指南隨機過程及其應用

1、§4.5 隨機過程的功率譜密度當我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時間域的問題轉換到頻率域，進而使問題簡化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個信號有“高”頻成分，我們在頻率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應用極廣。是不是任何一個時間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當時間函數(shù)滿足絕對可積條件時可以。然而，隨機過程的樣本函數(shù)，即,一般不滿足絕對條件，因此

2、隨機過程不能直接進行傅氏變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。這樣，若想直接對隨要過程進行譜分解，顯然也不行。但是，對隨機過程進行某種處理后，同樣可對隨機過程施行傅里葉變換。§4.5.1 功率譜密度w 為了研究隨機信號的傅氏變換，我們首先簡單復習一下確定信號S(t)的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機過程的功率譜密度概念。w 定理 設S(t)是一個確定信號且時間在上滿足絕對可積條件，則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜對于定理的物理解釋是，S(t)代表電流或電壓，則定理條件要求，即是要求S(t)的總能量必須有限。 由積分變換的巴塞伐公式即：下面我們來解

3、釋一下公式的物理含義：若把S(t)看作是通過1 電阻上的電流或電壓，則左邊的積分表示消耗在1 電阻上的總能量，故右邊的被積函數(shù)相應地稱為能譜密度。然而，工程技術上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦或余弦函數(shù)就是。我們要研究的隨機過程，由于持續(xù)時間是無限的，所以其總能量往往也是無限的，所以隨機過程的頻譜不存在。那么該如何應用傅氏變換工具來對隨機過程進行研究呢？我們是這樣考慮的，一個隨機過程，盡管它的樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即： 這是隨機過程的樣本函數(shù)在時間域上的平均功率表示。這樣，對隨機過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但

4、研究它的平均功率的傅氏變換卻有意義。怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義X(t)的一個樣本函數(shù)，不妨設為x(t)，再將本函數(shù)x(t)任意截取一段，長度為2T，并記為。稱為原樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)，如右圖所示。用公式表示即為于是滿足絕對可積條件。存在付氏變換，即這里稱為的頻譜函數(shù)。又由于隨機過程在隨機試驗中取哪一個樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗結果，就意味著隨機過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗結果有關，為此，可將樣本函數(shù)進一步表示為，當然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又 由于引入隨機過程樣本函數(shù)的截取函

5、數(shù)定義，所以又可給出上式隨機過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱上式為隨機過程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。定義樣本函數(shù)的功率譜密度:式中，為截取函數(shù)的頻譜。又 隨機過程是由一族樣本函數(shù)組成，即顯然對每一個樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都可以求出它的一個樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計平均就可給出隨機過程的功率譜密度定義。定義隨機過程的功率譜密度： 同樣定義定義：X(t)為均方連續(xù)隨機過程，稱 為X(t)的平均功率；稱 為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。根據(jù)帕塞伐公式及傅氏反變換，有所以：求隨機過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出，即過程的功率

6、譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的均方值，再積分。特別地，當我們研究的隨機過程是平穩(wěn)過程時，此時的平穩(wěn)過程平均功率可表示為：X(t)平穩(wěn) 例題 隨機過程式中，是常數(shù)， 上均勻分布隨機變量，求X（t）的平均功率。解：又顯然該過程不平穩(wěn)。§4.5.2 功率譜密度與自相關函數(shù)的關系通過對隨機過程的分析，我們知道隨機過程的相關函數(shù)是從時間角度度描述了過程的重要統(tǒng)計特性，而隨機過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統(tǒng)計特性，二者是異曲同工，研究的都是同一個對象，于是人們自然提出一個問題，隨機過程的相關函數(shù)和它的功率譜密度之間是否存在一定關系?我們發(fā)現(xiàn),當隨機過程平穩(wěn)且滿足一定條件時

