混沌擺的建模和仿真唐有綺pdf

1、第4 期唐有綺等：混沌擺的建模和仿真493混沌擺的建模和仿真 1)唐有綺 ¤2)陳立群 y¤(上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418) y(上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)摘要 考察一類混沌演示實(shí)驗(yàn)裝置 | 混沌擺. 應(yīng)用拉格朗 日方程建立四自由度無阻尼非線性自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程. 用數(shù)值仿真揭示系統(tǒng)存在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，并說明了 混沌運(yùn)動(dòng)具有初值敏感性.關(guān)鍵詞 擺，非線性振動(dòng)，混沌，數(shù)值仿真中圖分類號(hào)：O316 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.6052/1000-0879-14-125混沌是 20 世紀(jì)取得的重要科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一. 混 沌雖然不屬于理論力學(xué)的教

2、學(xué)要求，但在理論力學(xué) 課程里適當(dāng)介紹，可使學(xué)生獲得確定性系統(tǒng)也可能 產(chǎn)生非確定運(yùn)動(dòng)的初步概念，改變傳統(tǒng)的確定性思 維方式 1. 有些理論力學(xué)教材已經(jīng)有簡要介紹混沌 的嘗試. 謝傳峰和王琪的教材 2 結(jié)合倒擺的受迫振 動(dòng)，陳立群和薛紜的教材 3 結(jié)合雙擺自由振動(dòng)，用 數(shù)值方法展示了混沌運(yùn)動(dòng)的非周期性和初值敏感性.就大學(xué)生的知識(shí)準(zhǔn)備而言，用實(shí)驗(yàn)和數(shù)值仿真 結(jié)合的方法，展示混沌運(yùn)動(dòng)，比較通俗易懂，能起到 較好的教學(xué)效果，也不增加學(xué)生很多負(fù)擔(dān). 教材 2 中的倒擺受迫振動(dòng)系統(tǒng)，其實(shí)是北京大學(xué)做過倒擺 實(shí)驗(yàn) 4 的簡化模型. 教材 3 中討論的雙擺系統(tǒng)， 網(wǎng)上能找到多種實(shí)驗(yàn)視頻. 劉延柱等 5 對(duì)一種混

3、沌 玩具建立了磁耦合雙擺的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行了仿 真研究.目前許多學(xué)校都有混沌擺的實(shí)驗(yàn)裝置，如圖 1 所示. 這類實(shí)驗(yàn)裝置可以非常直觀地演示混沌運(yùn)動(dòng). 但目前尚沒有見到關(guān)于該裝置的建模和仿真. 本文 應(yīng)用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行 數(shù)值模擬. 數(shù)值仿真結(jié)果說明了混沌運(yùn)動(dòng)的非周期 性和初值敏感性.1 動(dòng)力學(xué)模型如圖 1 所示，力學(xué)演示裝置 | 混沌擺由一個(gè)T 型的主擺以及主擺 3 個(gè)端點(diǎn)懸掛著 3 個(gè)副擺組成. 主擺繞固定點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)，外側(cè)與副擺通過鉸鏈連接. 所有鉸鏈約束均為無摩擦的理想柱鉸鏈約束. 故混 沌擺為一典型的無阻尼自由非線性振動(dòng)系統(tǒng). 有初 角速度或角位移時(shí)，系統(tǒng)就做

4、自由振動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸， 便給主擺一個(gè)初角速度；轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸使擺偏離平衡位 置然后釋放，就是給了主擺一個(gè)初角位移.設(shè)主擺 (3 個(gè)擺長均為 l1 的勻質(zhì)桿) 的質(zhì)量為 3m1，3 個(gè)勻質(zhì)副擺的質(zhì)量均為 m2，擺長均為 l2，建 坐標(biāo)系如圖 2 所示.主擺頂點(diǎn)坐標(biāo)和副擺質(zhì)心坐標(biāo)分別為 xi 和 yi圖 1 混沌擺圖 2 示意圖20140409 收到第 1 稿，20140526 收到修改稿.1) 國家自然科學(xué)基金青年基金 (11202135), 上海高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃 (ZZyyy12035), 上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院引進(jìn)人才科研啟動(dòng) 項(xiàng)目 (YJ2012-13) 資助.2) 唐有綺，1984 年生，男

