之間的關(guān)系： 整理得：對(duì)問(wèn)題3 的分析：盡管針對(duì)人行的速度有著不同的模型，但是兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)行統(tǒng)一，即： 當(dāng)人行的速度與雨水的水平速度即v=時(shí)，人的淋雨量最小。其他情況人行的速度越大，淋雨量最小。 當(dāng)時(shí)，人行速度為時(shí)淋雨量最小，4.4對(duì)（3）作圖4.4.1作圖4.4.2解釋實(shí)際意義 根據(jù)圖像可以得到，當(dāng)人的速度與雨水的水平速度相同時(shí)，人的總淋雨量是最小的。4.5建立新模型若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，則模型將會(huì)發(fā)生改變。針對(duì)這種情況，我們對(duì)雨水

15、進(jìn)行矢量上的分離，因?yàn)楸患僭O(shè)成長(zhǎng)方體模型的人，三面接受降雨。建立空間坐標(biāo)系，X-Y-Z，在三個(gè)坐標(biāo)軸向量上對(duì)雨水進(jìn)行分離，對(duì)淋雨的三個(gè)表面求解，結(jié)合模型三即可得出結(jié)果。 5結(jié)果分析與檢驗(yàn)因?yàn)槿说男螤罱埔粋€(gè)長(zhǎng)方體，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算可以等價(jià)于一個(gè)長(zhǎng)方體模型。對(duì)于問(wèn)題（1）我們得到，上表面淋雨量速度越大人的淋雨量越小，前表面使用兩種方法得出相同的結(jié)論，可以證實(shí)結(jié)果的爭(zhēng)取性，將此結(jié)果結(jié)合現(xiàn)實(shí)比較，人行走的速度越大淋雨的時(shí)間越少淋雨量越小。問(wèn)題（2）中，我們依然得出和問(wèn)題（1）相同的結(jié)果，這和問(wèn)題（1）的解釋是相同的。但是問(wèn)題三的結(jié)果和前兩個(gè)問(wèn)題是不同的，當(dāng)人的速度等于雨水的水平方向上的速度時(shí)，人的淋雨量

16、是最小的。盡管此時(shí)人的速度不是最大，上表面的淋雨時(shí)間不是最短的，但是在這種情況下，人的身體前部和后部，因?yàn)槿说乃俣群陀晁乃椒较虻乃俣认嗤瑢⒉涣苡?，這樣看來(lái)人的淋雨量才是最小的。6模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)（1）本模型針對(duì)三中情況分別建立了模型，模型的穩(wěn)定性高，適用性強(qiáng)。（2）本模型的三個(gè)模型分別是對(duì)上一個(gè)模型的深入，層層深入逐漸地解決了實(shí)際問(wèn)題。（3）本模型結(jié)合微分方程進(jìn)行求解，簡(jiǎn)單實(shí)用。（4）本模型運(yùn)用matlab進(jìn)行繪圖，得到了變量之間的函數(shù)圖象，使結(jié)果一目了然。61模型的缺點(diǎn)（1）本模型使計(jì)算簡(jiǎn)單，所得結(jié)果更加的理想化，如，降雨的方向是不可能一直不變的。（2）本模型忽略了一些

17、次要因素，入地球的表面是弧形的，且忽略了現(xiàn)實(shí)中人在行走過(guò)程中的上下浮動(dòng)而引起的表面積的變化。6.3模型的改進(jìn)由于人在行走過(guò)程中的上下浮動(dòng)會(huì)引起人體表面積的變化，可以對(duì)上下起伏兩個(gè)過(guò)程的表面積進(jìn)行平均。盡管地球的表面積是弧形的，我們可以選取更短的距離來(lái)減小因?yàn)榛《榷鸬恼`差。7模型的推廣我們建立模型的方法和思想可以推廣到其他類似的問(wèn)題中。本文建立的模型不僅可以估算人的淋雨量問(wèn)題，還可以轉(zhuǎn)換對(duì)象，變?yōu)槠嚨冉煌üぞ?。在降雨，降雪等情況下，根據(jù)車的前窗玻璃接收的最大雨水或者雪水量，控制行使的速度。雨水同樣可以轉(zhuǎn)換為氣流的壓強(qiáng)，人也可以轉(zhuǎn)換為機(jī)器。根據(jù)機(jī)器所能承受的最大壓強(qiáng)，判斷氣流在怎樣的數(shù)值時(shí)會(huì)

18、對(duì)機(jī)器造成破壞，進(jìn)而采取保護(hù)措施。參考文獻(xiàn)1 羅萬(wàn)成，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例分析，出版地：西南交通大學(xué)人民出版社，20072 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，出版地：高等教育出版社，20033 西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)委員會(huì)，數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程，出版地：高等教育出版社，20084 高隆昌，楊元，數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)理論，出版社：科學(xué)出版社，20075 西南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，常微分方程，出版地：西南師范大學(xué)出版社，2005附錄t=sin(t0); v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5; y1=(5.556e-4.*cos(t(1)+41.67e-4.*sin(t(1)./v1-4.

19、167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1)-41.67e-4.*sin(t(1)./v11+4.167e-3/4; plot(v1,y1,r); hold on plot(v11,y11,r); xlabel(v); ylabel(W); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5; y2=(5.556e-4.*cos(t(2)+41.67e-4.*sin(t(2)./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2)-41.67e-4.*sin(t(2)./v22+4.167e-3/4; plot(v2,y2,g-.); ho

20、ld on plot(v22,y22,g-.); v3=0:0.1:t(3); v33=t(3):0.1:5; y3=(5.556e-4.*cos(t(3)+41.67e-4.*sin(t(3)./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3)-41.67e-4.*sin(t(3)./v33+4.167e-3/4; plot(v3,y3,k:); hold on plot(v33,y33,k:); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5; y4=(5.556e-4.*cos(t(4)+41.67e-4.*sin(t(4)./v4-4.167e-

21、3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4)-41.67e-4.*sin(t(4)./v44+4.167e-3/4; plot(v4,y4,b); hold on plot(v44,y44,b); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5; y5=(5.556e-4.*cos(t(5)+41.67e-4.*sin(t(5)./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5)-41.67e-4.*sin(t(5)./v55+4.167e-3/4; plot(v5,y5,c); hold on plot(v55,y55,c); v6=0:0

22、.1:t(6); v66=t(6):0.1:5; y6=(5.556e-4.*cos(t(6)+41.67e-4.*sin(t(6)./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6)-41.67e-4.*sin(t(6)./v66+4.167e-3/4; plot(v6,y6,y); hold on plot(v66,y66,y); v7=0:0.1:t(7); v77=t(7):0.1:5; y7=(5.556e-4.*cos(t(7)+41.67e-4.*sin(t(7)./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7)-41.67e-4.*sin(t(7)./v77+4.16