7、，它們之間存在一定關系。定理 如果平穩(wěn)過程X(t)的相關函數(shù)絕對可積，即則過程X(t) 的相關函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即例題 設X(t)是平穩(wěn)過程，其相關函數(shù)，其中是正數(shù)，X(t)的功率譜密度。答案：§4.5.3 功率譜密度性質由隨機過程的功率譜密度定義，即可得如下幾個常用的性質:性質1 性質2是實函數(shù);性質3 對于實過程，是偶函數(shù);§4.5.4 互譜密度1. 互譜密度的定義 類似于一個隨機過程功率譜密度的研究方法，我們可以引入兩個隨機過程的互譜密度概念。設有兩個聯(lián)合平穩(wěn)隨機過X(t)和Y(t)，若設他們相應的截取函數(shù)設為的付氏變換分別為的付氏變換分別為。定義X(

8、t)和Y(t)的互譜密度為：2. 互譜密度和互相關函數(shù)之間的關系 類似研究平穩(wěn)過程X(t)的自相關函數(shù)與譜密度之間的關系一樣，我們可給出聯(lián)合平穩(wěn)過程互相關函數(shù)與互譜密度函數(shù)之間的關系表達式。若聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)、Y(t)的兩個互相關函數(shù)滿足那么 3. 互譜密度的性質下面我們簡要給出互譜密度的性質如下：; 若X(t)與Y(t)為實過程，則:的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù); 若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則:; 若X(t)和Y(t)是兩個不相關的平穩(wěn)過程，分別有非零均值，則習 題1. 已知平穩(wěn)過程X(t)的譜密度為，求X(t)的均方值。2. 已知平穩(wěn)過程X(t)的自相關函數(shù)為 求。sX(w

9、)wGX(w)單邊功率譜實平穩(wěn)過程的譜密度sX (w) 是偶函數(shù)，因而可將負的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。§4.6 窄帶過程和白噪聲過程1、窄帶過程窄帶隨機過程譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。譜密度：相關函數(shù)：2、白噪聲過程定義：設 X (t), -¥< t < ¥ 為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即，則稱X (t)為白噪聲過程。相關函數(shù)：定義：稱均值為零、相關函數(shù)的實平穩(wěn)過程為白噪聲過程。第5講 隨機信號通過線性系統(tǒng)v 在大系統(tǒng)分析中，如在電子通信系統(tǒng)中，當我們給定系統(tǒng)在一個輸入信號（可以是確定性信號或隨機

10、信號），該輸入信號通過系統(tǒng)作用總會產(chǎn)生一輸出信號，我們經(jīng)常需要分析研究輸入與輸出信號之間的關系，特別當輸入信號是一個隨機平穩(wěn)信號，那么輸出是什么信號呢，于是我們自然會提出下列問題：v 1. 若輸入是平穩(wěn)信號，其輸出信號是否平穩(wěn)。v 2. 若已知輸入信號的統(tǒng)計數(shù)字特征，如何求出輸出信號的統(tǒng)計數(shù)字特征。v 3. 輸入信號與輸出信號的數(shù)字特征之間的關系如何？v 為了回答上述三個問題，我們就特殊的線性系統(tǒng)進行分析。v 首先介紹一下線性系統(tǒng)的基本理論知識。§6.1 線性系統(tǒng)的基本理論1、 線性系統(tǒng)介紹一般地，系統(tǒng)輸出、輸入之間的關系可表示為：式中，X(t)為輸入信號（又稱激勵信號），Y(t)為

11、輸出信號（又稱為X(t)的響應信號）；L 表示是對輸入信號進行某種運算，稱為算子，它可以代表各種數(shù)字運算方法，如加法、乘法、微分、積分等，用圖表示為：定義線性系統(tǒng)：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，而此時的L為線性算子。線性系統(tǒng)的數(shù)學表達為：則 L為線性算子，系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。定義時不變系統(tǒng)：如果y(t)=Lx(t)，并對任意一時間平移，都有，則稱系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。例題： 證明當算子是微分算子時，系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。2. LTI系統(tǒng)沖激響應和頻率響應線性系統(tǒng)的函數(shù)（沖激函數(shù)）的沖激響應：由沖激函數(shù)的性質，有而表示有個的輸入函數(shù)通過線性系統(tǒng)，其輸出可記為顯然，可稱為函數(shù)（沖激函數(shù)）的沖激響

