202X屆高中數(shù)學(xué)第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件新人教A版必修2

1、2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系空間中直線與直線之間的位置關(guān)系一二三四一、空間中兩條直線的位置關(guān)系1.同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系?分別是什么關(guān)系?提示:兩種.分別是平行關(guān)系和相交關(guān)系.2.觀察長方體ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直線與棱BB1所在的直線在同一個平面內(nèi)嗎?它們是什么關(guān)系?提示:不在同一個平面內(nèi),它們是異面關(guān)系.3.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面?提示:不一定.它們可能異面,可能相交,也可能平行.一二三四4.空間的兩條直線有幾種位置關(guān)系?分別是什么關(guān)系?提示:三種:相交直線、平行直線和異面直線,其中相交直線和平行直線是共面直線.5.填空:6.做一

2、做:平面內(nèi)一點與平面外一點連線和這個平面內(nèi)直線的關(guān)系是.答案:相交或異面一二三四二、平行公理1.觀察長方體ABCD-A1B1C1D1,顯然ABCD,CDC1D1,則AB與C1D1有何位置關(guān)系?提示:ABC1D1.2.關(guān)于公理4,請完成下表: 一二三四3.做一做:如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為B1O和C1O的中點,長方體的各棱中與EF平行的有()A.一條B.兩條C.三條D.四條解析:因為E,F分別為B1O和C1O的中點,所以B1C1EF.因為BCADA1D1B1C1,所以有四條棱與EF平行.答案:D一二三四三、等角定理1.如圖,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD

3、為菱形,ADC與ADC,ADC與ABC的兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?提示:ADC=ADC,ADC+ABC=180.2.平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補”,在空間中,該結(jié)論是否仍然成立?提示:仍然成立.一二三四3.填空:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.4.做一做:已知BAC=30,ABAB,ACAC,則BAC=()A.30B.150C.30或150D.大小無法確定解析:當(dāng)BAC與BAC開口方向相同時,BAC=30;當(dāng)BAC與BAC開口方向相反時,BAC=150.答案:C一二三四四、異面直線所成的角1.

4、在長方體A1B1C1D1-ABCD中,BC1AD1,則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等?提示:相等.2.若兩條相交直線a,b所成的角為,則的取值范圍是什么?類似地,若兩條異面直線a,b所成的角為,則的取值范圍是什么?提示:090,090.一二三四3.關(guān)于兩條異面直線所成的角(夾角),填寫下表: 一二三四4.做一做:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BAE=25,則異面直線AE與B1C1所成的角的大小為.答案:65探究一探究二探究三思維辨析空間兩條直線位置關(guān)系的判定空間兩條直線位置關(guān)系的判定例1 (1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直

5、線間的位置關(guān)系:直線A1B與直線D1C;直線A1B與直線B1C;直線D1D與直線CE(E為線段C1D1的中點);直線AB與直線B1C.(2)已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關(guān)系?并畫圖說明.探究一探究二探究三思維辨析思路分析:(1)(2)根據(jù)異面直線的定義分析.解:(1)平行異面相交異面(2)直線a與c的位置關(guān)系有三種情況,如圖所示.直線a與c可能平行,如圖;可能相交,如圖;可能異面,如圖.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法:(1)判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷,而兩條直線平行也可以用公理4判斷.(2)判定兩條

6、直線是異面直線的方法:定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi);排除法(反證法):排除兩直線共面(平行或相交);重要結(jié)論(判定定理法):連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.如圖,A,B,l,BlAB與l是異面直線.探究一探究二探究三思維辨析延伸探究延伸探究在本例的正方體中,所有與直線AB異面的棱所在的直線為.答案:CC1,B1C1,DD1,A1D1探究一探究二探究三思維辨析平行公理、等角定理的應(yīng)用平行公理、等角定理的應(yīng)用例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求

7、證:B1M1C1=BMC.思路分析:(1)通過公理4證明MM1BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1BM,同理證得C1M1CM,再由等角定理證得BMC=B1M1C1.也可以通過證明BCM B1C1M1證出BMC=B1M1C1.探究一探究二探究三思維辨析證明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點,MM1AA1.又AA1BB1,MM1BB1,且MM1=BB1,四邊形BB1M1M為平行四邊形.探究一探究二探究三思維辨析(2)(方法一)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,B1M1BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,C1M1CM.由平面幾何

8、知識可知,BMC和B1M1C1都是銳角.BMC=B1M1C1.(方法二)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,B1M1=BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,C1M1=CM.又B1C1=BC,B1C1M1 BCM,B1M1C1=BMC.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟公理4及等角定理的應(yīng)用判斷兩直線平行仍是立體幾何中的一個重要組成部分,除了平面幾何中常用的判斷方法以外,公理4也是判斷兩直線平行的重要依據(jù).證明角相等,利用空間等角定理是常用的思考方法;另外也可以通過證明兩個三角形全等或相似來證明兩角相等.在應(yīng)用等角定理時,應(yīng)注意當(dāng)兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反時

