數(shù)學建模綜合分析法案例

1、數(shù)學建模競賽論文論文題目：全國大學生數(shù)學建模競賽命題的綜合評價（甲組）參賽隊員：姓名： 系別：經(jīng)管系 年級：姓名： 系別：計算機 年級： 姓名： 系別：數(shù)學系 年級： 2011年8月12日目錄一、摘要.3二、問題重述.4 2.1)問題背景.4 2.2)涉及材料背景.4 2.3）問題提出.4三、問題分析與假設.4 3.1）對“質量”的定性及定量分析.4 3.2）問題的假設.4四、符號說明.5五、模型的建立與求解.6 5.1）模型的建立.6 問題一.6 問題二.7 5.2）模型的求解.9 5.3）模型的檢驗與分析.17六、模型的評價與改進.18 6.1）模型的不足.18 6.2）模型的優(yōu)點.186

2、.3）模型的推廣.18七、參考文獻.18全國大學生數(shù)學建模競賽命題的綜合評價一、摘要近年來，全國大學生數(shù)學建模競賽受到社會各界的關注，為了進一步提高數(shù)學建模競賽命題質量，促進數(shù)學建模競賽活動更快、更好地發(fā)展，以1992年-2010年全國大學生數(shù)學建模競賽甲組命題質量為研究對象，對命題質量進行綜合評價。本文運用模糊綜合評判法對命題質量進行綜合評價，以層次分析法為基礎，建立三級評判矩陣以及評語向量，用matlab進行矩陣間的運算求出二級評判矩陣及評語向量，最終求出綜合評價指標。最終的綜合評價指標能夠比較準確的綜合評價1992-2010年甲組38道命題的質量。運用excel對評價結果進行統(tǒng)計與整理，

3、首先畫曲線圖，能夠直觀的看出每年命題的質量趨勢，然后畫出解決方法的統(tǒng)計，并進行相應分析，還做出題型特點的圖，并對其進行分析。關鍵字：模糊綜合評價法 MATLAB EXCEL統(tǒng)計法 命題質量 因素集 評價集二、問題重述2.1問題背景全國大學生數(shù)學建模競賽（以下簡稱競賽）是面向全國大學生的群眾性科技活動，1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會組織舉辦了我國10城市的大學生數(shù)學模型聯(lián)賽，74所院校的314隊參加。教育部領導及時發(fā)現(xiàn)、并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦全國大學生數(shù)學建模競賽，每年一屆。十幾年來這項競賽的規(guī)模以平均年增長25%以上的速

4、度發(fā)展，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學建模競賽。競賽的目的在于激勵學生學習數(shù)學的積極性，提高學生建立數(shù)學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識，推動大學數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革。2.2涉及材料背景數(shù)學模型是一種模擬，是用數(shù)學符號、數(shù)學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。三人共同完成題目，既能增強學生解決問題的能力，還能加學生的合作意識。參加數(shù)學建

5、模同學的共鳴是一次參賽，終生受益。近年來數(shù)學建模受到各界的關注。2.3問題提出為了進一步提高數(shù)學建模競賽命題質量，促進數(shù)學建模競賽活動更快、更好地發(fā)展，（1）給出全國大學生數(shù)學建模競賽命題的綜合評價指標體系（分甲組、乙組任選一）；（2）根據(jù)你給出的綜合評價指標體系給出評價模型，并給出相應的甲組（或乙組）1992年-2010年全國大學生數(shù)學建模競賽所有命題的評價結果。三、問題分析與假設3.1對“質量”的定性及定量分析“質量”僅僅是一個廣泛而模糊的概念，因此在實際生活中將質量轉化成有參考價值的數(shù)據(jù)時，往往需要用數(shù)學建模的方法對其進行定性與定量的分析。本文在評價數(shù)學建模命題質量時，用綜合模糊評判方法

