小學數(shù)學思想方法ppt課件

1、小學數(shù)學思想方法選講1一、什么是數(shù)學思想方法？ 2二、小學為什么要滲透數(shù)學思想方法？3三、在小學階段，數(shù)學三、在小學階段，數(shù)學主要有主要有4（一）感悟符號化思想 數(shù)學符號是數(shù)學的語言，數(shù)學世界是符數(shù)學符號是數(shù)學的語言，數(shù)學世界是符號化的世界，數(shù)學作為人們進行表示數(shù)量關系，號化的世界，數(shù)學作為人們進行表示數(shù)量關系，計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學有了符號，才能使得常重要的作用；因為數(shù)學有了符號，才能使得數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數(shù)學普及和發(fā)展。符號化思想是一時也促

2、進了數(shù)學普及和發(fā)展。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。般化的思想方法，具有普遍的意義。 1、符號化思想的概念：、符號化思想的概念：5（一）感悟符號化思想2、符號在小學數(shù)學教材中滲透、符號在小學數(shù)學教材中滲透知識領域知識領域知識點知識點具體應用具體應用應用拓展應用拓展數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示數(shù)的表示阿拉伯數(shù)字：阿拉伯數(shù)字：0-9中文數(shù)字：一至十中文數(shù)字：一至十百分號：百分號：%千分號：千分號：負號：負號：-用數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算數(shù)的運算+、 、（、（ ）、）、 、 平方、立方平方、立方大括號：大括號： 數(shù)的大小數(shù)的大小=、運算定律運算定律加法交換律：加法交換律：a+b=b+

3、a加法結合律：加法結合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：乘法交換律：a b=b a乘法結合律：（乘法結合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)= ab-ac6（一）感悟符號化思想2、符號在小學數(shù)學教材中滲透、符號在小學數(shù)學教材中滲透知識領域知識領域知識點知識點具體應用具體應用應用拓展應用拓展空間與圖形空間與圖形用字母表用字母表示計量單示計量單位位長度單位：長度單位：km、m、dm、cm、mm面積單位：面積單位：km2 m2 dm2 cm2體積單位：體積單位：m3、dm3、cm3容積單位：容積單位：l、ml質量單位：質量單位：t、kg、g用

4、符號表用符號表示圖形示圖形用字母表示點、三角形用字母表示點、三角形ABC用符號表示角用符號表示角ABC 線段線段AB射線射線C 直線直線L兩線段平行：兩線段平行：AB/CD兩線段垂直：兩線段垂直：ABCDBCDABCD72、符號在小學數(shù)學教材中滲透、符號在小學數(shù)學教材中滲透知識領域知識領域知識點知識點具體應用具體應用應用拓展應用拓展用字母表示公式用字母表示公式三角形面積：三角形面積：s=1/2ah平等四邊形面積：平等四邊形面積：s=ah長方形面積：長方形面積：s=ab正方形面積：正方形面積：s=a2長方形周長：長方形周長：c=2(a+b)正方形周長：正方形周長：c=4a梯形面積：梯形面積：1/

5、2(a+b)h圓周長：圓周長：c=2r2r圓面積：圓面積：s=rr2 2長方體體積：長方體體積：v=abh正方體體積：正方體體積：v=a3圓柱體體積：圓柱體體積：v=sh圓錐體體積：圓錐體體積：v=1/3sh統(tǒng)計與概率統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表描述分析各種信息描述分析各種信息可能性可能性用分數(shù)表示可能性的大小用分數(shù)表示可能性的大小8（一）、感悟符號化思想3、符號化思想在教學中感悟和運用。、符號化思想在教學中感悟和運用。（1）能從具體的情境中引導學生逐步抽象數(shù)量關系和變化）能從具體的情境中引導學生逐步抽象數(shù)量關系和變化規(guī)律，并能用符號來表示。規(guī)律，并能用符號來表示。 （2）培養(yǎng)學生理

6、解并自覺運用符號表示數(shù)量關系和變化規(guī)律。）培養(yǎng)學生理解并自覺運用符號表示數(shù)量關系和變化規(guī)律。 （3）培養(yǎng)學生進行符號間的轉換。）培養(yǎng)學生進行符號間的轉換。 （4）指導能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。）指導能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。 9（二）、感悟“轉化”數(shù)學思想1、轉化思想的概念、轉化思想的概念 人們面對數(shù)學問題，如果直接應用已有知識不能或不人們面對數(shù)學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它化為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使得問把它化為能夠解決或比較容易解

7、決的問題，最終使得問題得到解決，這種思想方法稱為轉化思想。題得到解決，這種思想方法稱為轉化思想。2、轉化思想所遵循的原則、轉化思想所遵循的原則（1）數(shù)學化原則）數(shù)學化原則 （2）熟悉化原則）熟悉化原則 （3）簡單化原則）簡單化原則 （4）直觀化原則）直觀化原則 103、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用知識領域知識領域知識點知識點應用舉例應用舉例數(shù)的意義數(shù)的意義整數(shù)的意義：用實物操作和直觀圖形幫助理解整數(shù)的意義：用實物操作和直觀圖形幫助理解小數(shù)的意義：用直觀圖和人民幣小數(shù)的意義：用直觀圖和人民幣分數(shù)的意義：用直觀圖來幫助學生理解分數(shù)的意義：用直觀圖來幫助學生理解負數(shù)