12、應（和脈沖響應區(qū)別）。從上式可以看出：LTI系統(tǒng)的輸出等于輸入與系統(tǒng)沖激響應的卷積。記為：通過變量代換上式又可寫為： 上式表明，線性時不變系統(tǒng)的輸出完全由系統(tǒng)的輸入與系統(tǒng)的沖擊響應卷積確定。這是在時間域給出了系統(tǒng)輸出表示形式。當信號比較復雜時，我們同樣考慮通過付氏變換將其變換到頻域去研究，進而使問題得以簡化。 頻率響應：設線性系統(tǒng)的算子為L，若系統(tǒng)輸入一諧波信號，則輸出為其中，稱為系統(tǒng)頻率響應。3. 線性時不變系統(tǒng)輸出信號的傅氏變換 對于一個線性時不變系統(tǒng)，設其相應的付氏變換為，則：則：經(jīng)過對照得到： §5.2 隨機信號通過線性系統(tǒng)1. 討論系統(tǒng)的輸出 一般隨機信號作為輸入通過線性系

13、統(tǒng)，要研究它的輸入與輸出之間的數(shù)字特征及相互關系比較復雜，為了方便說明問題起見，我們只就有界的隨機信號通過特殊的線性系統(tǒng)來討論，即假設該系統(tǒng)為穩(wěn)定的時不變線性系統(tǒng)，所謂過程有界即它們每一個樣本函數(shù)有界。顯然當過程的每一個樣本函數(shù)通過時不變系統(tǒng)時，可表示為：v 此時系統(tǒng)的輸出可表示為 v 即系統(tǒng)的輸入與輸出可表示為 2. 系統(tǒng)輸出的均值與自相關函數(shù)在實際工程問題中，我們總是希望當知道輸入信號的某些統(tǒng)計特征時能夠得到系統(tǒng)的輸 出統(tǒng)計特征。 系統(tǒng)的輸出均值確定。這里假設輸入信號為有界平穩(wěn)過程而是一個與時間無關的數(shù)。系統(tǒng)輸出的自相關函數(shù)若X(t)為有界平穩(wěn)過程，系統(tǒng)輸出自相關函數(shù)由定義知，可表示為由該

14、式知，當輸入為平穩(wěn)，輸出也為平穩(wěn)。3. 系統(tǒng)的輸入與輸出之間的互相關聯(lián)函數(shù)由于系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，所以輸入與輸出之間是相關的。由隨機過程的互相關函數(shù)定義，知 若X（t）為平穩(wěn)過程，則有 此時有： 同理可得： 即： 4. 系統(tǒng)輸出的功率譜密度對于平穩(wěn)過程，當我們知道了自相關函數(shù)，取付氏變換就可得，已知可得。下面我們給出另一種方法來確定系統(tǒng)輸出譜密度與輸入譜密度的關系。性質 設輸入X(t)為平穩(wěn)過程，那么通過線性系統(tǒng)后的輸出Y(t)平穩(wěn),且X(t)，Y(t)聯(lián)合平穩(wěn),如果輸入X(t)的譜密度為，輸出Y(t)的譜密度，為系統(tǒng)的頻率響應，那么。稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)（又稱系統(tǒng)的功率傳遞函數(shù)）。證： 令，則

15、：5. 系統(tǒng)的輸入輸出的互譜密度類似討論有：隨機過程通過LTI系統(tǒng)應用實例無線信道辯識習題 六1. 若系統(tǒng)輸入為白噪聲，其自相關函數(shù)為 式中是正實常數(shù)，求系統(tǒng)輸出的均方值。2. 理想白噪聲過程X(t)，其自相關函，通過一個沖激響應為h(t) 的線性系統(tǒng)，求系統(tǒng)響應與互相關函數(shù)的關系。3. 設白噪聲X(t)，有，通過傳輸函數(shù) 為的微分電路，為實常數(shù)，求電路輸出自相關函數(shù)。第5講 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)： 時不變系統(tǒng)： 頻率響應與脈沖響應對于線性時不變系統(tǒng)，輸出y (t) 等于輸入x (t)與單位脈沖響應h (t) 的卷積，因果系統(tǒng)：穩(wěn)定系統(tǒng)： 隨機過程通過線性系統(tǒng)的輸

