第四章第8講　正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例

1、抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考第第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等海問(wèn)題、物理問(wèn)題等(1)仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線角，目標(biāo)視線在水平視線_的角叫仰角，目標(biāo)視線在的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線水平視線_的角叫俯角的角叫俯角

2、(如圖如圖)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型2實(shí)際問(wèn)題中的常用角實(shí)際問(wèn)題中的常用角上方上方下方下方抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北，北偏西偏西45，西偏北，西偏北60等；等；(3)方位角方位角指從正北方向指從正北方向_轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的點(diǎn)的方位角為方位角為(如圖如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)順時(shí)針順時(shí)針抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突

3、破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形應(yīng)用題的一般步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實(shí)際問(wèn)題中提煉知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實(shí)際問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單

4、位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或?qū)嶋H問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其

5、他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組組)，解方程，解方程(組組)得出所要得出所要求的解求的解抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012江蘇金陵中學(xué)江蘇金陵中學(xué))已知已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為的一個(gè)內(nèi)角為120，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則三角形的面積的等差數(shù)列，則三角形的面積等于等于_考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考2若海上有若海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距兩島相距1

6、0海海里，里，BAC60，ABC75，則，則B，C間的距離間的距離是是_海里海里抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2013日照調(diào)研日照調(diào)研)如圖，一船如圖，一船自西向東勻速航行，上午自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西的南偏西75距塔距塔68海里的海里的M處，下午處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速處，則這只船的航行速度為度為_海里海里/時(shí)時(shí)抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案等邊三角形等邊三角形抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭

7、秘3年高考年高考答案答案4抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】如圖所示，如圖所示，A、B、C、D都在都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面船于水面A處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角分別為分別為75，30，于水面，于水面C處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1km.考向一考向一測(cè)量距離問(wèn)題測(cè)量距離問(wèn)題(1)求證：求證：ABBD；(2)求求BD.抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)證明證明在在ACD

8、中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以，所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底邊底邊AD的中垂線，所以的中垂線，所以BDBA.抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié)(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解型的解(3)應(yīng)用題要注意作答應(yīng)用題要注意作答抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭

9、秘揭秘3年高考年高考ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)，求兩目標(biāo)A，B之間的距離之間的距離抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】(2010江蘇江蘇)某興趣小組要測(cè)量某興趣小組要測(cè)量電視塔電視塔AE的高度的高度H(單位：?jiǎn)挝唬簃)如圖所如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度的高度h4m，仰角，仰角ABE，ADE.考向二考向二測(cè)量高度問(wèn)題測(cè)量高度問(wèn)題(1)該小組已測(cè)得一組該小組已測(cè)得一組、的值，算出了的值，算出了tan1.24，tan1.20，請(qǐng)據(jù)此算出

10、，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；的值；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離電視塔的距離d(單位：?jiǎn)挝唬簃)，使，使與與之差較大，可以提高之差較大，可以提高測(cè)量精度若電視塔的實(shí)際高度為測(cè)量精度若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)，試問(wèn)d為多少為多少時(shí)，時(shí)，最大？最大？抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考因此，算出的電視塔的高度因此，算出的電視塔的高度H是是124m.抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法

11、總結(jié)(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析分清已知和待求，分析(畫出畫出)示意圖，明確在哪個(gè)三角示意圖，明確在哪個(gè)三角形應(yīng)用正、余弦定理形應(yīng)用正、余弦定理(3)注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練2】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高高AB時(shí)，可以選與塔底時(shí)，可以選與塔底B在同一水平在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與與D，現(xiàn)測(cè)得，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)，并在點(diǎn)C測(cè)測(cè)得塔頂?shù)盟擜的

12、仰角為的仰角為，求塔高，求塔高AB.抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問(wèn)題運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問(wèn)題抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：第一步：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題；第一步：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題；第二步：將有關(guān)條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個(gè)或兩個(gè)三第二步：將有關(guān)

13、條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個(gè)或兩個(gè)三角形中角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解這個(gè)三角形第三步：用正弦定理和余弦定理解這個(gè)三角形第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【訓(xùn)練訓(xùn)練3】(2013廣州二測(cè)廣州二測(cè))如圖，漁船如圖，漁船甲位于島嶼甲位于島嶼A的南偏西的南偏西60方向的方向的B處，且與島嶼處，且與島嶼A相距相距12海里，漁船乙海里，漁船乙以以10海里海里/時(shí)的速度從島嶼時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出處出發(fā)沿北偏東發(fā)沿北偏東的方

14、向追趕漁船乙，剛的方向追趕漁船乙，剛好用好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處處(1)求漁船甲的速度；求漁船甲的速度；(2)求求sin的值的值抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些

15、三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中規(guī)范解答規(guī)范解答8如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考審題路線圖審題路線圖(1)分清已知條件和未知條件分清已知條件和未知條件(待求待求)(2)將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中(3)利用正、余弦定理求利用正、余弦定理求解解抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2個(gè)

16、考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)三角形應(yīng)用題常見的類型：三角形應(yīng)用題常見的類型：實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解；形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解；實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理理抓住抓住2個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破3個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012四川卷改編四川卷改編)如圖，正方如圖，正方形形ABCD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)BA至至E，使，使AE1，連結(jié)，連結(jié)EC、ED，則，則sinCED_.高考經(jīng)典題組訓(xùn)練高考經(jīng)典題