8、的意義：用數(shù)軸和溫度計來直觀負數(shù)的意義：用數(shù)軸和溫度計來直觀四則運算四則運算的意義的意義加法的意義：實物和直觀圖形幫助理解合并意義加法的意義：實物和直觀圖形幫助理解合并意義減法的意義：加法的逆運算（或直觀認識）減法的意義：加法的逆運算（或直觀認識）乘法的意義：由同數(shù)連加算式轉化而來乘法的意義：由同數(shù)連加算式轉化而來除法的意義：乘法的逆運算除法的意義：乘法的逆運算四則運算四則運算的法則的法則整數(shù)加減法：用實物操作和直觀圖理解算法整數(shù)加減法：用實物操作和直觀圖理解算法小數(shù)加減法：小數(shù)點對齊，然后按照整數(shù)方法計算小數(shù)加減法：小數(shù)點對齊，然后按照整數(shù)方法計算小數(shù)乘法：先按整數(shù)乘法的方法計算，再點小數(shù)點

9、小數(shù)乘法：先按整數(shù)乘法的方法計算，再點小數(shù)點小數(shù)除法：先把除法轉化為整數(shù)，按照整數(shù)除法的小數(shù)除法：先把除法轉化為整數(shù)，按照整數(shù)除法的法則進行計算。法則進行計算。異分母公數(shù)加減法：轉化為同分母數(shù)加減法計算異分母公數(shù)加減法：轉化為同分母數(shù)加減法計算113、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用滲透、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用滲透知識領域知識領域知識點知識點應用舉例應用舉例四則運算的法則四則運算的法則分數(shù)乘整數(shù)：轉化為同數(shù)連加分數(shù)乘整數(shù)：轉化為同數(shù)連加分數(shù)乘分數(shù)：用直觀圖幫助理解分數(shù)乘分數(shù)：用直觀圖幫助理解分數(shù)除法：轉化為分數(shù)乘法分數(shù)除法：轉化為分數(shù)乘法四則運算部分之間的關四則運算部分之間的關系系a+b

10、=c ,c-a=b; ab=c, ca=b.簡便計算簡便計算運用運算定律和性質轉化成能湊整的形式來計算運用運算定律和性質轉化成能湊整的形式來計算方程方程解方程：解方程的過程就是不斷把未知數(shù)前的系解方程：解方程的過程就是不斷把未知數(shù)前的系數(shù)轉化為數(shù)轉化為“1”的過程的過程用方程解決問題：把復雜題意轉化為簡單的等量用方程解決問題：把復雜題意轉化為簡單的等量關系（數(shù)學模型）過程關系（數(shù)學模型）過程解決問題的策略解決問題的策略化繁為簡，植樹問題，烙餅，雞兔同籠等化繁為簡，植樹問題，烙餅，雞兔同籠等化抽象為直觀，用線段圖、圖表、圖象等直觀表化抽象為直觀，用線段圖、圖表、圖象等直觀表示數(shù)量之間的關系，幫助

11、推理示數(shù)量之間的關系，幫助推理化實際問題為數(shù)學問題；簡單應用題的兩個轉化化實際問題為數(shù)學問題；簡單應用題的兩個轉化,化一般問題為特殊問題化一般問題為特殊問題化未知為已知化未知為已知化新問題為舊問題化新問題為舊問題123、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用滲透、轉化思想在小學數(shù)學教學中的應用滲透知識領域知識領域知識點知識點應用舉例應用舉例三角形內角和三角形內角和通過剪、拼通過剪、拼.折等操作活動轉化為平角折等操作活動轉化為平角多邊形的內角和多邊形的內角和通過分割轉化為若干個三角形的內角和通過分割轉化為若干個三角形的內角和面積公式面積公式把正方形面積轉化為長方形求面積把正方形面積轉化為長方形求面積平行

12、四邊形面積轉化成長方形求面積平行四邊形面積轉化成長方形求面積三角形面積轉化為平行四邊形的面積三角形面積轉化為平行四邊形的面積梯形面積轉化為平行四邊形、三角形、長方形求面積梯形面積轉化為平行四邊形、三角形、長方形求面積圓的面積轉化為近似長方形、平行四邊形等求面積圓的面積轉化為近似長方形、平行四邊形等求面積組合圖形的面積轉化為基本圖形的面積組合圖形的面積轉化為基本圖形的面積體積公式體積公式正方體的體積轉化為長方體的體積正方體的體積轉化為長方體的體積圓椎的體積轉化為近似長方體的體積圓椎的體積轉化為近似長方體的體積圓錐的體積轉化為圓柱石體積圓錐的體積轉化為圓柱石體積橫截面是梯形大體積轉化為長方體的體積

