數(shù)值計算方法比較

1、有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。有限差分法主要集中在依賴于時間的問題（雙曲型和拋物型方程）。有限差分法方面的經(jīng)典文獻有Richtmeyer & Morton的Difference Methods for Initial-Value Problems；R. LeVequeFinite Diffe

2、rence Method for Differential Equations；Numerical Methods for Conservation Laws。注：差分格式 ：（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。（3）考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。構(gòu)造差分的方法： 構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方

3、法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。有限差分法的不足：由于采用的是直交網(wǎng)格，因此較難適應(yīng)區(qū)域形狀的任意性，而且區(qū)分不出場函數(shù)在區(qū)域中的輕重緩急之差異，缺乏統(tǒng)一有效的處理自然邊值條件和內(nèi)邊值條件的方法，難以構(gòu)造高精度(指收斂階)差分格式，除非允許差分方程聯(lián)系更多的節(jié)點(這又進一步增加處理邊值條件韻困難)。另外它還有編制不出通用程序的困難。有限差分法的優(yōu)點：該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)

4、學(xué)概念直觀，表達簡單，精度可選而且在一個時間步內(nèi)，對于一個給定點來說其相關(guān)的空間點只是與該相鄰的幾點，而不是全部的空間點。是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法廣義差分法（有限體積法）（GDM: Generalized Difference Method）：1953年，MacNeal 利用積分插值法(也稱積分均衡法)建立了三角網(wǎng)格上的差分格式，這就是以后通稱的不規(guī)劃網(wǎng)格上的差分法這種方法的幾何誤差小，特別是給出了處理自然邊值條件(及內(nèi)邊值條件)的有效方法，堪稱差分法的一大進步。1978年，李榮華利用有限元空間和對偶單元上特征函數(shù)的推廣 局部Taylor展式的公項，將積分插值法改寫成廣義Galerkin

5、法形式，從而將不規(guī)則網(wǎng)格差分法推廣為廣義差分法.其基本思路是，將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。廣義差分法應(yīng)用最多的領(lǐng)域之一是電磁場的計算，另一個應(yīng)用最多也最成功的領(lǐng)域是流體力學(xué)和地下流體力學(xué)。廣義差分法的優(yōu)點：既最大限度的保持了差分法的簡單性，又兼有有限元法的精確性(1)網(wǎng)格剖分靈活(包括三角剖分、四邊形剖分)，幾何誤差小，便于處理自然邊值條件(2)工作量比有限差分法大

6、，比有限元法小但精確度比有限差分法高，與有限元法的收斂階相同(計算表明精確性略低于有限元法)(3)保持物理量的局部守恒這對流體及地下流體計算是重要的(4)廣義差分法的理論幾乎和有限元法達到同樣完善的程度特別是，由一次元廣義差分法的誤差估計便導(dǎo)致有限差分法和不規(guī)剛網(wǎng)格差分法的一般理論(5)廣義差分法的變分形式(廣義Galerkin形式)有助于溝通有限元法和差分法的理論和算法有限體積法和有限差分法的區(qū)別：一個區(qū)別就是有限體積法的截斷誤差是不定的（跟取的相鄰點有關(guān)，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截斷誤差（微分方法離散方程）。有限體積法和有限差分法最本質(zhì)的區(qū)別是，前者是根據(jù)積分方程推導(dǎo)出

7、來的（即對每個控制體積分），后者直接根據(jù)微分方程推導(dǎo)出來，所以前者的精度不但取決于積分時的精度，還取決與對導(dǎo)數(shù)處理的精度，一般有限體積法總體的精度為二階，有限體積法對于守恒型方程導(dǎo)出的離散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程導(dǎo)出，不涉及積分過程，各種導(dǎo)數(shù)的微分借助Taylor展開，直接寫出離散方程，當(dāng)然不一定有守恒性，精度也和有限體積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。當(dāng)然二者也有聯(lián)系，有時導(dǎo)出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。有限元法（FEM：Finite Element Method）是R.Courant于1943年首先提出的，20世紀(jì)50年代有航空結(jié)構(gòu)工程師們說發(fā)展，隨后逐漸

