常用數(shù)學(xué)軟件的功能及特點(diǎn)比較

1、常用數(shù)學(xué)軟件的功能及特點(diǎn)比較1 常用數(shù)學(xué)軟件簡介從計(jì)算機(jī)發(fā)明到現(xiàn)在已經(jīng)有50 多年的時(shí)間了， 隨著計(jì)算機(jī)的普及， 計(jì)算機(jī)技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)，對(duì)科學(xué)發(fā)展起到了巨大的推動(dòng)作用伴隨科學(xué)研究的不斷深入，科技工作者經(jīng)常需要對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理或者對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行計(jì)算求解為了減輕科技工作者的壓力，許多數(shù)學(xué)軟件被相繼開發(fā)常用的數(shù)學(xué)軟件包括符號(hào)計(jì)算軟件，如Mathematica、 Maple 等；數(shù)值計(jì)算軟件，如Matlab、MathCAD等；求解最優(yōu)化問題軟件，如 Lingo、Lindo等.數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)越性主要在于它能夠進(jìn)行大規(guī)模的代數(shù)運(yùn)算.通常我們用筆和紙進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算只能處理符號(hào)較少的算式 , 當(dāng)

2、算式的符號(hào)上升到百位數(shù)后,手工計(jì)算便成為可能而不可行的事,主要原因是在做大量符號(hào)運(yùn)算時(shí),我們很容易出錯(cuò),并且缺乏足夠的耐心.當(dāng)算式的符號(hào)個(gè)數(shù)上升到四位數(shù)后,手工計(jì)算便成為不可能的事,這時(shí)用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)算就可以做到準(zhǔn)確 ,快捷 ,有效 .下面介紹三個(gè)比較常用的數(shù)學(xué)軟件 Mathematica 、 Matlab 和 Lingo 1.1 Mathematica 軟件Mathematica 是由美國物理學(xué)家Stephen Wolfram 領(lǐng)導(dǎo)的 Wolfram Research 公司 1986 年開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件， 1988年發(fā)布 Mathematica 系統(tǒng)的 1.0 版，因?yàn)橄到y(tǒng)精致的結(jié)構(gòu)和

3、強(qiáng)大的計(jì)算能力而被廣為流傳，經(jīng)過不斷擴(kuò)充和修改后，在 1991 年和 1997 年推出了功能更加充實(shí)和完善的Mathematica 2.0 版和 Mathematica 3.0 版， 1999 年又推出了 Mathematica 4.0 版，現(xiàn)在的最新版本是Mathematica 5.2.2 版Mathematica 是一個(gè)擁有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算能力的軟件，它將數(shù)值、符號(hào)、計(jì)算引擎、圖形運(yùn)算、編程語言、文字處理和與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接等眾多功能 有機(jī)地結(jié)合在一起 Mathematica 是一個(gè)很容易擴(kuò)充和修改的系統(tǒng)它提供了一套描述方法，相當(dāng)于編程語言，用這個(gè)語言可以編寫程序，解決各種特

4、殊問題.Mathematica的基本系統(tǒng)主要是用C語言開發(fā)的，因而可以比較容易地移植到各種平臺(tái)上 Mathematica 還是一個(gè)交互式的計(jì)算系統(tǒng)，計(jì)算是在用戶和Mathematica 互相交換、 傳遞數(shù)據(jù)信息的過程中完成的 Mathematica 系統(tǒng)所接受的命令稱作表達(dá)式，系統(tǒng)在接受了一個(gè)表達(dá)式以后就對(duì)它進(jìn)行處理，然后再把計(jì)算結(jié)果返回 Mathematica 是最大的單應(yīng)用程序之一， 它內(nèi)容豐富功能強(qiáng)大的函數(shù)覆蓋了初等數(shù)學(xué)、 微積分和線性代數(shù)等眾多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域Mathematica 軟件雖然功能強(qiáng)大，但它的語言非常簡單，很容易學(xué)會(huì)并且熟練掌握1.1.1 Mathematica 具有強(qiáng)大的運(yùn)算

5、功能114 1 T -4 2例1求S00 83 的精確解及近似解.99In1:= 100A(1/4)*(1/9)A(-1/2)+8A(-1/3)*(4/9F(1/2)*PiOut1=3 M -(精確解)3In2:= N%Out2= 10.543(近似解)1.1.2 Mahematica具有強(qiáng)大的繪圖功能例2描繪函數(shù)z sin xy在3,3上的圖形.11In1:= Plot3DSinx y,x,-Pi,Pi,y,-3,31 0.50 -0.5-1Out1= -Graphics3D-1.1.3 Mathematica 還具有一些專用的函數(shù)，主要用來查看和設(shè)置日期、時(shí)間、目錄；測試、 提高表達(dá)式的計(jì)