13、橫截面是梯形大體積轉化為長方體的體積統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖應用不同的統(tǒng)計圖表描述各種數(shù)據(jù)并相互轉化應用不同的統(tǒng)計圖表描述各種數(shù)據(jù)并相互轉化可能性可能性應用不同的方式表示可能性的大小應用不同的方式表示可能性的大小13（二）感悟“轉化”數(shù)學思想4、解決問題中的轉化策略在教學中的應用、解決問題中的轉化策略在教學中的應用（1）化抽象問題為直觀問題）化抽象問題為直觀問題（2）化繁為簡）化繁為簡 （化大為?。ɑ鬄樾。?）化實際問題為特殊的數(shù)學問題）化實際問題為特殊的數(shù)學問題（4）化未知問題為已知問題）化未知問題為已知問題（5）化一般問題為特殊問題）化一般問題為特殊問題14（三）、感悟模型思想

14、數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量關系式、圖表程序等都是數(shù)學模型。關系式、圖表程序等都是數(shù)學模型。 1、模型思想的概念、模型思想的概念2、模型思想的重要意義、模型思想的重要意義 新課標新課標修改稿，明確提出修改稿，明確提出“初步形成模型思想初步形成模型思想”，并，并具體解釋為具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與模

15、型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程，不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，程，不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。這不僅步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。這不僅表明了數(shù)學的應用價值，同時明確建立模型

16、是數(shù)學應用和解表明了數(shù)學的應用價值，同時明確建立模型是數(shù)學應用和解決問題的核心。決問題的核心。153、模型思想的具體感悟、模型思想的具體感悟知識領域知識領域知識點知識點應用舉例應用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示數(shù)的表示自然數(shù)列：自然數(shù)列：0、1、2、3.用數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算數(shù)的運算a+b=cc-a=b c-b=aab=c (a0a0、b0)b0)ca=b cb=a運算定律運算定律加法交換律：加法交換律：a+b=b+a加法結合律：加法結合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：乘法交換律：ab=ba乘法結合律：乘法結合律：abc=a(bc)乘法分配律：乘法分配律：(a+b)c=ac+

17、bc運算性質運算性質減法性質：減法性質：a-b-c=a-(b+c)除法性質：除法性質：abc=a (bc)方程方程axaxb b=c =c ax+bx+cax+bx+c=d=d數(shù)量關系數(shù)量關系時間、速度和路程：時間、速度和路程：s=rt數(shù)量、單價和總價：數(shù)量、單價和總價：a=np163、模型思想的具體感悟、模型思想的具體感悟知識領域知識領域知識點知識點應用舉例應用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)數(shù)量關系數(shù)量關系時間、速度和路程：時間、速度和路程：s=rt數(shù)量、單價和總價：數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關系：正比例關系：y/x=k反比例關系：反比例關系：xy=k用表格表示數(shù)量關系用表格表示數(shù)量關系用圖像表

18、示數(shù)量關系用圖像表示數(shù)量關系空間與圖空間與圖形形用字母表示公式用字母表示公式長方形面積：長方形面積：s=ab 長方形周長：長方形周長：c=2(a+b)三角形面積：三角形面積：s=1/2ah平行四邊形面積：平行四邊形面積：s=ah梯形面積：梯形面積：s=1/2(a+b)h正方形面積：正方形面積：s=a a2 2 周長：周長：c=4a圓面積：圓面積：s=r=r2 2 圓周長：圓周長：c=2rr長方體體積長方體體積v=abh正方體體積：正方體體積：v=a3圓椎體體積：圓椎體體積：v=sh圓錐體體積：圓錐體體積：v=1/3sh用統(tǒng)計圖表描述和分析各信息用統(tǒng)計圖表描述和分析各信息用分數(shù)表示可能性的大小用

19、分數(shù)表示可能性的大小17（三）感悟模型思想4、模型思想的教學、模型思想的教學1、注重感悟模型思想。、注重感悟模型思想。 2、教會學生如何建立數(shù)學模型，并喜歡數(shù)學。、教會學生如何建立數(shù)學模型，并喜歡數(shù)學。 （1）學生學習數(shù)學模型大概有兩種情況：基本模型的學習，）學生學習數(shù)學模型大概有兩種情況：基本模型的學習，即學習教材中的例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個即學習教材中的例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的理解過程。是利用基本探索的過程，也可能是一個接受學習的理解過程。是利用基本模型去解決各種問題，即利用學到的基本知識解決教材中豐富多模型去解決各種問

20、題，即利用學到的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及教師有意識設計各種課內外問題。彩的習題以及教師有意識設計各種課內外問題。（2）數(shù)學建模是一個比較復雜和富有挑戰(zhàn)性過程，大致經(jīng)歷以）數(shù)學建模是一個比較復雜和富有挑戰(zhàn)性過程，大致經(jīng)歷以下幾個步驟：理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬下幾個步驟：理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。把復雜的事情經(jīng)過分析和簡化，確定必要的于什么模型系統(tǒng)。把復雜的事情經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。建立模型，可以是數(shù)量多少，還可以是圖表形式。解數(shù)據(jù)。建立模型，可以是數(shù)量多少，還可以是圖表形式。解答問題。答問題。注意兩點：注意兩點：18（四）感

