數(shù)學建模宿舍建設方案

1、數(shù)學實驗與數(shù)學模型實驗報告2011 2012學年度第 一 學期對學生宿舍設計方案的評價摘要:就“學生宿舍設計方案的綜合評價問題”解決方案，運用線性加權(quán)綜合法的評價模型和基于灰色關(guān)聯(lián)分析的綜合評價模型。線性加權(quán)綜合法的評價模型，首先進行了數(shù)據(jù)處理，通過宿舍建設和運行的成本以及對學生的收費來衡量宿舍方案的經(jīng)濟性，以評分的模式來衡量宿舍方案的舒適性與安全性。經(jīng)濟性、舒適性和安全性三項評價指標都化為極大型來處理，對其進行無量綱化處理消除各自的度量單位及數(shù)量級的差別，用極差法確定三項評價指標的權(quán)重系數(shù)，得出方案的最終評價值，從而得出四最優(yōu)結(jié)論。關(guān)鍵字:線性加權(quán)綜合 類型一致化處理 無量綱化處理 灰色關(guān)聯(lián)

2、分析 母序列 子序列 關(guān)聯(lián)度 一、問題重述學生宿舍事關(guān)學生在校期間的生活品質(zhì), 直接或間接地影響到學生的生活、學習和健康成長。學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理, 同時要考慮成本和收費的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經(jīng)濟發(fā)展水平有關(guān)。因此，學生宿舍的設計必須考慮經(jīng)濟性、舒適性和安全性等問題。 經(jīng)濟性：建設成本、運行成本和收費標準等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等。 安全性：人員疏散和防盜等。通過建立適當?shù)臄?shù)學模型來綜合考慮經(jīng)濟性，舒適性，安全性這三項指標，來找出一種最好的宿舍建設方案。二、問題的分析本題來源我們的實

3、際，好的宿舍設計方案必然有較高的經(jīng)濟性、舒適性以及安全性，因此需要考慮如下問題： 1. 宿舍的建設和運行成本，以及對學生的收費能夠盡量低； 2. 學生的人均面積能夠盡量大；3. 學生宿舍的設施能夠盡量符合學生的日常需求，使其使用相對方便；4. 學生在宿舍中的生活、學習和休息能夠盡量互不干擾；5. 學生宿舍的采光和通風盡量相對較好； 6. 學生宿舍在人員疏散時能夠盡量相對較為安全；7. 學生宿舍的防盜性盡量相對較好；此問題評價四個宿舍設計方案的優(yōu)劣，通過對三項指標經(jīng)濟性，舒適性，安全性的考慮來確定，而經(jīng)濟性通過對其建設成本和運行成本、對學生的收費加以分析，舒適性通過對人均面積、使用方便、互不干擾

4、、采光和通風等方面加以分析，而對安全性而言，主要是考慮人員疏散和防盜的問題。三、模型假設與符號說明1） 模型假設1. 假設題目所給的數(shù)據(jù)真實可靠；2. 四種設計所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經(jīng)濟發(fā)展水平相同；3. 假設模型一優(yōu)化之前，在經(jīng)濟上只考慮建設成本，4種方案價格均為1000元/；4. 有陽臺，私人衛(wèi)生間，客廳，活動室，自習室，簡易餐廳、廚房、垃圾間、開水間等設施對學生的舒適程度產(chǎn)生一定影響；5. 假設模型一優(yōu)化之前，將各種方案中的電梯視為樓梯。6.2） 符號說明1. n種方案的m項指標的指標值為，其中2. 為無量化后的指標值；3. 為4種方案的第項指標值的最大值；4. 為4種方案的第

5、項指標值的的最小值；5. 為4種方案的第項指標的極差的絕對值的最大值；6. 為3項指標各自所占的權(quán)重系數(shù)；7. 人均建筑面積為；8. 為第種方案的綜合評價值；其中；9. 每種方案的宿舍建設面積10. 每種方案中宿舍容納學生的總?cè)藬?shù)為；11. 表示第種方案在第項指標上的評價值四、模型的建立與求解4.1模型一的建立與求解三大指標的數(shù)據(jù)準備(1) 經(jīng)濟性宿舍建筑面積的大小應該與此樓層學生人數(shù)相緊密聯(lián)系，在面積固定的情況下，人數(shù)越多，人均面積就越小，所投入的資金就相對較少，所以先計算出各種方案的人均建筑面積：；表一 方案一方案二方案三方案四人均建筑面積4.76812.0919.77614.298為了簡