9、,這兩個角相等,否則這兩個角互補.因此,在證明兩個角相等時,只說明兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行是不夠的.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練 已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點.求證:(1)四邊形MNA1C1是梯形;(2)DNM=D1A1C1.證明(1)如圖,連接AC,在ACD中,M,N分別是CD,AD的中點,MN是ACD的中位線,MNAC,MN= AC.由正方體的性質(zhì),得ACA1C1,AC=A1C1.MNA1C1,且MN= A1C1,即MNA1C1,四邊形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MNA1C1,又NDA1D1,DNM與D1A1C1相等或互補

10、.而DNM與D1A1C1均是直角三角形的一個銳角,DNM=D1A1C1.探究一探究二探究三思維辨析求異面直線所成的角求異面直線所成的角例3 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.思路分析:先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.探究一探究二探究三思維辨析解法一如圖(1),連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,則OGB1D,EFA1C1.GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.GA1=GC1,O為A1C1的中點,GOA1C1.異面直線DB1與EF所成

11、的角為90.探究一探究二探究三思維辨析解法二如圖(2),連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,則HEDB1,且HE= DB1.于是HEF為異面直線DB1與EF所成的角或補角.取A1D1的中點I,連接IF,IH,則HIIF,HF2=HI2+IF2= ,HF2=EF2+HE2,HEF=90,異面直線DB1與EF所成的角為90.探究一探究二探究三思維辨析解法三如圖(3),在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1QEF.于是DB1Q為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90.探究一探究二探究三思維辨析

12、反思感悟反思感悟(1)求兩條異面直線所成角的一般步驟構(gòu)造:恰當(dāng)?shù)剡x擇一個點(線段的端點或中點),用平移法構(gòu)造異面直線所成的角;證明:證明中所作出的角就是所求異面直線所成的角或其補角;計算:通過解三角形等知識,求出中所構(gòu)造的角的大小;結(jié)論:假如所構(gòu)造的角的大小為,若090,則即為所求異面直線所成角的大小;若90180,則180-即為所求.(2)作異面直線所成角的常用方法直接平移法(可利用圖中已有的平行線);中位線平移法;補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).探究一探究二探究三思維辨析(2)作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:直接平移法(可利用

13、圖中已有的平行線);中位線平移法;補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).探究一探究二探究三思維辨析延伸探究延伸探究若把“直線DB1”換為“直線DC1”呢?解:如圖,連接A1C1,A1D.在A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EFA1C1.所以A1C1D為直線DC1與EF所成的角.在A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以A1C1D=60,所以直線DC1與EF所成的角等于60.探究一探究二探究三思維辨析一題多解判斷兩條直線異面典例如圖,空間四邊形ABCD,ABAC,AE是ABC的BC邊上的高,DF是BCD的BC邊上的中線,求證:AE和DF是異面直線

14、.點撥:根據(jù)題意畫出示意圖,由題設(shè)條件可知點E,F不重合,需結(jié)合AE和DF的位置關(guān)系判斷.探究一探究二探究三思維辨析證法一(定理法)由題設(shè)條件可知點E、F不重合,設(shè)BCD所在平面為.證法二(反證法)若AE和DF不是異面直線,則AE和DF共面,設(shè)過AE、DF的平面為.(1)若E,F重合,則E是BC中點,AB=AC,這與題設(shè)ABAC相矛盾.(2)若E,F不重合,BEF,CEF,EF,BC.A,D,A、B、C、D四點共面,這與題設(shè)四邊形ABCD是空間四邊形相矛盾.綜上,AE和DF不是異面直線不成立.故AE和DF是異面直線.探究一探究二探究三思維辨析方法總結(jié) 判斷兩條直線異面常用的方法:(1)定義法,

15、不同在任一平面內(nèi)的兩條直線;(2)定理法,過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.(3)推論法,一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線.123451.空間兩條直線a、b與直線l都成異面直線,則a、b的位置關(guān)系是()A.平行或相交 B.異面或平行C.異面或相交 D.平行或異面或相交解析:直線a、b與直線l都成異面直線,a與b之間并沒有任何限制,所以a與b直線的位置關(guān)系所有情況都可能.答案:D123452.直線a與直線b相交,直線c與直線b相交,則直線a與直線c的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能解析:如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB與AA1相交,A1B1與AA1相交,ABA1B1;又AD與AA1相交,AB與AD相交;又A1D1與AA1相交,AB與A1D1異面.故選D.答案:D123453.一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖如圖所示,A,B,C是展開圖上的三點,則在正方體盒子中,ABC的大小是()A.45B.30C.60D.90解析:將平面圖形折疊,得立體圖,如圖所示,可得ABC的各邊均為正方形的面對角線長,所以ABC