常見遞推數(shù)列通項公式的求法典型例題及習(xí)題

1、【典型例題】常見遞推數(shù)列通項公式的求法典型例題及習(xí)題1 an 1 kan ' b 型。(1) k =1 時，an 1 -an =(2) k 1 時，設(shè) an 1 m比較系數(shù)：km - m二bER是等比數(shù)列,b= an是等差數(shù)列，ab n ® -b)二 k(anm)an 4 = kan km-mm =k -1公比為ai丄k -12 a. 1 二 kanf (n)型。(1)k =1 時,an 1 一 an例：已知an滿足ai =1解:n -1二 f(n)，an 1_ anan 1 一 ann(n 1) n n 1an 4 an _2%仏 n-3 n-2an 二(a1aa廠廠 3對

2、這（n-1）個式子求和得： an a1f（n）可求和，則可用累加消項的方法。n（n 1）求an的通項公式。n -2 n T十丄n(3) f(n)=qn(q =o, 1)等式兩邊同時除以an 1 kn 1n 1q 得qann q1+qCn -CnqCn可歸為an 1 = kan b型(2) k 式1 時，當(dāng) f(n)=an+b則可設(shè) a*屮+A(n+1) + B = k(an + An+B)an .1 = kan (k -1)An (k -1)B - A(k 1) A = aab a丿B=+2L(k1)BA=b解得：k -1 , k 一1 (k1)an An B是以ai A B為首項，k為公比的

3、等比數(shù)列n 1an An (a1 A B) k將A、B代入即可.an -(a1 A B) knd - An - B例 3 % 1 = f (n) On 型。(1 )若f (n)是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。12n -1a1 -anan 4例:已知：3,2n - 1(nanan 1an -2 .a3a22n -1解:an -1an -2an -3a?a一 2n 131an一 a12n 12n 1(2)若f (n)可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。-2 )求數(shù)列an的通項。2n -3 2n -55 3 _32n -1 2n -37 5 2n 1例4an = k m %m +an斗型?？紤]函數(shù)倒數(shù)關(guān)

4、系有 an1 =k(an Aanan JCn 二令 an則Cn可歸為an 1= kan b 型。= 2an 1求通項公式。練習(xí): 1.已知an滿足 al =3 , an 1解：設(shè) an 1 m = 2(an m)a. 1 = 2a. m an 1 1是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列n 1n 1a*1 = 4 2. a* = 2-12.已知an的首項a =1 , an* = an +2n ( n N * )求通項公式。解：an - an 4 = 2(n - 1)a*a* 2 = 2(n - 2)a3 _ a - 2 2a? - a1 = 2 12an -a1 =212 (n -1)H n -n2

5、.an = n _ n _1na 十=a3.已知an中，n n+2 n且a =2求數(shù)列通項公式。 解：2n(n 1)anan 4an_2.a3a2n1n 2 n 3n 42 1an4anman書 a2ain 1 n n-1 n-24 3ana1n(n 1)n(n 1)4.數(shù)列an中,an 1解:2n 1 anan 12n1anbnbn- bn<bn/"bn J32* 12n 1bn 1an-an=bn,ai = 2，求an的通項。2n 1bn bn db3_b2 二 £'b2 b122_1一（2鬥bn一 b123bnn .2 -15.已知:解:an2n2n -

6、1An Bn - 2 時,4aan2n -1,求an的通項公式。A(n -1) Ban Jan廠n 2 n 2 21A=221 1AB =1 2 2'A = 4解得:B =6.an -4n ®是以3為首項,12為公比的等比數(shù)列an -4n 6= 3(*)心an4n 6【模擬試題】1.已知an中,ai=3，求a2.已知an中,ai=1an3.已知©中,ai=1an-2an2( n 亠 2)求 an。4.已知an中,ai=4an=4亠an(n _ 2) 求 a5.已知an中,ai=1_ 2S2a* =其前n項和Sn與an滿足步-1 ( n_2)an(i)求證:sn為等差

7、數(shù)列(2)求an的通項公式6.已知在正整數(shù)數(shù)列an中，前1 2n項和Sn滿足S-8(an2)(1 )求證：寺是等差數(shù)列1an -30(2)若bn 2，求bn的前n項和的最小【試題答案】1.解：由an 1= an+2，得 an =an二 *2an-an廠2心an J-忙=2n，an 2(1 一 2n)=2-21-2an =2n -2 - a2n 12. 解:由 an = 3an 1 2 得：an 1 = 3(an 1 1)an1 .3an1即an 1是等比數(shù)列an 1 二 1)3nJann二(a11) 3n -1=2 3nJ -13. 解:an由 an =2an：2n得 2n 2n J-14.

8、解:an-42 成等差數(shù)列，2n 2m (n-1)an=n 2n -2n420 - 2)an 11= r ananan 1- 22(an - 2)2 an - 2( n 丄 1 )1a* 1 - 22 ( n -1)設(shè)即Ln12(n-1)1 bn是等差數(shù)列an(n-1)1-2 a1 -225.解:Sn_ Sn J.(1)2S：2Sn-1Sn Sn2SanSn=2n -1(2) &2n -16. 解:(1) a14(a1n - 2 時,an整理得:是首項為1，公差為2的等差數(shù)列an2)22()22n -12n -1-2-2-124n -8n 35一2)28n 3(n -2)2)22)2(anan4)(an -