21、悟推理思想1、推理思想的概念、推理思想的概念 推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個判斷的思推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理演繹推理是根據(jù)一般性的結論推出特殊性結論的推理。是根據(jù)一般性的結論推出特殊性結論的推理。三段論三段論 選言推理選言推理 假言推理假言推理 關系推理關系推理 合情推理合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺

22、，通過歸納和類比等推測某些結果。推測某些結果。歸納推理歸納推理 類比推理類比推理 19（四）感悟推理思想 我國傳統(tǒng)小學數(shù)學教育的主要優(yōu)勢在于重視培養(yǎng)學生的運算能我國傳統(tǒng)小學數(shù)學教育的主要優(yōu)勢在于重視培養(yǎng)學生的運算能力、推理能力和空間想象能力，比較強調邏輯推理而忽視了合情推力、推理能力和空間想象能力，比較強調邏輯推理而忽視了合情推理。但理。但新課程新課程過于強調合情推理，在邏輯推理方面有所淡化。過于強調合情推理，在邏輯推理方面有所淡化。實踐證明兩者不可偏廢。實踐證明兩者不可偏廢。新課標（試行稿）新課標（試行稿）明確推理的范圍及明確推理的范圍及作用作用“推理能力的發(fā)展應貫徹于整個教學過程中。推理是

23、數(shù)學的基推理能力的發(fā)展應貫徹于整個教學過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理本思維方式，也是人們在學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結論，演繹推理用于證明結論的正助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結論，演繹推理用于證明結論的正確性。確性。2、推理思想的重要意義、推理思想的重要意義203、推理思想在小學教材中的感悟、推理思想在小學教材中的感悟 思想方法思想方法知識點知識點應用舉例應用舉例不完全歸納不完全歸納法法找規(guī)律

24、找規(guī)律找數(shù)列和圖形的推理規(guī)律找數(shù)列和圖形的推理規(guī)律整數(shù)計算整數(shù)計算四則計算法則的總結（也有類比）四則計算法則的總結（也有類比）運算定律運算定律加法交換律：加法交換律：a+b=b+a加法結合律：加法結合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：乘法交換律：ab=ba乘法結合律：（乘法結合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：乘法分配律：a(b+c)=ab+ac運算性質運算性質減法性質：減法性質：a-b-c=a-(b+c)除法性質：除法性質：abc=a (bc)除法除法商不變的性質：商不變的性質：分數(shù)分數(shù)分數(shù)的基本性質分數(shù)的基本性質面積面積長方形面積公式的推理長方形面積公式的推理體積體積長方體體積

25、公式的推理長方體體積公式的推理完全歸納法完全歸納法三角形三角形三角形內角和的推導三角形內角和的推導213、推理思想在小學教材中的感悟、推理思想在小學教材中的感悟 思想方法思想方法知識點知識點應用舉例應用舉例類比推理類比推理讀數(shù)、寫法讀數(shù)、寫法億以內數(shù)的讀寫與萬以內數(shù)讀寫相類比億以內數(shù)的讀寫與萬以內數(shù)讀寫相類比整數(shù)的運算整數(shù)的運算四則計算法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相比較；除數(shù)四則計算法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相比較；除數(shù)是多位數(shù)除法與除數(shù)是一位數(shù)除法相類比是多位數(shù)除法與除數(shù)是一位數(shù)除法相類比小數(shù)的運算小數(shù)的運算將整數(shù)的運算法則順序、定律推廣到小數(shù)將整數(shù)的運算法則順序、定律推廣到小數(shù)分

26、數(shù)的運算分數(shù)的運算將整數(shù)的運算順序和運算定律推廣分數(shù)將整數(shù)的運算順序和運算定律推廣分數(shù)除法、分數(shù)和比除法、分數(shù)和比除法商不變性質，分數(shù)的基本性質，比的基本性質除法商不變性質，分數(shù)的基本性質，比的基本性質面積面積與平行四邊形面積公式的推導方法相類比、三角形、梯形和與平行四邊形面積公式的推導方法相類比、三角形、梯形和圓面積公式。同時也用轉化思想。圓面積公式。同時也用轉化思想。長度、面積、體積長度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長度，用長度單位來計量；線、面、體之間的類比：線段有長度，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占空間大小平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體

27、圖形占空間大小用體積單位來計量。用體積單位來計量。解決問題解決問題數(shù)量關系相近的實際問題相類比，如分數(shù)實際問題與百分數(shù)數(shù)量關系相近的實際問題相類比，如分數(shù)實際問題與百分數(shù)問題。問題。雞兔同籠雞兔同籠不同的素材的雞兔同籠相類比不同的素材的雞兔同籠相類比抽屜原理抽屜原理不同素材抽屜原理問題相比較不同素材抽屜原理問題相比較牛吃草、替換、盈虧牛吃草、替換、盈虧等等不同素材牛吃草、替換、盈虧問題相比較不同素材牛吃草、替換、盈虧問題相比較 223、推理思想在小學教材中的感悟、推理思想在小學教材中的感悟 思想方法思想方法知識點知識點應用舉例應用舉例三段論三段論多邊形多邊形多邊形內角和的推導多邊形內角和的推導

