高等數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)VIP

1、第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家 Newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 第二章 一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的

2、平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時

3、速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )

4、(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 說明說明: 在經(jīng)濟學(xué)中, 邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊

5、際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導(dǎo). 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函數(shù))N()(

6、nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)xxfsin)(的導(dǎo)數(shù). 解解:,xh令則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2co

7、s(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1(lnxh例例4. 求函數(shù)xxfln)(的導(dǎo)數(shù). 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh1lim0或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例例5. 證明函數(shù)xxf)(在 x = 0 不可導(dǎo). 證證:hfhf

8、)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可導(dǎo)在即xx例例6. 設(shè))(0 xf 存在, 求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )( 2 )(0hhxf)(0 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0

9、)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1111例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應(yīng),1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(1

10、31xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處可導(dǎo)在點xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設(shè))(xfy 在點 x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點 x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點0 x的某個右右 鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)

11、導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)有定義,存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 函數(shù)在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為在點處右右 導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù))(xf)(xf在點

12、0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf顯然:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),)(baCxf在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba可導(dǎo)的充分必要條件是且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :6. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比

13、的極限;切線的斜率;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè))(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導(dǎo)?解解:由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準

14、則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導(dǎo), 且0)0( f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛頓牛頓(1642 17

15、27)偉大的英國數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文學(xué)家和自然科學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分. 1665年他提出正流數(shù) (微分) 術(shù) , 次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書 (1736年出版). 他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)德國數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計了作乘法的計算機 , 系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法 , 并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 .備用題備用題 解解: 因為1. 設(shè))(xf 存在

16、, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf在 0 x處連續(xù), 且xxfx)(lim0存在， 證明:)(xf在0 x處可導(dǎo).證證：因為xxfx)(lim0存在， 則有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x處連續(xù),0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x處可導(dǎo).2. 設(shè)xfxfx)0()(lim0)0(f 故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二節(jié)二

17、、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)(

18、)()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設(shè), 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim

19、0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,(2)vuvuvu )(證證: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxx

20、y.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論

21、推論:2vvCvC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)

22、性知 因此,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則機動 目錄 上頁 下

23、頁 返回 結(jié)束 2) 設(shè), )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時,小結(jié)小結(jié):機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點 x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點 u

24、 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求下列導(dǎo)數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(s

25、hxxeex2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè), )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個記號含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè), )1(ln2x

26、xy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見 P94例例16. 2shxxeex的反函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x

27、211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 有限次四則運算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求解解:,1111

28、xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解

29、: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P94)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對嗎?2114341xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(li

30、m)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)9

31、9()2)(1(xxx!99)0(f機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10;11 (4) , (8) ; 12 (3) , (8) , (10) 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 設(shè) yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2 . 設(shè),)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(

32、f )(xf)(xf 其中)(xf可導(dǎo), 求.y求.y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階導(dǎo)數(shù) 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運動機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,

33、)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)

34、(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例3. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5

35、 . 設(shè)bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04

36、lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)

37、vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. ,22xexy 求.)20(y解解: 設(shè),22xveux則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設(shè),arc

38、tan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茲公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸

39、納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA原式2x) 1(xB原式1x11

40、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)( !nxfn2. (填空題) (1) 設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項均含因子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(2

41、) 已知)(xf任意階可導(dǎo), 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求33ddyx(見 P101 題4 ) 作業(yè)作業(yè)P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其

42、中 f 二階可導(dǎo). y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第二

43、章 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211d

44、d46yxxy因 x = 0 時 y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求橢圓191622yx在點)3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對 x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 對冪指函數(shù)vuy

45、 可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)yln兩邊對 x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對 x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312

46、111xxxx兩邊取對數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt

47、 )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty練習(xí)練習(xí): P111 題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 拋射體

48、運動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拋射體軌跡的參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達到最高點的時刻,2gvt 高度y

49、gv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出

50、相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對 t 求導(dǎo)2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時停住

51、 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500 m 時, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對 t 求導(dǎo)2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求當(dāng)容器內(nèi)水Rhxhr例例8. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x , 水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR兩邊對 t 求導(dǎo)tVdd22hR2)(xh,ddtx

52、而,)(25222xhRh,2時當(dāng)hx hxhRr故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx體積為 V , 則R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標方程求導(dǎo)4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求螺線r在對應(yīng)于的點處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxc

53、ossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時對應(yīng)點斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為22xy2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0yxyyey再求導(dǎo), 得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x

54、時, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時對 求導(dǎo)y1yxddxeyxddyxdd備用題備用題xe111. 設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 求01sin232ytettxy.dd

55、0txy解解： txddyetydd0ddtxy2. 設(shè)方程組兩邊同時對 t 求導(dǎo), 得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用三、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)

56、薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的微分微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點0)(xxfy

57、, )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 的可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy

58、)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點 的可導(dǎo),0 x)0)(0時 xf則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時,xyyd時，當(dāng)xy

59、 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P115表)又如又如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 微分運算法則微分運算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd

60、)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下