6、對命題質量給出一種綜合評價方案。3.2問題的假設考慮到各因素之間的關系，按因素的不同性質分為三個因素集（即主要因素集）：題目的特點：A=(1),(2),(3),(4),(5);實際的意義：B=（6），（7），（8），（9）；解決的方法：C=（10），（11）。根據(jù)問題的實際情況，對三個因素集中的11個二級因素，又可以分成27個三級因素（如表1即綜合評價指標），對每個三級因素都可以給出一個評判集，相應的可以構造出二級因素模糊矩陣和各個因素的權向量，確定出各個主要因素的隸屬度，從而可以求出命題質量的評價指標，對命題質量給出客觀的評價。表1評價命題質量的各級因素及其權值主要因素二級因素權重模糊矩陣三

7、級因素權重(A)題目特點(0.3)綜合性(A)0.3RA1(A11)方法融合0.6(A12)學科交叉0.4開放性(A)0.1RA2(A21)方法開放性0.6(A22)思路開放性0.4實用性(A)0.3RA3(A31)問題數(shù)據(jù)來自實際0.4(A32)解決方法切合實際0.2(A33)模型結果應用于實際0.4即時性(A)0.1RA4(A41)國內(nèi)外大事0.3(A42)社會熱點0.2(A43)生活焦點0.5數(shù)據(jù)結構復雜性(A)0.2RA5(A51)數(shù)據(jù)的冗余性0.4(A52)數(shù)據(jù)的海量性0.6(B)實際意義0.4工業(yè)(B)0.3RB1(B11)電子通信0.5(B12)機械設計與制造0.5農(nóng)業(yè)(B)0.

8、4RB2(B21)農(nóng)業(yè)增收0.6(B22)農(nóng)業(yè)管理0.4經(jīng)濟(B)0.2RB3(B31)市場管理0.5(B32)經(jīng)濟增長0.5社會(B)0.1RB4(B41)社會秩序維護0.3(B42)社會發(fā)展0.7(C)解決方法0.3幾何學(C)0.4RC1(C11)幾何模型0.6(C12)幾何理論0.4高等數(shù)學(C)0.6RC2(C21)統(tǒng)計分析0.2(C22)規(guī)劃方法0.2(C23)插值與擬合0.2(C24)差分方法0.1(C25)微分方法0.3 四、符號說明A、B、C、：主要因素；A、B、C：二級因素；A、B、C：三級因素；r：第i個三級因素第j個等級的隸屬度；R，R，R：二級因素的模糊評判矩陣（其中

9、i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4；k=1，2；）；V，V，V：對應于二級因素的模糊評判矩陣的相應的評語向量；R,R，R：三個主要因素的模糊評判矩陣；V,V,V:對應與三個主要因素模糊矩陣相應的評語向量；，：主要因素A、B、C、D的隸屬度；D：對命題質量的綜合評價指標。五、模型的建立與求解5.1模型的建立問題1） 數(shù)學建模命題質量受很多因素的影響，不能就單一的方面進行評價，應擔綜合考慮各個因素對命題的影響來評價命題質量，根據(jù)因素集建立命題質量綜合評價體系（如表2）表2數(shù)學建模命題質量綜合評價體系主要因素二級因素權重模糊矩陣三級因素權重(A)題目特點(0.3)綜合性(A1)0.3RA1(

10、A11)方法融合0.6(A12)學科交叉0.4開放性(A2)0.1RA2(A21)方法開放性0.6(A22)思路開放性0.4實用性(A3)0.3RA3(A31)問題數(shù)據(jù)來自實際0.4(A32)解決方法切合實際0.2(A33)模型結果應用于實際0.4即時性(A4)0.1RA4(A41)國內(nèi)外大事0.3(A42)社會熱點0.2(A43)生活焦點0.5數(shù)據(jù)結構復雜性(A5)0.2RA5(A51)數(shù)據(jù)的冗余性0.4(A52)數(shù)據(jù)的海量性0.6(B)實際意義0.4工業(yè)(B1)0.3RB1(B11)電子通信0.5(B12)機械設計與制造0.5農(nóng)業(yè)(B2)0.4RB2(B21)農(nóng)業(yè)增收0.6(B22)農(nóng)業(yè)管

