排列組合 古典概型—復(fù)習(xí)歸納教師

1、1已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 ()A0.35B0.25 C0.20 D0.15解析：20組隨機(jī)數(shù)中恰有2個(gè)大于等于1且小于等于4的共有191、

2、271、932、812、393五組，其概率為0.25.2(2010·北京高考)從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則ba的概率是 ()A. B.C. D.解析：分別從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)，共有15種取法，其中滿足ba的有3種取法，故所求事件的概率為P.3先后拋擲兩枚均勻的骰子(骰子是一種正方體玩具，在正方體各面上分別有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy1的概率為 ()A. B.C. D.解析：拋擲2枚骰子，共有6×636種情況，因?yàn)閘og2xy1，所以y2x，此時(shí)滿足題意的數(shù)對(duì)(x，y)共有

3、(1,2)、(2,4)、(3,6)三種情況，所以概率P.4(2010·江蘇高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_解析：設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐，則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為.5.學(xué)校有兩個(gè)食堂，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則他們?cè)谕粋€(gè)食堂用餐的概率為_(kāi)解析：每人用餐有兩種情況，故共有238種情況他們?cè)谕皇程糜貌陀?種情況，故他們?cè)谕皇程糜貌偷母怕蕿?1基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是 的(2)任何事件(除

4、不可能事件)都可以表示成 的和2古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典模型(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 3古典概型的概率公式一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P(A) .考點(diǎn)一簡(jiǎn)單古典概型的概率有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn)：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的基本事件；(2)求事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”的概率；(3)

5、求事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”的概率自主解答(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個(gè)(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個(gè)基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)故P.(3)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下4個(gè)基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)故P.某口袋內(nèi)裝有大小相同的5

6、只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球(1)共有多少個(gè)基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，從中摸出2只球，有如下基本事件摸到1,2號(hào)球用(1,2)表示：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有10個(gè)基本事件(2) 如圖所示，上述10個(gè)基本事件的可能性相同，且只有3個(gè)基本事件是摸到2只白球(記為事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A).(3) 故共有10個(gè)基本事件，摸出2只球都是白球的概率為.考點(diǎn)二復(fù)雜的古典概型(2

7、011·蘇北四市聯(lián)考)如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1、A2、A3、A4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止(1)求甲經(jīng)過(guò)A2到達(dá)N處的方法有多少種；(2)求甲、乙兩人在A2處相遇的概率；(3)求甲、乙兩人相遇的概率自主解答(1)甲經(jīng)過(guò)A2，可分為兩步：第一步，甲從M到A2的方法有C種；第二步，甲從A2到N的方法有C種所以甲經(jīng)過(guò)A2到達(dá)N處的方法有(C)29種(2)由(1)知，甲經(jīng)過(guò)A2的方法數(shù)為9；乙經(jīng)過(guò)A2的方法數(shù)也為9.

8、所以甲、乙兩人在A2處相遇的方法數(shù)為9×981；甲、乙兩人在A2處相遇的概率為.(3)甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A1、A2、A3、A4處相遇，他們?cè)贏i(i1,2,3,4)處相遇的走法有(C)4種方法，所以(C)4(C)4(C)4(C)4164，故甲、乙兩人相遇的概率為.某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率解：(1)由于甲、乙

9、兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人(2)記A表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則P(A).(3)Ai表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i0,1,2.Bj表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有j名男工人，j0,1,2.B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人Ai與Bj獨(dú)立，i，j0,1,2，且BA0·B2A1·B1A2·B0.故P(B)P(A0·B2A·B1A2·B0)P(A0) ·P(B2)P(A1) ·P(B1)P(A2

10、) ·P(B0)···.現(xiàn)有8名奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語(yǔ)，B1、B2、B3通曉俄語(yǔ)，C1、C2通曉韓語(yǔ)，從中選出通曉日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)的志愿者各1名，組成一個(gè)小組(1)求A1被選中的概率；(2)求B1和C1不全被選中的概率解：從8人中選出日語(yǔ)、俄語(yǔ)和韓語(yǔ)志愿者各1名，其所有可能的結(jié)果組成的基本事件空間(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1

11、)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18個(gè)基本事件組成由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的(1)用M表示“A1恰被選中”這一事件，則M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6個(gè)基本事件組成，因而P(M).(2) 用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1