5、，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)控制494力學(xué)與實(shí)踐2014 年 第 36 卷(i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; 6). 系統(tǒng)存在 4 個(gè)自由度，設(shè)之為擺角 µi (i = 1; 2; 3; 4)，于是有8 x1 = l1 sin µ1; 8 x2 = l1 sin µ1 + 0:5l2 sin µ2;8 x3 = ¡l1 cos µ19< y1 = l1 cos µ1< y2 = l1 cos µ1 + 0:5l2 cos µ2<

6、; y3 = l1 sin µ1>>>>>: x4 =l1 cos µ1 +:23x5 = l1 cos µ1:x6 = l1 cos µ1 + 0:5l2 sin µ4>>>8¡ 8;8=< y4 = l1 sin µ1 + 0:5l2 cos µ3< y5 = l1 sin µ1< y6 = l1 sin µ1 + 0:5l2 cos µ4>0:5lsin µ>¡¡>&

7、gt;>:>>>系統(tǒng)動(dòng)能為;111T =(m1+ 3m2) l12µ_12 +m2l22³µ_22 + µ_32 + µ_42´ +m2l1l2µ_1 hµ_2 cos (µ1 ¡ µ2) +262系統(tǒng)勢(shì)能為µ_3 sin (µ1 ¡ µ3) ¡ µ_4 sin (µ1 ¡ µ4)iU = ¡0:5g (m1 + 2m2) l1 cos µ1+ m2l2

8、 (cos µ2 + cos µ3 + cos µ4)理想狀態(tài)下忽略摩擦，混沌擺是保守系統(tǒng). 將式得到混沌擺自由振動(dòng)的微分方程組為(2) » 式 (3) 代入到保守系的拉格朗日方程中，整理µÄ1 = ngh3m2 cos (µ1 ¡ 2µ3) ¡ 3m2 cos (µ1 ¡ 2µ4) ¡ 3m2 sin (µ1 ¡ 2µ2) ¡(4m1 + 5m2) sin µ1i ¡ 3l1m2h sin 2

9、(µ1 ¡ µ2) ¡ sin 2 (µ1 ¡ µ3) ¡ sin 2 (µ1 ¡ µ4) iµ_12¡4l2m2h sin (µ1 ¡ µ2) µ_22 ¡ cos (µ1 ¡ µ3) µ_32 + cos (µ1 ¡ µ4) µ_42io.n8l1m1 + 3l1m2h5 ¡ cos 2 (µ1 ¡ &#

10、181;2) + cos 2 (µ1 ¡ µ3) + cos 2 (µ1 ¡ µ4) ioµÄ2=¡3 hg sin µ2 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ2) µ_12 + l1 cos (µ1 ¡ µ2) µÄ12i2l2µÄ3=¡3 hg sin µ3 + l1 cos (µ1 ¡ µ3) µ_12 + l1 s

11、in (µ1 ¡ µ3) µÄ12i2l2µÄ4=¡3 hg sin µ4 ¡ l1 cos (µ1 ¡ µ4) µ_12 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ4) µÄ12i2l2如果僅考慮中間兩桿，則方程組簡化為雙擺自由振動(dòng)的微分方程Ä= ¡f3g (4m1 + 5m2) sin µ1 + 3m2 sin (µ1 ¡ 2µ2) + 6m2