8、波及到土木結(jié)構(gòu)工程，到了60年代，在一切連續(xù)領(lǐng)域都愈來愈廣泛地得到應(yīng)用。有限元方法側(cè)重于定態(tài)問題（橢圓形問題）。它是用有限個單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元：桿系結(jié)構(gòu)（由若干桿件組成的結(jié)構(gòu)，在土木、建筑、機械、船舶、水利等工程中應(yīng)用很廣）的單元是每一個桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插

9、值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。（1）從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；（2）從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格；（3）從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法方面的經(jīng)典文獻有Ciarlet的The Finite Element Method for Elliptic Problems和Brenner & Scott的Mathematical heor

10、y of the Finite Element Method。 有限元方法的優(yōu)點：有限元法十分有效、通用性強、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計使用。它可以用任意形狀的網(wǎng)格分割區(qū)域，還可以根據(jù)場函數(shù)的需要疏密有致地、自如地布置節(jié)點，因而對區(qū)域的形狀有較大的適應(yīng)性，另外，有限元方法在實用上更大的優(yōu)越性還在于，它與大容量的計算機相結(jié)合，可以編制通用的計算程序。有限元方法的不足：工作量巨大！注：有限元方法是把微分方程定解問題轉(zhuǎn)化為求一個等價的“變分問題”，其基本問題可以歸納為：1) 把微分方程定解問題轉(zhuǎn)化為變分形式2) 選定單元的形狀，對求解區(qū)域做剖分3) 構(gòu)造基函數(shù)或者單元形狀函數(shù)4)

11、 形成有限元方程5) 求解有限元方程邊界元法（目前在很多工程技術(shù)問題應(yīng)用）是在有限元之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。又稱邊界積分方程。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。邊界元法的主要缺點是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，

12、對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。譜方法是70年代發(fā)展起來的一種數(shù)值求解偏微分方程的方法，它具有“無窮階”收斂性，可采用快速算法，現(xiàn)已被廣泛用于氣象、物理、力學(xué)等諸多領(lǐng)域，成為繼差分法和有限元法之后又一種重要的數(shù)值方法，譜方法對于規(guī)則區(qū)域上的問題往往是最為有效的方法。 其基本思想是把解近似地展開成平滑函數(shù)(一般是正交多項式)的有限級數(shù)展開式即所謂解的近似譜展開式再根據(jù)此展開式和原方程求出展開式系數(shù)的方程組。譜方法實質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)的分離變量技術(shù)的一種推廣。 一般多取切比雪夫多項式和勒讓德多項式作為近似展開式的基函數(shù)。對于周期性邊界條件用傅里葉級數(shù)和調(diào)和級數(shù)比較方便。譜方法的精度直接取決于級數(shù)展開式的項數(shù)。 利

13、用快速傅里葉變換技術(shù)可迅速完成求解過程比任何有限階的有限差分解都更快地收斂到真解。 一般說譜方法遠比普通一二階差分法準(zhǔn)確。由于快速傅里葉變換之類的技術(shù)不斷發(fā)展譜方法的運算量越來越少一般是很合算的。特別是對于二維以上的問題用差分法計算必須設(shè)置足夠多的網(wǎng)格點造成計算量的增加而用譜方法一般不需取太多的項就可得到較高精度的解。 因此譜方法在計算流體力學(xué)復(fù)雜流場的問題中有廣泛應(yīng)用。雙曲型方程：考慮常系數(shù)方程 其中a為給定常數(shù)，這是最簡單的雙曲型方程，一般稱其為對流方程。1. 迎風(fēng)格式：這兩個差分格式都是條件穩(wěn)定的，都具有一階精度的。2.二階迎風(fēng)格式：該格式是二階精度，條件穩(wěn)定。3Lax-Friedric

14、hs格式首先考慮中心差分格式 其截斷誤差為，但絕對不穩(wěn)定，1954年Lax和Friedrichs提出了Lax格式該格式具有一階精度，條件穩(wěn)定。4.Lax-Wendroff 1960年Lax和Wendroff構(gòu)造了一個二階精度的二層差分格式該格式條件穩(wěn)定5Wendroff隱式格式：該格式具有二階精度，且絕對穩(wěn)定。6.蛙跳格式：該格式是個三層格式，具有二階精度，條件穩(wěn)定。考慮二維雙曲型方程假定的網(wǎng)格步長相等，1 FFF型顯式格式（）其中， 該格式條件穩(wěn)定，穩(wěn)定性條件為，精度為2 Lax-Friedrich格式一階精度，條件穩(wěn)定，穩(wěn)定性條件為。3Lax-Wendroff格式這里和分別為和的二階中心差