28、面積面積正方形面積公式的推導正方形面積公式的推導三角形面積的推導三角形面積的推導梯形面積公式推導梯形面積公式推導圓面積公式推導、扇形面積公式推導圓面積公式推導、扇形面積公式推導體積體積正方體體積的推導正方體體積的推導圓柱體體積推導圓柱體體積推導圓錐體體積推導圓錐體體積推導選言推理選言推理猜數(shù)、推理猜數(shù)、推理類似于人教版二年級數(shù)學廣角中的類似于人教版二年級數(shù)學廣角中的“猜一猜猜一猜”假言推理假言推理根據(jù)概念、性質進行判斷的一些問題根據(jù)概念、性質進行判斷的一些問題關系推理關系推理大小比較、恒等變形、等量代換大小比較、恒等變形、等量代換23（四）感悟推理思想4、推理思想在小學數(shù)學教學中的感悟、推理思

29、想在小學數(shù)學教學中的感悟 數(shù)學課程標準（試行稿）數(shù)學課程標準（試行稿）指出：推理貫徹于數(shù)學教學始終，指出：推理貫徹于數(shù)學教學始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理形式。教師在育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理形式。教師在教學過程中應當設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、教學過程中應當設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結論，發(fā)估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結論，發(fā)展合情

30、推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。 第一、推理是重要的方法之一，是數(shù)學基本思維方式，要貫徹于數(shù)學第一、推理是重要的方法之一，是數(shù)學基本思維方式，要貫徹于數(shù)學 教學始終。教學始終。 第二、合情推理和演繹推理兩者不可偏廢。第二、合情推理和演繹推理兩者不可偏廢。 第三、在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀第三、在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀 察、實驗、猜想察、實驗、猜想

31、 、驗證等任務，去發(fā)現(xiàn)結論，培養(yǎng)推理能力。、驗證等任務，去發(fā)現(xiàn)結論，培養(yǎng)推理能力。 第四、把握好推理思想滲透教學的層次性和差異性。第四、把握好推理思想滲透教學的層次性和差異性。24（五)感悟方程和函數(shù)思想 方程和函數(shù)思想是初等數(shù)學代數(shù)領域的主要內容，也是解決實際問題方程和函數(shù)思想是初等數(shù)學代數(shù)領域的主要內容，也是解決實際問題的重要工具。它們都可以用來描述現(xiàn)實世界各種數(shù)量關系，而且它們之間的重要工具。它們都可以用來描述現(xiàn)實世界各種數(shù)量關系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系有著密切的聯(lián)系 1、方程思想、方程思想的核心是將問題中的未知數(shù)用數(shù)字以外的數(shù)學符號（常用的核心是將問題中的未知數(shù)用數(shù)字以外的數(shù)學符號

32、（常用x、y）表示，根據(jù)相關數(shù)量之間相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與表示，根據(jù)相關數(shù)量之間相等關系構建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對應統(tǒng)一。未知的對應統(tǒng)一。2、函數(shù)思想、函數(shù)思想的核心是事物變量之間存在著一種依存關系，因變量隨著自變的核心是事物變量之間存在著一種依存關系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則，從而量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應法則，從而構建函數(shù)模型。構建函數(shù)模型。函數(shù)思想函數(shù)思想體現(xiàn)了運動變化的普遍聯(lián)系的觀點。體現(xiàn)了運動變化的普遍聯(lián)系的觀點。方程研究確定的數(shù)和方程研究確定的數(shù)和未知數(shù)未知數(shù)常數(shù)之間數(shù)量

33、關系（常量），函數(shù)研究變量之間常數(shù)之間數(shù)量關系（常量），函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關系。的數(shù)量關系?？梢詫⒁恍┒淮蔚牟欢ǚ匠剔D化為函數(shù)，用函數(shù)圖像來求解?？梢詫⒁恍┒淮蔚牟欢ǚ匠剔D化為函數(shù)，用函數(shù)圖像來求解。Ax+by+c=0=y=-a/bx-c/b它們在直角坐標系里畫出來圖像就是一條直線。它們在直角坐標系里畫出來圖像就是一條直線。再如再如y=kx+b的函數(shù)值得等于的函數(shù)值得等于0，就是一元一次方程，就是一元一次方程kx+b=0兩者區(qū)別兩者區(qū)別: 兩者聯(lián)系兩者聯(lián)系: 1、方程和函數(shù)思想的概念、方程和函數(shù)思想的概念25（五）感悟方程和函數(shù)思想 2、方程和函數(shù)思想的具體應用、方程和函數(shù)思想的具