6、化模型，我們暫且不考慮成本與收費的平衡，僅以建設成本和運行成本來衡量經(jīng)濟性這一指標，假設宿舍的建設和運行成本總和為對表一進行進一步的處理，得到人均所需建設費用為：，在此作為經(jīng)濟性的衡量值，具體數(shù)據(jù)如下表：表二 方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性476812091977614298(2) 舒適性舒適性應與人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等緊密聯(lián)系起來。而此時需要建立一種評判的標準，來對這四種宿舍建設方案的舒適性程度進行比較評價，我們主要通過打分的模式來為各種因素進行具體的數(shù)值量化。對于人均面積，在相對較小的情況下它的增大對個人的影響比較大，而在后來大到一定的程度時隨著人均面積的繼續(xù)增大對個人

7、的影響程度逐漸變小，所以據(jù)此建立一種人均面積評分標準：表三 （分）人均面積評分1020283439434546相應方案方案一（4.768）方案三（9.776）方案二（12.091）方案四（14.298）對于舒適性中使用方便標準的評價，主要是看各種宿舍設計方案是否有獨立衛(wèi)生間，有無開水間，垃圾間，餐廳，陽臺，活動室等設施。對此我們在人均面積的基礎得分上建立了如下的加分模式：表四 （分）加分項有活動室有夜間自習室有簡易餐廳有垃圾間有開水間有獨立盥洗室有客廳有陽臺有獨立衛(wèi)生間加分+6+6+3+3+3+3+6+10+10所以衡量舒適性程度最后的評分為：人均面積得分+加分項總分；從而可以統(tǒng)計出這四種宿舍

8、設計方案的舒適性程度評分，具體數(shù)據(jù)如下：表五 （分）舒適性方案一方案二方案三方案四評分28865865(3) 安全性在這四種宿舍設計方案中對安全性而言，我們在這里主要是考慮每個樓梯（為了簡化模型，在此處暫把電梯也視為樓梯）能夠疏散的學生數(shù)，每個樓梯承載的人數(shù)越少就說明疏散的就越快，安全性就相對較高，以此來作為衡量安全性的標準。對于每種方案，宿舍的樓梯承載人數(shù)計算公式如下：宿舍的樓梯承載人數(shù) = 樓層的總?cè)藬?shù)/樓層的樓梯總數(shù)。具體計算數(shù)據(jù)如下表：表六 安全性方案一方案二方案三方案四評分924445.626.4關(guān)于線性加權(quán)綜合法的評價模型(1) 評價指標類型的一致化處理經(jīng)濟性的指標是極小型（成本越

9、低，經(jīng)濟性越好）；舒適性的指標是極大型（指標越高，舒適性越好）；安全性的指標是極小型（平均每個樓梯承載的人數(shù)越少，疏散性就越好，安全性就越高）。下面對這三項指標都運用極大型處理a) 對極小型指標經(jīng)濟性的指標作極大化變化，即令平移變換： 其中 b) 對極小型指標安全性的指標作極大化變化，即令平移變換： 其中通過統(tǒng)一運用極大型處理，從而得到如下數(shù)據(jù)： 表七方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性9530220745220舒適性28865865安全性04846.465.6(2) 評價指標的無量綱化處理 經(jīng)濟性、舒適性、安全性這3項評價指標由于各自的度量單位及數(shù)量級之間的差別，而存在著不可公度性，這就為確定綜合

10、評價指標帶來了困難和問題。為此，為了盡可能的反映實際情況，消除各指標之間的單位不同，以及數(shù)量級之間差別的影響，我們需要對各項評價指標做無量綱化處理。 在此處我們使用極差化的方法來對4種方案的3項指標的指標值進行無量綱化處理，令 則新的指標為，即把作為無量化的指標值，通過計算，從而統(tǒng)計出無量化后的指標值為：表八方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性舒適性安全性(3) 運用極差法計算項評價指標所占的權(quán)重系數(shù)，其中，由此我們可以計算出三項評價指標各自所占的權(quán)重系數(shù)為：。(4) 求綜合評價值 為了能使各評價指標間的作用得到線性補償，保證綜合評價指標的公平性，我們運用線性模型：，來計算4種方案的綜合評價值，綜合

