數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、知識框架掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數(shù)）例1、 已知an滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解 an+1-an=2為常數(shù) an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列an=1+2（n-1） 即an=2n-1例2、已知滿足，而，求=？（2）遞推式為

2、an+1=an+f（n）例3、已知中，求.解： 由已知可知令n=1，2，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1） 說明 只要和f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）例4、中，對于n1（nN）有，求.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2-a1=（31+2）-1=4an+

3、1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1解法二： 上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=43，a4-a3=432，an-an-1=43n-2，把n-1個等式累加得： an=23n-1-1(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數(shù)） 由上題的解法，得： (5)遞推式為思路：設(shè),可以變形為：，想于是an+1-an是公比為的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求。 (6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式關(guān)系；（2）試用n表示an。 上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2nan是公差為

4、2的等差數(shù)列。2nan= 2+（n-1）2=2n數(shù)列求和的常用方法：1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應(yīng)同次項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負(fù)兩項，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項，可求和。適用于數(shù)列和（其中等差）可裂項為：，等差數(shù)列前項和的最值問題：1、若等差數(shù)列的首項，公差，則前項和有最大值。（）若已知通項，則最大；（）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時最大；2、若等差數(shù)列的首項，公差，則前項和有最小值（）若已知通項，則最

5、小；（）若已知，則當(dāng)取最靠近的非零自然數(shù)時最??；數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知（即）求，用作差法：。已知求，用作商法：。已知條件中既有還有，有時先求，再求；有時也可直接求。若求用累加法：。已知求，用累乘法：。已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求；形如的遞推數(shù)列都可以除以得到一個等差數(shù)列后，再求。（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。（3）形如的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可能是分段形式。數(shù)列

6、求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式

7、有：； ；，； ；二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：1、公式法2、 3、求差（商）法 解： 練習(xí) 4、疊乘法 解： 5、等差型遞推公式 練習(xí) 6、等比型遞推公式 練習(xí) 7、倒數(shù)法 2數(shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。 135(2n-1)=n2【例8】 求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前n項的和。解 本題實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項中，共有1+2+n=個奇數(shù)，最后一個奇數(shù)為：1+n(n+1)-12=n2+n-1因此所求數(shù)列的前n項的和為（2）、分解轉(zhuǎn)化法

8、對通項進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?】求和S=1（n2-1）+ 2（n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：例10、解 Sn=3n2n-1（4）、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和例11、 求數(shù)列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n項的和解 設(shè)Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn

9、-1 (2)x=0時，Sn=1(3)當(dāng)x0且x1時，在式兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂項法：把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：例12、求和注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負(fù)項一樣多。 在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數(shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】 等差數(shù)列an的首項a10，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（lk）問n為何值時Sn最大？此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。a10 Sl=Sk（lk），d0故此二次函數(shù)的圖像開口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列an前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析 本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解 依題意可知q1。如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符。q1整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由