34、體應用 思想方法思想方法知識點知識點應用舉例應用舉例方程思想方程思想方程方程用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問題用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問題分數(shù)、百分數(shù)分數(shù)、百分數(shù)和比例和比例用一元一次方程解決分數(shù)、百分數(shù)和比例等數(shù)學問題用一元一次方程解決分數(shù)、百分數(shù)和比例等數(shù)學問題等量代換等量代換二元一次方程組思想的滲透二元一次方程組思想的滲透雞兔同籠雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問題用方程解決雞兔同籠問題26（五）、滲透方程和函數(shù)思想 2、方程和函數(shù)思想的具體應用、方程和函數(shù)思想的具體應用 思想方法思想方法知識點知識點應用舉例應用舉例函數(shù)思想函數(shù)思想加法加法一個加數(shù)不變一個加數(shù)不變,和隨著另一個加

35、數(shù)變化而變化?？杀硎緸楹碗S著另一個加數(shù)變化而變化。可表示為y=x+b，滲透一次函數(shù)（一年級開始），滲透一次函數(shù)（一年級開始）積的變化規(guī)律積的變化規(guī)律一個因數(shù)不變一個因數(shù)不變,積隨著另一個因數(shù)的變化而變化，可表示積隨著另一個因數(shù)的變化而變化，可表示為為y=kx，滲透正比例函數(shù)（二年級），滲透正比例函數(shù)（二年級）商的變化規(guī)律商的變化規(guī)律除數(shù)不變，商隨著被除數(shù)的變化而變化，可表示除數(shù)不變，商隨著被除數(shù)的變化而變化，可表示y=x/k，滲透正比例函數(shù)。被除數(shù)不變，商隨著除數(shù)的變化而滲透正比例函數(shù)。被除數(shù)不變，商隨著除數(shù)的變化而變化，可表示為變化，可表示為y=k/x，滲透反比例函數(shù)思想。，滲透反比例函數(shù)思

36、想。正比例關系正比例關系正比例關系改寫成正比例關系改寫成y=kx,就是正比例函數(shù)就是正比例函數(shù)反比例關系反比例關系反比例關系改寫成反比例關系改寫成y=k/x,就是反比例函數(shù)就是反比例函數(shù)數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列、一般數(shù)列每一項與序號之間的對等差數(shù)列、等比數(shù)列、一般數(shù)列每一項與序號之間的對應關系，可以看作特殊函數(shù)關系應關系，可以看作特殊函數(shù)關系空間與圖形空間與圖形長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式、長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式、長方體、正方體、圓柱體、圓錐體積公式、圓周長和長方體、正方體、圓柱體、圓錐體積公式、圓周長和圓面積等都是滲透了函數(shù)的思想圓面積等都是滲

37、透了函數(shù)的思想統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表函數(shù)列表法與統(tǒng)計表有相似之處函數(shù)列表法與統(tǒng)計表有相似之處27（六）感悟幾何變換思想 變換是數(shù)學中一個帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式恒等變換是數(shù)學中一個帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式恒等變換，幾何中有圖形的變換。圖形變換是初等幾何中的一種重要變換，幾何中有圖形的變換。圖形變換是初等幾何中的一種重要的思想方法，它以運動變化的觀點來處理孤立靜止的幾何問題，的思想方法，它以運動變化的觀點來處理孤立靜止的幾何問題，往往在解決問題的過程中收到意想不到的效果。往往在解決問題的過程中收到意想不到的效果。 1、初等幾何變換的概念、初等幾何變換的概念 2、初等幾何變換的分類、初等

38、幾何變換的分類 幾何變換幾何變換平移變換平移變換相似變換相似變換合同變換合同變換旋轉變換旋轉變換反射變換（軸對稱）反射變換（軸對稱）283、圖形變換思想的具體應用、圖形變換思想的具體應用思想思想方法方法知識點知識點教學應用舉例教學應用舉例對稱對稱變換變換畫簡單的軸對稱畫簡單的軸對稱圖形圖形認識軸對稱圖形，畫出一個簡單圖形的軸對稱圖形認識軸對稱圖形，畫出一個簡單圖形的軸對稱圖形平移平移變換變換認識平移、把簡認識平移、把簡單圖形平移單圖形平移1、判斷生活中物體運動哪些是平移現(xiàn)象。、判斷生活中物體運動哪些是平移現(xiàn)象。2、畫出一個簡單圖形沿水平方向，豎直方向平移后的圖形。、畫出一個簡單圖形沿水平方向，

39、豎直方向平移后的圖形。3、解決一些利用平移方法解決的周長和面積等問題。、解決一些利用平移方法解決的周長和面積等問題。旋轉旋轉變換變換感知旋轉現(xiàn)象感知旋轉現(xiàn)象判斷一些生活中物體運動哪些是旋轉現(xiàn)象。判斷一些生活中物體運動哪些是旋轉現(xiàn)象。把簡單圖形旋轉把簡單圖形旋轉90度度畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉90度的圖形度的圖形運用旋轉解決問運用旋轉解決問題題能運用旋轉方法解決一些圖形中的問題能運用旋轉方法解決一些圖形中的問題合同合同變換變換圖形的面積計算圖形的面積計算平行四邊形、三角形、梯形和圓面積公式等推理平行四邊形、三角形、梯形和圓面積公式等推理圖案的欣賞設計圖