6、算速度等例 3 ln1=DateOut1=2008,5,1,13,58,26輸出的元素依次是當(dāng)前的年、月、日、時(shí)、分、秒.設(shè)置時(shí)間上限，表示如果擔(dān)心計(jì)算時(shí)間太長，還可以使用TimeConstrainedexpr,t,failexpr 當(dāng)計(jì)算表達(dá)式expr花費(fèi)的時(shí)間超過t秒后，強(qiáng)制中止計(jì)算，返回表達(dá)式 failexpr例 4 ln2=TimeConstrained,2,0k 1 Pr imekOut2=0.1.2 Matlab 軟件Matlab是MAT rix Laboratory 的縮寫，是矩陣實(shí)驗(yàn)室的意思.70年代中期，美國的Cleve Morler教授在給學(xué)生開設(shè)線性代數(shù)課程時(shí)，為了讓學(xué)生

7、能使用子程序又不至于在編程上花費(fèi)過多的時(shí)間便為學(xué)生編寫了使用子程序的接口程序，取名為 Matlab. 80年代初期，Cleve Morler教授采用C語言編寫了 Matlab 的核心 1984 年， Cleve Morle 和 John Little 成立 Math Works 公司，正式把Matlab推向市場 1992 年 MathWorks 公司于推出了 Matlab 4.0 版本， 1994 年的 4.2 版本擴(kuò)充了 4.0 版本的功能， 尤其在圖形界面設(shè)計(jì)方面更提供了新的方法 1997 年推出的 5.0 版允許了更多的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如單元數(shù)據(jù)、多維矩陣、對(duì)象與類等，使其成為一種更方便編程的

8、語言 1999 年推出的 Matlab 5.3版在很多方面又進(jìn)一步改進(jìn)了 Matlab 語言的功能 2000 年 10 月底推出了其全新的 Matlab 6.0 正式版，在核心數(shù)值算法、界面設(shè)計(jì)、外部接口、應(yīng)用桌面等諸多方面有了極大的改進(jìn)經(jīng)過不斷的改進(jìn)與完善，在 2007 年秋季推出了 Matlab 的最新版本R2007b Matlab 是集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形處理等功能于一體的工程計(jì)算應(yīng)用軟件 Matlab 不僅可以處理代數(shù)問題和數(shù)值分析問題，而且還具有強(qiáng)大的圖形處理和仿真模擬等功能他的圖形功能既包括對(duì)二維和三維數(shù)據(jù)可視化、圖形處理、動(dòng)畫制作等高層次的繪圖命令，也包括可以完全修改圖形局部

9、及編制完整圖形界面的低層次繪圖命令可以從線型、邊界面、色彩、渲染、光線、視角等方面把數(shù)據(jù)的特征表現(xiàn)出來它的圖象處理工具包是由一系列支持圖象處理操作的函數(shù)組成的，所支持的圖象處理操作有：幾何操作、區(qū)域操作和塊操作、線性濾波和濾波器設(shè)計(jì)、變換、圖象分析和增強(qiáng)、二值圖象操作等圖象處理工具包的函數(shù)，按功能可以分為以下幾類：圖象顯示、圖象文件輸入與輸出、幾何操作、象素值和統(tǒng)計(jì)、圖象分析與增強(qiáng)、圖象變換、領(lǐng)域和塊操作、二值圖象操作、顏色映射和顏色空間轉(zhuǎn)換、圖象類型和類型轉(zhuǎn)換、工具包參數(shù)獲取和設(shè)置等現(xiàn)在， Matlab 已經(jīng)成為線性代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、優(yōu)化技術(shù)、自動(dòng)控制、數(shù)字信號(hào)處理、圖像處理、動(dòng)態(tài)系

10、統(tǒng)仿真等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具1.2.1 Matlab在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用Matlab 語言中提供了豐富的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，使用這些函數(shù)可以完成對(duì)數(shù)據(jù)的各種統(tǒng)計(jì)分析工作例 5 如下給出8 個(gè)學(xué)生的英語、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的成績，求各科成績總分和各科平均成績score =90979897779067875667899976677778889876895666754586677889758588788975857663848390 score_sum=sum（score）score_sum =634636696574656（各科成績總分） score_avg=score_sum./8score_avg =79