16、出設線性系統(tǒng)的單位脈沖響應為h (t) ，當輸入一個隨機過程X (t) 時，其輸出隨機過程Y (t) 為: 線性系統(tǒng)輸出的均值設線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X (t) 的均值為，則其輸出過程Y (t) 的均值為:當輸入過程X (t) 為均值平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)輸出的相關函數(shù)設線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X (t) 的相關函數(shù)為RX(t1,t2) ，則其輸出過程Y (t) 的相關函數(shù)為:當輸入過程X (t) 為自相關平穩(wěn)時，輸出與輸入的互相關函數(shù)當輸入過程X (t) 為自相關平穩(wěn)時，同理，輸出相關函數(shù)輸出過程的平穩(wěn)特性當線性系統(tǒng)輸入一平穩(wěn)過程X (t)時，其輸出過程Y (t)的均值為常數(shù)，相關函數(shù)只與時間差t有

17、關，故輸出過程Y (t)也是平穩(wěn)的。由于互相關函數(shù)也都只與時間差t有關，故輸出過程Y (t) 與輸入過程X (t) 之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。例1 （h(t) 的估計）設線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程X (t)，其相關函數(shù)為，則假定過程X (t)和Y (t)是各態(tài)歷經(jīng)的，通過測量互相關函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應。線性系統(tǒng)的譜密度設線性系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)為H(w)，當輸入平穩(wěn)過程X(t) 具有譜密度時，則輸出平穩(wěn)過程Y(t) 的譜密度為：例2如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓X (t)，其相關函數(shù)為，求輸出電壓Y (t)的相關函數(shù)和平均功率。X (t)Y (t)RC解： 例3如圖有兩個LTI系統(tǒng)和，

18、若輸入同一個均值為零的平穩(wěn)過程X(t) ，它們的輸出分別為和。如何設計和才能使和互不相關？解： 互不相關Û協(xié)方差為零X (t)Y1(t)H1(w)H2(w)Y2(t)當兩個LTI系統(tǒng)的幅頻特性互不重疊時，則它們的輸出和互不相關。例4 （成形濾波器）求一個可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)H(w)，使得當輸入一具有單位譜高的白噪聲X(t) 時，其輸出過程Y(t)的譜密度為 . 解： 第6講 幾種重要的隨機過程§6.1 獨立增量過程定義 設X(t),tÎT是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和，隨機變量是相互獨立的，則稱X (t), t ÎT 為獨立增量過程，又稱可加過程。v 這種

19、過程的特點是:它在任何一個時間間隔上過程狀態(tài)的改變,不影響任何一個與它不相重疊的時間間隔上狀態(tài)的改變。v 實際中，如電話交換中心在某段時間間隔內(nèi)收到的呼叫總數(shù)可用這種過程來表示。平穩(wěn)獨立增量過程定義 設X(t),tÎT是獨立增量隨機過程，若對任意s<t，隨機變量X (t)-X (s)的分布僅依賴于t-s，則稱X (t), t ÎT 為平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程是是一類重要的隨機過程，后面將提到的維納過程和泊松過程都是平穩(wěn)獨立增量過程。§6.2 正交增量過程定義 設X(t),tÎT是零均值的二階矩過程，若對任意的，有則稱X (t)為正交增量過程。u 正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)可以由它的方差確定：§6.3 馬爾可夫過程定義 設X(t),tÎT是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和，且條件分布：馬爾可夫性,（無后效性）則稱X (t), t ÎT 為馬爾可夫過程。若把看作“現(xiàn)在”，則就是將來，就表示過去，馬爾可夫過程就表示系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處的狀態(tài)的條件下，它將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關。§6.4 正態(tài)過程和維納過程定義1 設X (t), t ÎT 是隨機過程，若對任意的正整數(shù)n和，是n維正態(tài)隨機變量，則稱X(t),