11、評價值越高，就表明宿舍的設計方案越合理。通過計算得到的綜合評價值如下表：表九方案方案一方案二方案三方案四綜合評價值0.33330.65440.56630.5460排名第四第一第二第三通過表九可以顯然看出來方案二最好。模型一的優(yōu)化與求解(1) 經(jīng)濟方面在實際情況中，不可能僅由建設成本來衡量經(jīng)濟性的優(yōu)劣，更應該考慮到宿舍建設和運行的成本與對學生的收費兩者之間的平衡。在建設和運行成本方面，由于方案二的建筑結(jié)構(gòu)最復雜，公共區(qū)功能最多，因此成本為四個方案中最高；而方案一建筑結(jié)構(gòu)和設施最為簡單，因此成本為四個方案中最低；方案三、四建設和運行成本適中。對此，我們制定如下建設和運行成本標準：表十方案一方案二方

12、案三方案四建設成本1000（元/m2）1200（元/m2）1100（元/m2）1100（元/m2）運行成本1.5（元/（人*天）2（元/（人*天）1.8（元/（人*天）1.8（元/（人*天）假設學生在宿舍居住九個月，即270天。因此有收費標準為：人均建設成本*8%+人均日運行費用*270。通過計算，得出下表數(shù)據(jù)：表十一 （元/人）方案一方案二方案三方案四費用786.441700.7361189.8721744.224最終通過學生人均收費費用來衡量經(jīng)濟性的優(yōu)劣。(2) 舒適性方面在這里，我們需要在原有基礎上對互不干擾、采光和通風方面進行進一步細化。a) 方案一，宿舍為8人間，人均宿舍面積僅為3.

13、1875平米，且學習，休息都在宿舍內(nèi)，容易互相干擾；L型的建筑結(jié)構(gòu)，靠北側(cè)的房間冬天采光差，七個朝西的房間夏天受西曬影響嚴重。加上走道為內(nèi)走道，空氣流動性差，不利于通風。b) 方案二，宿舍為4人間，人均面積為6.25平米，設置了夜間自習室與活動室，達到了互不干擾的效果；c) 方案三，宿舍為6人間，人均面積為4.48平米；公共衛(wèi)生間進深太長，約8米，寬度又太窄，2.1米，只有一側(cè)有窗，非常不利通風，并且不清潔。d) 方案四，宿舍為6人間，兩人一臥室，人均面積為8.75平米，舒適性較高， 相互干擾因素也很少。但套間中每個小間均無陽臺和窗，通風和采光差。且衛(wèi)生間沒有任何采光和通風。因此，依據(jù)以上因素

14、，我們需要在舒適性這一塊各個方案原有的評分下增加以下更為細化的加減分評定標準。 首先在互不干擾方面，有下表：表十二 （分）2人一臥室4人間6人間8人間加分+3+2+1+0相應方案方案四方案二方案三方案一 其次在采光通風方面，有下表： 表十三 （分）房間西曬影響北側(cè)房間冬天采光差內(nèi)走道衛(wèi)生間無采光和通風減分-3-3-3-3相應方案方案一方案二主要為方案二、三、四方案一方案四結(jié)合各個方案原有評分，以及表十二、十三，在舒適性方面有如下新的評分：表十四 (分)方案一方案二方案三方案四評分25825662(3) 安全性方面在安全方面需要對人員的疏散考慮，這時需要考慮的因素有如下a) 平均每人離樓梯的最近

15、距離；在此定義為：每人離樓梯最近距離的總和/學生總?cè)藬?shù)b) 平均每人所占的走廊面積；在此定義為：走廊面積的總和/學生總?cè)藬?shù) c) 平均每個樓梯要疏散的學生數(shù)；考慮到在危急情況下，進行人員疏散時，不走電梯，故在此處定義為：學生總?cè)藬?shù)/樓梯總數(shù)；d) 樓梯的寬度；e) 樓梯的門數(shù)：疏散樓梯設置兩道門，不利于消防和緊急疏散。f) 防盜問題；為此我們制定了相應的評判標準表十五 （mm/人）平均每人離樓梯的最近距離得分2015105相應方案方案一（1146）方案三（4576）方案四（5396）方案二（7713）表十六 （mm2/人）平均每人所占的走廊面積得分5101520相應方案方案一（0.6911）方