11、理0.4經(jīng)濟(B3)0.2RB3(B31)市場管理0.5(B32)經(jīng)濟增長0.5社會(B4)0.1RB4(B41)社會秩序維護0.3(B42)社會發(fā)展0.7(C)解決方法0.3幾何學(C1)0.4RC1(C11)幾何模型0.6(C12)幾何理論0.4高等數(shù)學(C2)0.6RC2(C21)統(tǒng)計分析0.2(C22)規(guī)劃方法0.2(C23)插值與擬合0.2(C24)差分方法0.1(C25)微分方法0.3問題2）因為影響命題質量的有A、B、C三個主要因素，11個二級因素，27個三級因素，根據(jù)實際可以給出個因素的權值（如表1）。對于每個三級因素都可以給出由5個元素組成的評判集，例如很強，強，一般，弱，很

12、弱、很多，多，一般，少，很少、非常嚴重，嚴重，一般，輕，很輕、很，大，一般，小，很小、很好，好，一般，差，很差、100%，95%,100%,90%,95,80%,90%.<80%等（如表3）。表3各因素的評判集因素等級一等級二等級三等級四等級五A11A12很強強一般弱很弱12345A21A22A23很高高一般低很低很高高一般低很低A31A32A33很多多一般少很少很強強一般弱很弱很廣廣一般窄很窄 A41A42A43A44很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少A51A52100%95%-100%90%-95%80%-90%<80%100%95%-100%90%-95%80%

13、-90%<80%B11B12非常大大一般小很小非常大大一般小很小 B21B22非常多多一般少很少很好好一般差很差 B31B32很好好一般差很差很大好一般差很差B41B42很好好一般差很差很大大一般小很小C11C12很多多一般少很少很強強一般弱很弱C21C22C23C24C25很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少很多多一般少很少實際中，通常是由專家組根據(jù)評價集對命題質量進行評價，由評價結果構造出每個因素的評判模糊矩陣。例如：記第i個三級因素的評判為（ri1，ri2，ri3，ri4，ri5）(i=1,2,m),則相應的二級因素的模糊評判矩陣為 r11 r12 r1

14、3r21 r22 r25r31 r32 r35 rm1 rm2 rm5 R=其中 為第i個三級因素第j個等級的隸屬度。于是可得11個二級因素的模糊評判矩陣R,R，R，則相應的評語向量分別為V=WAi*RAi，V=WBj*RBj，V=WDk*RDk其中，i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4；k=1，2，3.故三個主要因素的模糊評判矩陣為RA=（VA(1),VA(2),VA(3),VA(4),VA(5)）TRB=(VB(1),VB(2),VB(3),VB(4)TRC=(VC(1),VC(2)T則相應的評語向量為VA=(a1，a2，a3，a4，a5)*RA=(va1，va2，va3，va4,v

15、a5),VB=(b1,b2,b3,b4)*RB=(vb1,vb2,vb3,vb4,vb5),VC=(c1,c2)*RC=(vc1,vc2,vc3,vc4,vc5).令,則，分別是主要因素為A、B、C的隸屬度，其評價向量記為（，）T.于是可得對命題質量的綜合評價指標為D=W*5.2模型求解首先，由專家組根據(jù)評判集對2010年全國大學生數(shù)學建模命題質量進行評判，再由評判結果構造出每個因素的評判和模糊矩陣。記第i個三級因素的評判為(ri1,ri2,ri3,ri4,ri5)(i=1,2,m),則相應的二級因素的模糊評判矩陣為0 0 0.1 0.5 0.40 0 0 0.6 0.4 0.3 0.4 0.

16、3 0 00.4 0.4 0.2 0 0 RA1= RA2=0 0 0 0.2 0.80 0 0 0 10 0 0.1 0.3 0.60.7 0.3 0 0 00.6 0.4 0 0 00.6 0.3 0.1 0 0RA3= RA4= 0 0 0.6 0.3 0.10 0 0 0 10.6 0.3 0.1 0 00.6 0.2 0.1 0.1 0RA5= RB1= 0 0 0 0.1 0.90 0 0 0 10 0 0 0.9 0.1 0 0 0 0 1RB2=RB3=0.7 0.3 0 0 00.7 0.2 0.1 0 00 0 0 0.5 0.50 0 0 0.4 0.6RB4=RC1=