40、案的欣賞設計判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過什么變換得到，利用平判斷一些圖案是由一些基本圖形經(jīng)過什么變換得到，利用平移、旋轉、軸對稱變換設計美麗圖案移、旋轉、軸對稱變換設計美麗圖案相似相似變換變換畫出長方形、正方形、三角形等簡單的圖形按照一定的比例畫出長方形、正方形、三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小后的圖形放大或縮小后的圖形變換簡單圖形放大變換簡單圖形放大或縮?。ū壤撸┗蚩s?。ū壤撸?9（七）感悟分類討論思想 1、分類討論思想的概念、分類討論思想的概念 人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究來解決，需要把研究的對

41、象按照一定的標準進行分類并體研究來解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決，這逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質是種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質是“分而治之，各個擊破，綜合歸納分而治之，各個擊破，綜合歸納”。 （4）綜合歸納、概括得出最后結論。）綜合歸納、概括得出最后結論。它具有以下四個特點：它具有以下四個特點：（1）確定同一分類標準）確定同一分類標準（2）既不重復又不遺漏）既不重復又不遺漏（3）逐類逐級進行討論）逐類逐級進行討論30（七）感悟分類討

42、論思想 2、分類討論思想的重要意義、分類討論思想的重要意義（1）分類討論思想是培養(yǎng)有條理地思考和良好思維品質的一種重）分類討論思想是培養(yǎng)有條理地思考和良好思維品質的一種重要而有效方法。無論解決純數(shù)學問題，還是解決實際問題，都要要而有效方法。無論解決純數(shù)學問題，還是解決實際問題，都要注意數(shù)學原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下注意數(shù)學原理、公式和方法在一般條件下的適用性和特殊情況下的不適用性，注意分類討論，從而做到有順序、有層次全面的地的不適用性，注意分類討論，從而做到有順序、有層次全面的地思考和解決問題思考和解決問題（2）從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地分類學習，）從知識

43、的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地分類學習，既可以把握全局又能夠由表及里，細致入微，有利于形成比較系既可以把握全局又能夠由表及里，細致入微，有利于形成比較系統(tǒng)的數(shù)學知識結構和構建良好的認知結構。分類思想與集合思想統(tǒng)的數(shù)學知識結構和構建良好的認知結構。分類思想與集合思想也有著比較密切聯(lián)系，知識的分類無時不滲透著集合的思想。另也有著比較密切聯(lián)系，知識的分類無時不滲透著集合的思想。另外，分類討論思想還是概率與統(tǒng)計知識的重要基礎。外，分類討論思想還是概率與統(tǒng)計知識的重要基礎。 313、分類討論思想在小學數(shù)學中的具體應用、分類討論思想在小學數(shù)學中的具體應用知識點知識點教學應用舉例教學應用舉例分類分類一

44、年級上冊物體的分類，滲透分類思想與集合思想一年級上冊物體的分類，滲透分類思想與集合思想數(shù)的認識數(shù)的認識整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)正整數(shù)可以分為正整數(shù)可以分為1、素數(shù)和合數(shù)、素數(shù)和合數(shù)小數(shù)分有限和無限兩類，無限小數(shù)分無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù)分有限和無限兩類，無限小數(shù)分無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)分數(shù)可以分為真分數(shù)和假分數(shù)分數(shù)可以分為真分數(shù)和假分數(shù)數(shù)的運算數(shù)的運算根據(jù)運算意義進行分類：根據(jù)運算意義進行分類：、圖形的認識圖形的認識平面圖形中多邊形可分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形平面圖形中多邊形可分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形

45、、鈍角三角形三角形按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊分類：不等邊，等腰兩類三角形按邊分類：不等邊，等腰兩類等腰三角形又可分為等邊三角形和腰與底邊不相等腰三角形等腰三角形又可分為等邊三角形和腰與底邊不相等腰三角形四邊形按對邊是否平行可分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行四邊形按對邊是否平行可分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的的統(tǒng)計統(tǒng)計數(shù)據(jù)分類整理和描述數(shù)據(jù)分類整理和描述排列組合排列組合分類討論是小學生了解排列組合思想的基礎分類討論是小學生了解排列組合思想的基礎概率概率排列組合是概率計算的基礎排列組合是概率計算的基礎植樹問題植樹問題先確定幾排樹，再確定每排樹的情況：

46、兩端都種、一端種一端不種、兩先確定幾排樹，再確定每排樹的情況：兩端都種、一端種一端不種、兩端都不種端都不種抽屜原理抽屜原理構建抽屜實際上是應用分類標準，把所有元素進行分類構建抽屜實際上是應用分類標準，把所有元素進行分類解決比較復解決比較復雜問題雜問題需要先分類討論，然后解決問題需要先分類討論，然后解決問題32（七）感悟分類討論思想 4、分類討論思想的在教學中運用、分類討論思想的在教學中運用（1）在一年級分類單元的教學中注意滲透分類思想和集合思想。）在一年級分類單元的教學中注意滲透分類思想和集合思想。（2）在三大領域知識：教學中注意經(jīng)常性地讓學生感悟分類和）在三大領域知識：教學中注意經(jīng)常性地讓學