12、 sin (µ1 ¡ µ2) ¢µ1h3l1 cos (µ1 ¡ µ2) µ_12 + 2l2µ_22io.fl1 8m1 + 15m2 ¡ 9m2 cos 2 (µ1 ¡ µ2)gµÄ2=¡3 hg sin µ2 ¡ l1 sin (µ1 ¡ µ2) µ_12 + l1 cos (µ1 ¡ µ2) µÄ12i2l22

13、 數(shù)值仿真解法對(duì)系統(tǒng) (4) 進(jìn)行數(shù)值求解.(1)(2)(3)(4a)(4b)(4c)(4d)(5a)(5b)本文考慮系統(tǒng)無阻尼且為光滑約束. 系統(tǒng)相關(guān)初始條件較小時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)有規(guī)律的運(yùn)動(dòng). 圖 3參數(shù)如下：固定長度 l1 = 0:3 m 和 l2 = 0:18 m、給出了初始角位移 µ10 = 0:01 rad, µ20 = 0 rad, µ30 =寬度 b = 0:02 m、厚度 h = 0:005 m、密度 ½ = 2:8£0 rad 和 µ40= 0 rad 以及初始角速度 µ0 = 0 rad/s,10103 kg

14、/m3，則質(zhì)量 m1 = 0:084 kg 和 m2 = 0:050 4 kg.µ200 = 0 rad/s, µ300 = 0 rad/s 和 µ400 = 0 rad/s 時(shí)系統(tǒng)下面運(yùn)用 Matlab 軟件并采用 4 階龍格 - 庫塔數(shù)值的時(shí)程圖. 從圖中可以看出系統(tǒng)有準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).第 4 期唐有綺等：混沌擺的建模和仿真495初始條件較大時(shí)，擺的運(yùn)動(dòng)變得不規(guī)律. 多數(shù)學(xué)以及初始角速度 µ100 = 3 rad/s, µ200= 0 rad/s, µ300 =生都是用手轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸讓主擺轉(zhuǎn)動(dòng). 這時(shí)候的初始條0 rad/s 和 µ

15、;400 = 0 rad/s 時(shí)系統(tǒng)的時(shí)程圖. 從圖中可件為零角位移和非零角速度. 圖 4 給出了初始角位以看出系統(tǒng)有非周期運(yùn)動(dòng).移 µ10 = 0 rad, µ20= 0 rad, µ30 = 0 rad 和 µ40 = 0 rad圖 3 非零初始角位移 µ10 所對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖圖 4 非零初始角速度 µ100 所對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖496力 學(xué) 與實(shí) 踐2014 年 第 36 卷采用轉(zhuǎn)動(dòng)主擺偏離平衡位置的初始條件更容易角速度 µ100= 0 rad/s, µ200 = 0 rad/s, µ300 = 0 rad

16、/s 和控制. 這時(shí)候可以觀察混沌運(yùn)動(dòng)的初值敏感性. 例如µ400 = 0 rad/s 時(shí)，不同初始角位移 µ10 所對(duì)應(yīng)的時(shí)程把主擺轉(zhuǎn)過 90±，等所有擺都平衡再無初速地釋放.圖和相圖. 其中點(diǎn)線表示 µ10 = ¼=2 rad；實(shí)線表示不論多么仔細(xì)，這種運(yùn)動(dòng)不可能重復(fù). 這種初值敏感µ10 = ¼=2 + 0:01 rad. 從圖中可以看出，擺動(dòng)的初始性得到下面的仿真結(jié)果支持. 圖 5 給出了初始角位狀態(tài)極小的差異，將導(dǎo)致以后某一時(shí)刻狀態(tài)的極大移 µ20= 0 rad, µ30 = 0 rad 和 µ40 = 0 rad 以及初始差異.圖 5 不同初始角位移 µ10所對(duì)應(yīng)的時(shí)程圖和相圖3 結(jié)束語列報(bào)告會(huì), 2013本文應(yīng)用拉格朗日方程建立了混沌擺的數(shù)學(xué)模2謝傳峰, 王琪