12、)，(A3，B1，C1)，事件有3個(gè)基本事件組成，所以P().(3) 由對(duì)立事件的概率公式P(N)1P()1.考點(diǎn)三古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題(2010·湖南高考)為了對(duì)某課題進(jìn)行研究，用分層抽樣方法從三所高校A，B，C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位：人).高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若從高校B，C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來(lái)自高校C的概率自主解答(1)由題意可得，所以x1，y3.(2)記從高校B抽取的2人為b1，b2，從高校C抽取的3人為c1，c2，c3，則從高校B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件

13、有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10種設(shè)選中的2人都來(lái)自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3種因此P(X).故選中的2人都來(lái)自高校C的概率為.某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000人，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表： 年級(jí)性別高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)女生的概率是0.19.(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在高三年級(jí)抽取多少人？(2)已知y245，z245，

14、求高三年級(jí)女生比男生多的概率解：(1)0.19，x380，高三年級(jí)人數(shù)為yz2000(373377380370)500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為×50012.(2)設(shè)“高三年級(jí)女生比男生多”為事件A，高三年級(jí)女生、男生數(shù)記為(y，z)由(1)知yz500，且y，zN*，則基本事件空間包含的基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11個(gè)，事件A包含的基本事件

15、有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5個(gè)，P(A).故高三年級(jí)女生比男生多的概率為. 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查形式既有選擇題、填空題，也有解答題，主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用尤其是古典概型與互斥事件、對(duì)立事件的綜合問(wèn)題更是高考的熱點(diǎn)，2010年福建高考將古典概型與向量等知識(shí)結(jié)合考查，代表了高考的一個(gè)重要考向考題印證(2010·福建高考)(12分)設(shè)平面向量am(m,1)，bn(2，n)，其中m，n1,2,3,4(1)請(qǐng)列出有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果；(2)記“使得am(ambn)成立的(m，n)”為事件A，求事件

16、A發(fā)生的概率規(guī)范解答(1)有序數(shù)組(m，n)的所有可能結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)(6分)(2)由am(ambn)得m22m1n0，即n(m1)2.(8分)由于m，n1,2,3,4，故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4)，共2個(gè)又基本事件的總數(shù)為16，故所求的概率為P(A).(12分)1求古典概型概率的步驟(1)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m.(2)利用公式P(A)求出事件A的概

17、率2有放回抽樣和無(wú)放回抽樣的概率在古典概型的概率中，將涉及兩種不同的抽取方法，設(shè)袋內(nèi)裝有n個(gè)不同的球，現(xiàn)從中依次摸球，每次只摸一只，具有兩種摸球的方法(1)有放回 每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，這種摸 球的方法稱為有放回的抽樣，顯然，對(duì)于有放回的抽 樣，每次摸出的球可以重復(fù)，且摸球可無(wú)限地進(jìn)行下去(2)無(wú)放回 每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一 只，這種摸球方法稱為無(wú)放回的抽樣顯然，對(duì)于無(wú)放 回的抽樣，每次摸出的球不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，且摸球只能進(jìn) 行有限次1(2011·黃岡模擬)設(shè)集合Pb,1，Qc,1,2，PQ，若b，c2,3,4,5,6,7,8,9，則bc的概

18、率是 ()A. B. C. D.解析：依題意得當(dāng)b2時(shí)，c可從3,4,5,6,7,8,9中選取，此時(shí)bc；當(dāng)b從3,4,5,6,7,8,9中選取時(shí)，有bc.因此，bc的概率為.2(2011·銀川模擬)將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則函數(shù)ymx3nx1在1，)上為增函數(shù)的概率是 ()A. B.C. D.解析：由題可知，函數(shù)ymx3nx1在1，)上單調(diào)遞增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6種情況，所以滿足條件的共有30種情況，則函數(shù)ymx3nx1在1，)上單

19、調(diào)遞增的概率為.3(2010·安徽高考)甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是 ()A. B.C. D.解析：甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，所得的直線共有18(對(duì))，而相互垂直的有5對(duì)，故根據(jù)古典概型概率公式得P.4(2010·遼寧高考)三張卡片上分別寫(xiě)上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為_(kāi)解析：基本事件總數(shù)為6，所含基本事件個(gè)數(shù)為2，所以所求的概率是P.5一籠里有3只白兔和2只灰兔，現(xiàn)讓它們一一出籠，假設(shè)每一只跑出籠的概率相同，則先出籠的兩只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是_解析：法一：設(shè)3只白免分別為b1，b2，b3,2只灰兔分別為h1，h2.則所有可能的情況是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h