47、生感悟分類和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類，數(shù)的分類，運算的集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類，數(shù)的分類，運算的分類。分類。（3）注意從數(shù)學思維和解決問題方法上感悟分類思想，如排）注意從數(shù)學思維和解決問題方法上感悟分類思想，如排列、組合、可能性的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類討論列、組合、可能性的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類討論思想和解決。思想和解決。33（八）感悟統(tǒng)計思想 1、統(tǒng)計思想的概念、統(tǒng)計思想的概念 現(xiàn)實生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，有時需要對現(xiàn)實生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，有時需要對所有數(shù)據(jù)進行全面調查，如我國為了掌握人口真實情況，曾所有數(shù)據(jù)進行全面調查，如

48、我國為了掌握人口真實情況，曾經(jīng)多次進行過人口普查。但一般情況不可能也不需要考察所經(jīng)多次進行過人口普查。但一般情況不可能也不需要考察所有對象，如物價指數(shù)，商品合格率等，就需要采取抽樣調查有對象，如物價指數(shù)，商品合格率等，就需要采取抽樣調查的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來估計總體，從而進行合理的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來估計總體，從而進行合理的推斷和決策，這就是統(tǒng)計的思想方法。的推斷和決策，這就是統(tǒng)計的思想方法。 2、統(tǒng)計思想的重要意義、統(tǒng)計思想的重要意義 傳統(tǒng)教材中統(tǒng)計圖表的知識是必學內容，但對統(tǒng)計認識和傳統(tǒng)教材中統(tǒng)計圖表的知識是必學內容，但對統(tǒng)計認識和教學僅局限于統(tǒng)計知識和技能本身，并沒有把統(tǒng)

49、計與信息時代教學僅局限于統(tǒng)計知識和技能本身，并沒有把統(tǒng)計與信息時代和市場經(jīng)濟社會很好聯(lián)系起來。因而和市場經(jīng)濟社會很好聯(lián)系起來。因而新課程新課程對統(tǒng)計的教學對統(tǒng)計的教學內容和要求進行調整：要使學生熟悉統(tǒng)計思想方法，逐步形成內容和要求進行調整：要使學生熟悉統(tǒng)計思想方法，逐步形成統(tǒng)計觀念，有助于應用隨機的觀點理解世界，形成科學世界觀統(tǒng)計觀念，有助于應用隨機的觀點理解世界，形成科學世界觀和方法論。和方法論。 34（八）感悟統(tǒng)計思想 3、統(tǒng)計思想在小學數(shù)學教材中具體體現(xiàn)：、統(tǒng)計思想在小學數(shù)學教材中具體體現(xiàn)： 小學數(shù)學中，統(tǒng)計思想的應用大體可分為兩種：一是在各小學數(shù)學中，統(tǒng)計思想的應用大體可分為兩種：一是

50、在各冊教材中安排很多獨立單元，進行統(tǒng)計知識的教學。二是在其冊教材中安排很多獨立單元，進行統(tǒng)計知識的教學。二是在其他領域知識學習中不同程度應用統(tǒng)計知識作為知識呈現(xiàn)的的載他領域知識學習中不同程度應用統(tǒng)計知識作為知識呈現(xiàn)的的載體和解決問題方法進行教學。體和解決問題方法進行教學。具體知識點主要有：象形統(tǒng)計圖、單式統(tǒng)計表、復式統(tǒng)計表、具體知識點主要有：象形統(tǒng)計圖、單式統(tǒng)計表、復式統(tǒng)計表、單式條形統(tǒng)計圖、復式條形統(tǒng)計圖，單式折線統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)單式條形統(tǒng)計圖、復式條形統(tǒng)計圖，單式折線統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。 （3）能對給定數(shù)據(jù)的來源、收集和描述的方法，以及分

51、析的結論）能對給定數(shù)據(jù)的來源、收集和描述的方法，以及分析的結論進行合理的質疑。進行合理的質疑。4、統(tǒng)計思想教學舉例、統(tǒng)計思想教學舉例（1）注重過程性目標的教學）注重過程性目標的教學（2）認識統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計角度思考與數(shù)據(jù)有關問題）認識統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計角度思考與數(shù)據(jù)有關問題35（九）感悟集合思想 1、集合的概念、集合的概念 把指定的具有某種性質的事物看作一個整體，就是一個集把指定的具有某種性質的事物看作一個整體，就是一個集合，其中每個事物叫做該集合的元素。給定的集合，它的元素合，其中每個事物叫做該集合的元素。給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個事物是否屬于這個集合是明確的。必須是確定的，即任何一個事物是否屬于這個集合是明確的。 用列舉法和描述法。列舉法就是把集合中的元素一一列舉出用列舉法和描述法。列舉法就是把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號來，并用花括號“”表示集合的方法表示集合的方法.描述就是在花括號內寫描述就是在花括號內寫出規(guī)定這個集合元素的特定性質來表示集合的方法。出規(guī)定這個集合元素的特定性質來表示集合的方法。 2、集合思想的重要意義、集合思