17、0 0 0.1 0.3 0.60.1 0.3 0.4 0.2 00 0 0 0 10 0 0 0.1 0.90.8 0.2 0 0 0RC2=（注：為第i個三級因素第j個等級的隸屬度，假設評委人數(shù)為20人） 然后，求出相應的評語向量，公式為V=WAi*RAi，V=WBj*RBj，V=WDk*RDk用MATLAB求，編碼為R=aij;%其中是為第i個三級因素第j個等級的隸屬度W=w;%w為第三級因素的第j個因素的權重B=W.*RVA(1)=(0 0 0.06 0.54 0.4);VA(2)=(0.34 0.4 0.26 0 0);VA(3)=(0.64 0.32 0.04 0 0);VA(4)=

18、(0 0 0.05 0.23 0.72);VA(5)=(0.6 0.24 0.1 0.06 0);VB(1)=(0 0 0.3 0.15 0.55);VB(2)=(0 0 0 0.06 0.94);VB(3)=(0 0 0 0.05 0.95);VB(4)=(0 0 0 0.43 0.57);VC(1)=(0.74 0.26 0 0 0); VC(2)=(0.26 0.12 0.1 0.1 0.42).故可求三個主要因素的模糊評判矩陣，公式為RA=（VA(1),VA(2),VA(3),VA(4),VA(5)）TRB=(VB(1),VB(2),VB(3),VB(4)TRC=(VC(1),VC(2

19、)T0 0 0.06 0.54 0.40.34 0.4 0.26 0 00.64 0.32 0.04 0 00 0 0.05 0.23 0.72 0.6 0.24 0.1 0.06 0帶入數(shù)據(jù)得RA=0 0 0.3 0.15 0.550 0 0 0.06 0.940 0 0 0.05 0.950 0 0 0.43 0.57RB=0.74 0.26 0 0 00.26 0.12 0.1 0.1 0.42RC=再求相應的評語向量，公式為VA=(a1，a2，a3，a4，a5)*RA=(va1，va2，va3，va4,va5),VB=(b1,b2,b3,b4)*RB=(vb1,vb2,vb3,vb4,

20、vb5),VC=(c1,c2)*RC=(vc1,vc2,vc3,vc4,vc5).帶入數(shù)據(jù)得VA=(0.17 0.06 0.06 0.11 0.52); VB=(0 0 0.09 0.122 0.781); VC=(0.252 0.172 0.006 0.006 0.202)根據(jù)三個主要因素模糊評判矩陣相應的評語向量求A、B、C三個因素的隸屬度，公式為帶入數(shù)據(jù)得，即評價向量記為最后求命題質量的綜合評價指標，公式為D=W*帶入數(shù)據(jù)得D=0.3*0.92+0.4*0.993+0.3*0.746=0.897.綜合指標為0.897說名質量比較好，但還是有一定的缺點，例如沒有即時性，方法單一等。對199

21、2-2010年甲組命題質量的評價統(tǒng)計到如下表中（表4）表4歷年數(shù)學建模題目得分 題目年份A題B題19920.2780.52519930.3010.6319940.6930.5319950.43250.6419960.42680.7419970.73690.6219980.85660.5219990.45210.4320000.73650.75520010.65980.6420020.65840.5920030.69630.6620040.60010.6420050.73710.5720060.92560.6720070.28660.720080.73670.6920090.99260.7520

22、100.88970.615用EXCEL根據(jù)上表（表4）做出逆命題趨勢圖（圖1） 從歷年的題目總體質量看，質量并不是逐漸提升的，而是不斷的波動變化，然而A題的質量變化較為明顯，而B題相對較為穩(wěn)定。這是由于每年根據(jù)收集對每年的題目水平并且適合學生的方面出發(fā)，而做的不斷調(diào)整，是很有意義的。由圖中還可看出A題2009年題目質量最好，0992年質量最差。B題是2003年質量最好，2002年質量最差。表（5）數(shù)學建模方法統(tǒng)計表優(yōu)化方法概率統(tǒng)計插值擬合插值擬合其他2216663注：有些題目是混合型的，兼?zhèn)涠喾N方法。根據(jù)上表（表5）做出相應的圖2圖2 從表格中可以看出，優(yōu)化問題是這些年出題的趨勢，適應了社會對