15、分算子，和分別為和的一階中心差分算子，且，該格式為二階精度，穩(wěn)定性條件為，當(dāng)時該式變?yōu)橐痪S形式的Lax-Wendroff格式，但是不能有一維形式的Lax-Wendroff格式直接推廣到二維或三維形式。4 Crank-Nicolson格式 該格式的截斷誤差為，即為二階精度，無條件穩(wěn)定。5.兩步交替方向ADI格式：Beam-Warming格式：，二階精度，無條件穩(wěn)定。格式：，其中，改格式和Beam-Warming格式等價。拋物型方程：考慮常系數(shù)方程 ， 1向前、向后差分格式：其截斷誤差為，向前差分格式條件穩(wěn)定，向后差分格式無條件穩(wěn)定。2預(yù)測校正格式： 考慮將向前顯示和向后隱式結(jié)合，首先用向前顯示格

16、式計算上的值，然后用向后隱式格式計算層上的值。該格式稱為預(yù)測校正格式。二階精度，且無條件穩(wěn)定。3.加權(quán)隱式格式其中。當(dāng)時該格式為二階精度，此時稱該格式為Crank-Nicolson格式當(dāng)時該格式的截斷誤差為另外，顯然當(dāng)時，該格式就是向后差分格式，當(dāng)時，該格式就是向前差分格式。向后差分格式和Crank-Nicolson（CN）格式是無條件穩(wěn)定的，而向前差分格式是條件穩(wěn)定的。4三層顯式格式：首先看一個三層格式（Richardson格式）該格式具有二階精度，但是不穩(wěn)定。1953年Du fort 和Frankel對Richardson格式進行修改提出了Du Fort-Frankel格式該格式仍然為三層

17、顯示格式。其截斷誤差為，故而該格式與原微分方程相容的充要條件為，即趨于0的速度要比趨于0的速度快，反之，如果，該差分格式就于原方程不相容而與雙曲型方程相容。Du Fort-Frankel格式無條件穩(wěn)定，但是條件相容。實際上無法構(gòu)造出無條件相容和無條件穩(wěn)定的顯示格式。5三層隱式格式：由于三層顯示格式在穩(wěn)定性或相容性方面受到限制，所以轉(zhuǎn)向三層隱式格式，考慮該隱式格式具有二階精度，且無條件穩(wěn)定?？紤] 其中該格式是二階精度的，也是無條件穩(wěn)定的。6跳點格式：首先把網(wǎng)格點按偶數(shù)或奇數(shù)分成兩組，分別稱為偶數(shù)網(wǎng)格點和奇數(shù)網(wǎng)格點。當(dāng)從時刻推進到時刻時，先在偶數(shù)網(wǎng)格點上用向前差分格式 求得時刻的值，然后在奇數(shù)網(wǎng)格

18、點上用隱式格式 ，這是一個偶、奇、顯、隱交替的方法。等價于Du Fort-Frankel格式，精度和穩(wěn)定性與Du Fort-Frankel格式相同。 但是，跳點格式節(jié)省儲存，節(jié)省計算工作量而且利用格式本省就可以計算出具第一時間層的值，克服了三層格式的一個缺點。7不對稱格式：Saulyev(1964)曾介紹過一系列不對稱近似格式，這些格式都是無條件穩(wěn)定的顯格式，采用如下近似 （1） （2）Saulyev用代替則 （3）所以由（1）（3）可得差分格式 （4）這里，其誤差階為。如邊界值已知。則可（4）可以顯示地寫出之值，即計算從邊界開始逐步向右移動。若在（2）中用代替則能推出另一個類似的格式 （5）這里，其誤差階為。如果計算從右邊界向左邊界移動，則（5）也是一個顯式格式。 如果為常數(shù)且與原方程相容，則截斷誤差為階。Larkin(1964)提出了使用Saulyev近似格式的易于使用的各種算法：l 只使用（4），在同一條線上始終從左到右。l 只使用（5），在同一條線上始終從右到左。l 交替使用（4）和（5），在某一條線上使用（4），在下一條線上使用（5），這時截斷誤差為l 在同一條線上同時使用（4）和（5），然后把所得結(jié)果取平