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1、求數(shù)列通項(xiàng)專題題型一:定義法(也叫公式法)直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例:等差數(shù)列是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)。解:設(shè)數(shù)列公差為 成等比數(shù)列,即,得 , 由得:, 題型二:已知的關(guān)系求通項(xiàng)公式(或)這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例:(1)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; (2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解:由,得,練習(xí):1、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 求.2、數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求的通項(xiàng)公式題型三:形如用累加法(也叫逐差求和法):(1)若f(n)為常數(shù),即:,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)
2、列,則=.(2)若f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累加法. 方法如下: 由 得:時(shí),以上各式相加得 即:.為了書寫方便,也可用橫式來寫:時(shí),=.例1:已知數(shù)列an中,a1=1,對(duì)任意自然數(shù)n都有,求解:由已知得,以上式子累加,利用得 -=, 例2:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。練習(xí):1、.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1,且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案:2、.已知數(shù)列滿足,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案: 題型四:形如用累乘法(也叫逐商求積法)(1)當(dāng)f(n)為常數(shù),即:(其中q是不為0的常數(shù)),此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列,=.(2)當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法. 由得 時(shí),=f(n)f(n
3、-1). 例1:已知數(shù)列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個(gè)等式累乘之,即 又例2:設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(=1,2, 3,),求.解:已知等式可化為: ()(n+1), 即時(shí), =.練習(xí):1、已知數(shù)列中,=1,=,求.2、已知數(shù)列中,求.題型五:待定系數(shù)法(也稱構(gòu)造新數(shù)列法,構(gòu)造等差、等比數(shù)列)形如,其中)型(1)若c=1時(shí),數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若d=0時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列;(3)若時(shí),數(shù)列為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.法一:把中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法
4、比較復(fù)雜.法二:對(duì)形如(為常數(shù),)通過與原遞推公式對(duì)比,恒等變成的方法,其中,例1已知數(shù)列中,求通項(xiàng).解:由得,所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,即 . 方法二:由 時(shí),兩式相減得 , 例2. 已知數(shù)列中,求.解:設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故,令,則,且所以是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,所以.練習(xí):1、已知數(shù)列an滿足a1=1,且an+1 =+2,求()題型六.形如型或 用倒數(shù)法一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例1:已知,求。解:取倒數(shù):是等差數(shù)列,題型七.形如(其中p,q為常數(shù))型(1)當(dāng)p+q=1時(shí) 用轉(zhuǎn)化法例1:數(shù)列中,若,且滿足,求.解:把變形為.則數(shù)列是以為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,則 利用類型6的方法可得 .(2)當(dāng)時(shí) 用待定系數(shù)法.例2: 已知數(shù)列滿足,且,且滿足,求.解:令,即,與已知比較,則有,故或下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運(yùn)算,即有,則數(shù)列是以為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,故,即,利用類型 的方法,可得. 用于型已知條件 先寫出數(shù)列前幾項(xiàng) 觀察數(shù)列變化規(guī)律猜測(cè)出通項(xiàng)后,用數(shù)學(xué)歸納法證明(“退一步”思想)即由已知推出相鄰的遞推式后將兩式作差化簡(jiǎn)得出結(jié)論 構(gòu)造等差等比數(shù)列等)公式法疊加法用于
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