微積分習題答案

1、一、填空題1設是的多項式，且，則 2 3 4設，則有 ， 4，25設，則 26 7函數(shù)的間斷點是 8為使函數(shù)在點處連續(xù)，應補充定義 19設函數(shù)在處連續(xù)，則參數(shù) 10函數(shù)在點處連續(xù)，則 2二、單項選擇題1設，且存在，則 2極限 不存在 3 ； ； ； 4的連續(xù)區(qū)間是_ 5函數(shù)的不連續(xù)點有 2個 3個 4個 4個以上6下列函數(shù)中，.當時，與無窮小量相比是高階無窮小量的是_；是等價無窮小量的是_ ， 7當時，與相比是 高階無窮小量 低階無窮小量 同階但不等價的無窮小量 等價無窮小量8當時，與相比是 高階無窮小量 同階但不等價的無窮小量低階無窮小量 等價無窮小量9設 為連續(xù)函數(shù)，則k =_ 1 3 0

2、 310函數(shù)在點處有定義是當時極限存在的 充分但非必要條件 必要但非充分條件充分必要條件 既非充分又非必要條件11當時，下列函數(shù)中比高階的無窮小量是 12當時，下列函數(shù)中為無窮小量的是 13當時，下列函數(shù)中為無窮小量的是 14設在某個極限過程中函數(shù)與均是無窮大量，則下列函數(shù)中哪一個也必是無窮大量 15設，則函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是 16是的 連續(xù)點 跳躍間斷點 可去間斷點 無窮間斷點三、求下列極限1 2 345（）6 解 記 因為 即 ，由于，所以由夾逼定理，得7設，求 解 原式左端 （）由于極限存在，故。 ，四、分析題1討論極限解 因為，故原極限不存在。2求的間斷點，并判別間斷點的類型

3、。解 因為，而，因此有間斷點：為可去間斷點，為無窮間斷點。.3求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，若有間斷點，試指出間斷點的類型。解 函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為，點為函數(shù)的第二類無窮間斷點。4討論函數(shù)的連續(xù)性。解 在點處沒有定義，是間斷點，故的連續(xù)區(qū)間為，點為的第二類無窮間斷點。5討論函數(shù)在點處的連續(xù)性。解 ， 在點處連續(xù)性。6設函數(shù) （）（1）當取何值時，點是函數(shù)的間斷點？是何種間斷點？（2）當取何值時，函數(shù)在上連續(xù)？為什么？解（1）在點處， 當且時，由于，所以點是的跳躍間斷點。 （2）當時，由于，則在點處連續(xù)。又因為在或上，為初等函數(shù)，所以連續(xù)。故當時，函數(shù)在上連續(xù)。7設函數(shù) （1）求函數(shù)的定義域； （2）討論函數(shù)在

4、點處的極限是否存在？為什么？ （3）為何值時，函數(shù)在點處連續(xù)？并求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；（4）畫出函數(shù)的圖形。解（1） （2）因為，所以不存在 （3）在點處， 所以，當時，即函數(shù)在點處連續(xù)。此時，的連續(xù)區(qū)間為： （4）略五、證明題1證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根。證 設，在上連續(xù)，又，由零點定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得，即，故方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根。2證明：方程（）至少有一個正根。證 設因為，故由零點定理知，使得，所以方程至少有一正根。3證明方程（）至少有一個正根，并且不超過。證 設，下面分兩種情形來討論：情形1 若 ，則因為，故是方程（）的正根，并且不超過。情形2 若，則因，故，又因在上連續(xù)，故由零點定理知，使得，因此是方程（）的正根，并且不超過。4設為正整數(shù)，函數(shù)在上連續(xù)，且，證明存在數(shù)，使得。證 若，即，取，結論成立。 若，作輔助函數(shù)，易知在上連續(xù)，因為 則個實數(shù)全部為零或同時有正數(shù)與負數(shù)， （1