11、.250079.500087.000071.750082.0000（各科平均成績）1.3 Lingo 軟件美國芝加哥大學(xué)的Linus Schrage教授于1980年前后開發(fā)了一套專門用于求解優(yōu)化問題的軟件包，后來又經(jīng)過多年的不斷完善與擴(kuò)充，并成立了 Lindo 系統(tǒng)公司 2006 年初， Lindo 系統(tǒng)公司在全球推出 Lingo 的最新版本LingoV10.0 版 Lingo 是英文 Linear Interactive and General Optimizer 字首的縮寫形式，即 “交互式的線性和通用優(yōu)化求解器”， 它除了可以用于求解線形規(guī)劃和二次規(guī)劃問題外， 還可以用來求解非線形規(guī)劃問

12、題， 也可以用于一些線形和非線形方程 （組） 的求解等等 Lingo軟件的最大特色在于可以允許優(yōu)化模型中的決策變量是整數(shù)，即整數(shù)規(guī)劃，而且執(zhí)行速度快Lingo 還是最優(yōu)化問題的一種建模語言，包括許多常用的數(shù)學(xué)函數(shù)可以讓使用者在建立優(yōu)化模型時(shí)調(diào)用，并且可以接受其他的數(shù)據(jù)文件，如：文本文件、數(shù)據(jù)庫文件、 Excel 電子表格文件等，即使對(duì)優(yōu)化方面的知識(shí)了解不多的使用者，也能方便地建模和輸入、有效地求解和分析實(shí)際中遇到的大規(guī)模優(yōu)化問題，并能快速得到復(fù)雜優(yōu)化問題的高質(zhì)量的解2 常用數(shù)學(xué)軟件的功能比較通過上面的介紹可以發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)軟件之間既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，比如它們都可以進(jìn)行簡單的符號(hào)運(yùn)算,數(shù)值計(jì)算

13、和圖形顯示等，但在一些具體應(yīng)用上也是有差別的 與同類軟件相比， Matlab是以數(shù)值計(jì)算為主，而Mathematica 以符號(hào)運(yùn)算為主所謂符號(hào)運(yùn)算是指它所處理的對(duì)象不僅僅是常見的數(shù)字（如 12 或 3.14） ，而是一些帶有代數(shù)符號(hào)的表達(dá)式（如 2x+3y=b 等） 它還建立了輸入各種數(shù)學(xué)符號(hào)和函數(shù)的專用模板， 使輸入數(shù)學(xué)公式和各種操作命令更加簡便直觀 Mathematica 帶有擴(kuò)展的繪圖軟件包，使繪圖功能更加完善，操作方面比Matlab 手續(xù)也更為簡便另外，在數(shù)值計(jì)算方面， Mathematica 注重計(jì)算精度，為精確計(jì)算的首選軟件； Matlab 是一種高度集成的科學(xué)計(jì)算軟件，以矩陣為基

14、本數(shù)據(jù)單位，復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)則可以理解為1X1的矩陣.Matlab的很多運(yùn)算都是直接針對(duì)矩陣的，所以表示起來也就特別方便例如，復(fù)數(shù)“A=3 2i ”，在Matlab 中表示就是“ A=3+ 2i” .又如，要計(jì)算兩個(gè)矩陣C D的乘積，可以表示為“ CX D,而不像大多數(shù)計(jì)算機(jī)語言那樣需要用戶編寫循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)等下面僅就其中的某些方面加以比較2.1用 Mathematica 和 Matlab 作三維圖形例6作jx2y2的三維圖形應(yīng)用 Mathematica命令：Plot3DSqrtxA2+yA2,x,-4,4,y,-4,4應(yīng)用Matlab命令: X,Y=meshgrid(-4:0.5:4); Z=sq

15、rt(X.A2+Y .人2); mesh(Z)注 從此例可以看出 Mathematica可直接作出函數(shù) Jx2 y2在區(qū)間-4, 4 * -4, 4上的圖象，其中x,y為符號(hào)；而Matlab作圖是產(chǎn)生一個(gè)數(shù)值矩陣，然后作出圖形，其中的 x, y不是符號(hào)而是數(shù)值向量.2.2 用Mathematica和Matlab作微積分計(jì)算例7求y sin xn的二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用Mathematica命令：In1:=DsinxAn,x,2n 2n 2 2n 2n ,Out1= (-1 + n) n x sinx + n x sin x 應(yīng)用Matlab命令： n=sym(n); x=sym(x); diff(sin

