選修2－2第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（理）（學(xué)案含答案）

1、.年級(jí)高二學(xué)科數(shù)學(xué)版本蘇教版理課程標(biāo)題選修22 第3章 數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)的引入一、學(xué)習(xí)目的：1. 理解復(fù)數(shù)的根本概念；2. 理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3. 理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4. 會(huì)進(jìn)展復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算；5. 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的加法與減法的運(yùn)算及幾何意義；復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算。難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義的靈敏運(yùn)用及復(fù)數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確運(yùn)用。三、考點(diǎn)分析：1. 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)之一，常以選擇題的形式出現(xiàn)，屬容易題；2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是高考的另一熱點(diǎn)，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易

2、題。一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1. 復(fù)數(shù)的概念形如abia，bR的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部。假設(shè)b0，那么abi為實(shí)數(shù)，假設(shè)b0，那么abi為虛數(shù)，假設(shè)a0且b0，那么abi為純虛數(shù)。2. 復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bda，b，c，dR。3. 共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bda，b，c，dR。4. 復(fù)平面借用直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)。5. 復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|。二、復(fù)數(shù)的幾何意義1. 復(fù)數(shù)zab

3、i復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Za，ba，bR；2. 復(fù)數(shù)zabi平面向量a，bR。三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法那么設(shè)z1abi，z2cdia，b，c，dR，那么加法：z1 z2abicdiacbdi；減法：z1 z2abicdiacbdi；乘法：z1· z2abi·cdiacbdadbci；除法：2. 復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何、C，有，。注：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能比較大小，只有這兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小。知識(shí)點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，zlgm22m2m23m2i1為純虛數(shù)；2為實(shí)數(shù)；3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)。思

4、路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)分類(lèi)的條件和復(fù)數(shù)的幾何意義求解。解題過(guò)程：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，轉(zhuǎn)化為實(shí)部和虛部分別滿(mǎn)足的條件求解。1假設(shè)z為純虛數(shù)，那么解得m32假設(shè)z為實(shí)數(shù)，那么解得m1或m23假設(shè)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，那么解得1<m<1或1<m<3。即1m3時(shí)，z為純虛數(shù)；2m1或m2時(shí)，z為實(shí)數(shù)；31<m<1或1<m<3時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)。解題后反思：處理有關(guān)復(fù)數(shù)概念的問(wèn)題時(shí)，首先要找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部假設(shè)復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，那么應(yīng)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算化為代數(shù)形式，然后根據(jù)定義解題。知識(shí)點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等例2 集合Ma3b21i，8，集合N3i，a

5、21b2i同時(shí)滿(mǎn)足MNM，MN，求整數(shù)a，b思路分析：判斷兩集合元素的關(guān)系列方程組分別解方程組檢驗(yàn)結(jié)果是否符合條件。解題過(guò)程：或或由得a3，b±2，經(jīng)檢驗(yàn)，a3，b2不合題意，舍去。a3，b2由得a±3，b2。又a3，b2不合題意，a3，b2；由得，此方程組無(wú)整數(shù)解。綜合得a3，b2或a3，b2。解題后反思：利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問(wèn)題向?qū)崝?shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。解題時(shí)要把等號(hào)兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對(duì)于復(fù)數(shù)z，假如沒(méi)有給出代數(shù)形式，可設(shè)zabia，bR。知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例3 計(jì)算：思路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么計(jì)算。解題過(guò)程： 解題后反思：1在進(jìn)展復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，

6、記住以下結(jié)論，可進(jìn)步計(jì)算速度：2復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的四那么運(yùn)算，此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)單的形式，在運(yùn)算過(guò)程中，要熟悉i的特點(diǎn)及純熟應(yīng)用運(yùn)算技巧。知識(shí)點(diǎn)四：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例4 如圖，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O、A、C分別表示0，32i，24i，試求：1表示的復(fù)數(shù)；2對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)。思路分析：求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要求出向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即可。解題過(guò)程：1，表示的復(fù)數(shù)為32i。，表示的復(fù)數(shù)為32i。2，所表示的復(fù)數(shù)為32i24i52i。解題后反思：1解決這類(lèi)題目時(shí)可利用復(fù)數(shù)abia，bR與復(fù)

7、平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，相等的向量表示同一復(fù)數(shù)，然后借助于向量運(yùn)算的平行四邊形法那么和三角形法那么進(jìn)展求解。2復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最根本也是最重要的思想方法，橋梁是設(shè)zxyi，根據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件。湖北高考假設(shè)i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，那么表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是 A. E B. F C. G D. H思路分析：首先在圖形上看出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再進(jìn)展復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理成最簡(jiǎn)形式，在坐標(biāo)系中看出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。解題過(guò)程：觀察圖形可知z3i，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)H2，1，應(yīng)選D。解題后反思：此題考察復(fù)數(shù)的幾何意義，考察根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，在坐

8、標(biāo)系中找出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，根據(jù)復(fù)平面上的點(diǎn)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的表示式。問(wèn)題：z為復(fù)數(shù)，z2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。1求復(fù)數(shù)z；2假設(shè)復(fù)數(shù)zai2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍。思路分析：1設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，整理出z2i和，根據(jù)兩個(gè)都是實(shí)數(shù)、虛部都等于0，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。2根據(jù)上一問(wèn)得出的復(fù)數(shù)的結(jié)果，代入復(fù)數(shù)zai2中，利用復(fù)數(shù)的加減和乘方運(yùn)算，寫(xiě)出代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，寫(xiě)出關(guān)于實(shí)部大于0和虛部大于0，解不等式組，得到結(jié)果。解題過(guò)程：1設(shè)復(fù)數(shù)zabia，bR，由題意，z2iabi2iab20，即b2。又，2ba0，即a2b4。z42i。2由1可知z42i，zai242iai24a2i216a228a2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限，解得a的取值范圍為2a6。解題后反思：此題考察復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，及解決實(shí)際問(wèn)題的才能，是一道綜合題。1. 掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解實(shí)部和虛部的概念，及復(fù)數(shù)的幾何意義。2. 純熟進(jìn)展復(fù)數(shù)的加減法和乘除法的運(yùn)算。常用的運(yùn)算公式要記牢：1±i2±2i，i，i，i，bai，±i