16、案二（0.5891）方案三（1.6737）方案四（3.0436）表十七 （人/樓梯）平均每個樓梯要疏散的人數(shù)得分2015105相應方案方案四（66）方案一（92）方案二（110）方案三（114）表十八 （mm）樓梯寬度得分5101520相應方案方案四（1500）方案一（1550）方案二（1650）方案三（1650）表十九 （分）樓梯門數(shù)12減分-0-5相應方案方案一方案二、三、四表二十方案一：靠近樓梯與公共區(qū)域（衛(wèi)生間，洗漱間）的宿舍，由于此區(qū)域靠近衛(wèi)生間與洗漱間，過道區(qū)的人員流動將非常頻繁，不利于防盜。-10分方案二：防盜情況良好。方案三：兩個寢室共用一個陽臺，而陽臺的中間實際成了進衛(wèi)生間的

17、通道，通常衛(wèi)生間與陽臺的門不設置門鎖，這樣一來兩個相鄰的寢室是聯(lián)通的，不利于防盜。-10分方案四：防盜情況良好。我們將6項因素的得分求和作為最后衡量安全性的標準。具體數(shù)據(jù)如下表：表二十一 （分）方案一方案二方案三方案四評分35353050(4) 具體處理 經(jīng)過以上三方面的數(shù)據(jù)處理，我們得到了初始數(shù)據(jù)，如下表：表二十二方案指標方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性786.441700.7361189.8721744.224舒適性25825662安全性35353050其中經(jīng)濟型的指標是極小型（指標越低，經(jīng)濟性越好）而舒適性與安全性均為極大型指標，故將經(jīng)濟型指標作極大化處理，具體步驟同2.1.從而有：表二十

18、三方案指標方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性957.78443.488554.3520舒適性25825662安全性35353050接著同樣通過極差化方法進行無量化綱化處理，具體步驟同2.2有：表二十四方案指標方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性舒適性安全性各項指標所占的權(quán)重系數(shù)仍為：；同樣運用2.4綜合評價值的求法，得到最終結(jié)果如下表：表二十五方案方案一方案二方案三方案四綜合平均值0.41670.43180.37420.5497排名第三第二第四第一顯然通過優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)方案四相對原先得出的方案二更為合理。因為在優(yōu)化過程中，結(jié)合了實際，取消了電梯視為樓梯的假設，且考慮到了房間的朝向、更加細化的分析了宿舍的采光

19、與通風問題、同時添加了防盜等新的因素，因而得出了與模型優(yōu)化前所不同的結(jié)果，且優(yōu)化后更為合理。4.2 模型二的建立與求解根據(jù)4種方案的3個指標的指標值，給出了這4種方案的綜合評價指標值。從而分析各種方案的好壞?；疑P(guān)聯(lián)分析方法綜合評價模型的建立：灰色關(guān)聯(lián)分析方法的基本思想是：將評價問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)聯(lián)度，即按照一定的準則定義出母序列，計算出各個子序列與母序列的關(guān)聯(lián)度，再加以比較得到綜合評價結(jié)果。選定母序列和比較序列定義評價值矩陣H，其中的元素表示第種方案在項指標上的評價值，如下表：表二十六方案指標方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性舒適性安全性母序列 令，由構(gòu)成母序列，則有。子序列（比較序列） :由分別構(gòu)

20、成4個比較序列。即 計算關(guān)聯(lián)度在子序列中，每個數(shù)值與母序列中相應數(shù)值的關(guān)聯(lián)系數(shù)可以由以下公式算出：，其中；為分辨系數(shù)，其值越高，分辨率越高；其值越低，分辨率越低，在這里我們定義=0.5；對關(guān)聯(lián)系數(shù)取均值能得到相應的關(guān)聯(lián)度。從而有關(guān)聯(lián)系數(shù)：表二十七方案指標方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟性舒適性安全性從而就能夠把綜合評判值能夠算出來，見下表：表二十八方案方案一方案二方案三方案四綜合評判值/98339892793710897排名第三第二第四第一顯然方案四最佳。（排名結(jié)果與模型一相一致）方案四雖然收費較高，但在舒適性和安全性方面做得較好，綜合性價比較高，故在此處為最優(yōu)方案；而方案一、二、三分別在舒適性、經(jīng)濟性和安全性上有所欠缺，故綜合評定下來，不如方案四。五、模型的評價優(yōu)點：1） 本文模型充分考慮了影響宿舍經(jīng)濟性、舒適性與安全性的各個因素，并以評分的模式來量化了舒適性與安全性，大大簡化了數(shù)據(jù)處理的復雜程度。2） 分析處理數(shù)據(jù)的時候，暫時先從大的方面開始處理，然后再一步步細化，直到分的