16、(xAn) , 2)Ans=(n-1)* n *xA(n-2)*cos(xAn)- nA2*xA(2*n-2)*sin (xAn)注由上面例題可知Mathematica和Matlab軟件都可以進(jìn)行簡單的符號(hào)微積分的運(yùn)算，但Mathematica用起來很方便，而 Matlab軟件是將變量n, x轉(zhuǎn)化為符號(hào)變量才能計(jì)算的.2.3用Mathematica、Matlab和Lingo作線性規(guī)劃問題例8某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設(shè)備，關(guān)于產(chǎn)品的盈利與使用設(shè)備的工時(shí)及限制如下表所示.問：該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使得在計(jì)劃期內(nèi)總利潤最大？生產(chǎn)產(chǎn)品使用設(shè)備的工時(shí)、限制和產(chǎn)品的盈利甲乙設(shè)備的生

17、產(chǎn)能力/hA/(h/件)2212B/(h/件)4016C/(h/件)0515盈利/ (元/件)200300設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x1, x2,建立線性規(guī)劃模型:Max z=200 x1+300 x2;s.t.2 x1 +2 x212,4x116,5x215,x1 ,x2 0.應(yīng)用Mathematica命令：In1:= ConstrainedMax200 x 1+300 x 2 ,2 x 1 +2 x 2 =12,4 x 1 =16,5 x 2 3, x 2 - 3應(yīng)用Matlab命令:f=-200,-300;A=2,2;4,0;0,5;b=12,16,15;x,f=linprog(f,A,

18、b,zeros(1,2);x,-fOptimization terminated successfully.x =3.00003.0000ans =1.5000e+003應(yīng)用 Lingo 命令：max=200*x1+300*x2;2*x1+2*x2=12;4*x1=16;5*x2=0;x2=0;Global optimal solution found at iteration:2Objective value:1500.000VariableValueReduced CostX13.0000000.000000X23.0000000.000000RowSlack or Surplus Dua

19、l Price11500.0001.00000020.000000100.000034.0000000.00000040.00000020.0000053.0000000.00000063.0000000.000000注 利用 Mathematica、 Matlab 和 Lingo 這三個(gè)軟件均可以求出此題的最優(yōu)解為x1=3， x2=3，z=1500 比較起來可知Mathematica 和 Matlab 只能求出最優(yōu)解，而Lingo 除了可以求出最優(yōu)解還可以得到靈敏度分析結(jié)果，而且 Lingo 更適用于求解整數(shù)線性規(guī)劃2.4 用 Matlab 和 Lingo 作二次規(guī)劃問題22例 9 min

20、f (x1 , x2) 2x1 6x2 x1 2x1x2 2x2s.t. X1 + x2 0, X2 A 0應(yīng)用 Matlab 命令：首先寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：1Min z=(x 1 ,x2)11x1+2x2T2x16x211x1212x22s.t.x1x2輸入命令：H=1 -1; -1 2;c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2;Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)x =0.66671.3333 z = -8.2222應(yīng)用 Lingo 命令：x1+x2=2;min=-2*x1-6*x2+x1A2-2*

21、x1*x2+2*x2A2;-x1+2*x2=0;x2=0;Local optimal solution found at iteration:42Objective value:VariableValue Reduced CostX10.80000010.8909355E-08X21.2000000.000000RowSlack or SurplusDual Price10.0000002.7999992-7.200000-1.00000030.40000020.00000040.80000010.00000051.2000000.000000-7.200000注 此題在運(yùn)算過程方面體現(xiàn)了 M

22、atlab 以矩陣為基本數(shù)據(jù)單位， 但求解過程較為復(fù)雜， 而用 Lingo求解過程則更簡便；在運(yùn)算結(jié)果方面，用Matlab軟件的運(yùn)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后面第四位，而用Lingo軟件的運(yùn)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后面第七位，由此可知 Lingo 為求二次規(guī)劃問題的首選軟件2.5 用 Mathematica 和 Matlab 作矩陣的特征值和特征向量122例 10 求方陣 a= 2 1 2 的特征值和特征向量221應(yīng)用 Mathematica 命令：In1:= a=1,2,2,2,1,2,2,2,1;In2:= MatrixFormaOut2/MatrixForm= 122212221In3:= EigenvaluesaOut3= 5, -1, -1In4:= EigenvectorsaOut4= 1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0In5:= EigensystemaOut5= 5, -1, -1, 1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, 1, 0應(yīng)用 Matlab 命令：a=1,2,2;2,1,2;2,2,1;C,D=eig(a)Mathematica 求矩陣的特征值和特征向量過程較為繁瑣，而用Matlab 則更V=0.60150.55220.57740