23、資源等的充分利用，有利于可持續(xù)發(fā)展。促進資源和諧社會的建設；同時概率統(tǒng)計所占比例也非常大，適應生活統(tǒng)計決策問題的需要；然而同時也會造成在考試方面，學生只專注于這兩個方面去研究題目，造成學生建模知識水平的下降，不利于高素質人才的選拔。所以建議數(shù)學建模命題老師平均分配建模解決方法，盡可能涉及更多的方法，以利于全面的高素質人才的選撥。圖3 由上表的數(shù)據(jù)能夠看出題型的種類分布還算均勻，稍微偏重于實用性，更加貼合實際問題，利于實用性人才的培養(yǎng)；同時綜合性問題也相對比較突出，更能考驗考生對實際問題的綜合性思考及跨多學科做業(yè)的能力；即時性，開放性，復雜性的題目所占比例相當，整體題型的質量比較合理，全面。數(shù)學

24、建模問題分類匯總表（表6）工業(yè)農(nóng)業(yè)工程設計交通運輸 經(jīng)濟管理生物醫(yī)學社會事業(yè)8255666圖4 圖中可以看出，題目設計明顯對工業(yè)高度重視，所有題目中工業(yè)所占比例遠遠高于其它行業(yè)，正適合我國目前現(xiàn)狀對工業(yè)發(fā)展的需求。為“工業(yè)興國”提供知識儲備，減小與發(fā)達國家的差距；然而明顯的是農(nóng)業(yè)方面的題目太少，不利于我國農(nóng)業(yè)知識人才的挖掘，中國有7億多農(nóng)民，“民以食為天”只有提高我國農(nóng)業(yè)水平才能保證其他行業(yè)穩(wěn)固前進，因此建議出題工作者加強對農(nóng)業(yè)增收等有助農(nóng)業(yè)發(fā)展相關題目的命制，來選撥出利于我國農(nóng)業(yè)發(fā)展的高素質人才。對于其他行業(yè)較為均勻，體現(xiàn)了對各行業(yè)的重視，利于各行業(yè)齊頭并進，和諧發(fā)展。除農(nóng)業(yè)方面題目較少外，

25、整體去看這些年來命題在推進各行業(yè)發(fā)展方面質量還是相對不錯的。表7 題目A年份題目特點n1實際意義n2解決方法n319920.60.70.619930.70.60.719940.50.40.619950.60.50.4519960.650.70.619970.70.750.619980.60.850.719990.50.80.420000.70.60.720010.60.80.620020.70.80.620030.70.750.6520040.60.70.520050.60.650.520060.50.60.620070.70.50.720080.60.650.620090.70.60.720

26、100.60.280.15圖5表8 題目B年份題目特點n1實際意義n2解決方法n319920.60.50.6519930.70.60.619940.50.50.619950.70.60.519960.70.80.619970.40.80.619980.70.40.519990.30.40.620000.70.80.7520010.60.70.620020.70.50.620030.50.70.620040.60.70.620050.50.60.620060.70.70.620070.70.70.720080.60.750.720090.70.70.6520100.60.60.65圖65.3模型的檢驗與分析 我們對該模型在計算機上分別以20名和26名專家組成的評委會隨機的對1992-2010年甲組38道命題進行評判檢驗，結果表明都能客觀地給出綜合評價指標，為此這一模型是可以應用與實際的，而且具有相當廣泛的通用性。在模型中關于各因素的權重主要是依據(jù)實際背景以及專家對命題的評價主觀上給定的，可能帶有片面性，實際中可以根據(jù)側重點進行適當?shù)恼{(diào)整，不影響整體效果。如果能詳細能詳細的分析各個因素之間的關系，利用AHP方法通過兩兩比較矩陣確定權向量，結果可能會更加客觀，但工作量會增大。關于各因素隸屬度的確定，采用專家組評判的方法是切合實際的，當然，實際操作中專家組成員可以有相關個