測量物體的高

1、名 師 輔 導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容：測量物體的高度背景材料為什么埃拉托色尼能夠成為第一個推算出地球周長的人？2000多年前，古希臘的埃拉托色尼用簡單的測量工具計算出地球的周長埃拉托色尼（約公元前275前194年）博學(xué)多才，他通曉天文地理，是詩人、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和哲學(xué)家，曾擔(dān)任過亞歷山大博物館館長在離亞歷山大城約800公里的塞恩城（今埃及阿塞旺附近），夏日正午的陽光可以直照井底，因而此時地面上所有的直立物都應(yīng)該沒有影子，但亞歷山大城地面上的直立物卻仍有影子細(xì)心的埃拉托色尼發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，他認(rèn)為直立物的影子說明亞歷山大城的陽光與直立物形成了夾角根據(jù)地球是圓球和陽光直線傳播這個前提，從假想的地心向塞恩城和亞

2、歷山大城引兩條直線所形成的夾角，再根據(jù)兩地之間的距離，便能計算出地球的周長埃拉托色尼按照相似三角形的關(guān)系，測出夾角為7°，是地球圓周角的五十分之一，因此推算出地球周長約為4萬公里，這一結(jié)果與實際周長相差無幾他還算出太陽與地球之間的距離為147億公里，結(jié)果與實際距離149億公里也驚人的相近埃拉托色尼為什么能成為第一個推算出地球周長的人呢？課前準(zhǔn)備一、課標(biāo)要求1經(jīng)歷設(shè)計活動方案，自制儀器或運用儀器進(jìn)行實地測量以及撰寫活動報告的過程2能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠?qū)x器進(jìn)行調(diào)整和對測量結(jié)果進(jìn)行矯正，從而得到符合實際的結(jié)果3能夠綜合運用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實際問題4培養(yǎng)不怕困難的品

3、質(zhì)，發(fā)展合作意識和科學(xué)精神二、活動準(zhǔn)備1測傾器兩個2皮尺或卷尺等測量工具三、預(yù)習(xí)提示1關(guān)鍵概念：測傾器的制作及使用方法2關(guān)鍵原理：直角三角形邊角關(guān)系的知識3預(yù)習(xí)方法提示：本節(jié)課屬于活動課，首先討論，設(shè)計方案，然后進(jìn)行實地測量四、預(yù)習(xí)效果反饋1簡單的測傾器由 ， 和 組成2測量底部可以到達(dá)的物體的高度就是已知 和 ，求 ，但必須注意最后還須再加上 的高度3測量底部不可以到達(dá)的物體的高度往往需要測兩次 和一次 ，最后也要再加上 的高度課堂跟講一、背記知識隨堂筆記測量高度二、教材中“？”解答1問題（P26） 解答：直接讀出測傾器的指示數(shù)因為當(dāng)測仰角時用到“同角的余角相等” 測俯角時用到“對頂角相等”

4、“同角的余角相等” 2活動二的問題（P26） 解答：MN=MEEN=·tana理由：在RtMEC中，已測得EC=AN=，MCE=，tan=EM=EC·tan=·tanMN=·tana3活動三的問題（P27） 解答：MN=MEa，而=b理由：在RtMED中，tan=，ED=在RtMEC中，tan=，EC=又ECED=DC，故=b由此式可求出ME的長，而MN=MEEN=MEa4議一議（P27） 解答：（1）測量物體高度的方法除本節(jié)外，還有利用相似三角形測影長與物高的比例，構(gòu)造直角三角形等（2）如圖1-5-1，測出M的仰角MCE=，測傾器的高AC=a，然后根據(jù)

5、AN=即可求出測點A到物體MN的水平距離AN三、重點難點易錯點講解重點難點：1測傾器的制作簡易測傾器可以自己制作，用木板做一個半圓刻度盤，半徑是1520cm（90°0°90°），用螺釘螺母把它和一根長130cm的木桿聯(lián)在一起，并在半圓圓心處掛一鉛垂線，直徑的兩端釘兩個標(biāo)針（如圖1-5-2）當(dāng)大桿與地面垂直時，通過標(biāo)針的視線是水平的2用測傾器測量傾斜角的方法（1）把測傾器插在一點（圖1-5-3），使測傾器的木桿的中心線與鉛垂線重合，這時標(biāo)針連線在水平位置； （2）轉(zhuǎn)動半圓刻度盤，使視線通過兩標(biāo)針，并且剛好落在目標(biāo)物頂部B處；（3）根據(jù)同角的余角相等，可以知道，所測傾

6、斜角即仰角EOB等于鉛垂線與零度線間所夾的角，讀出鉛垂線所指的度數(shù)，就是EOB的度數(shù)注意：（1）測傾器可用教學(xué)時用的量角器（木制的，半徑為20cm）只需把指針換成一根桿，長約130cm，把刻度改為（90°0°90°），如圖1-5-4所示（2）90°0°90°的意思是使半圓刻度盤的刻度以0°為中點，然后向左、向右分別增加到90°為止，也就是說，這個半圓刻度盤的刻度不是0°180°（3）測傾器的制作和使用原理是：同角的余角相等3測量底部可以到達(dá)的物體的高度如圖1-5-5，以測量旗桿AB的高度為例，如

7、果從測點到旗桿底部的水平距離可以直接量得，高度AB就可以測出，具體如下：（1）工具測傾器、卷尺（2）步聚：在測點D處安置測傾器，測得旗桿頂?shù)难鼋茿CE=量出儀器的高CD=EB=b，和測點D到旗桿的水平距離BD=CE=a按照AB=atanb的表達(dá)式，就可求得旗桿高這是因為AB=AEEB=atanb4測量底部不可以到達(dá)的物體的高度，如圖1-5-6，以測量物體MN的高度為例，如果兩個測點A、B之間的距離可以測得，高度MN就可以測出，具體如下：（1）工具兩個測傾器、卷尺（2）步驟：在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角MCE=在測點A與物體之間的B處安置測傾器（A，B與N在同一條直線上），測得此時M的

8、仰角MDE=量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點A、B之間的距離AB=b按照=b，MN=MEa，就可求得MN的高易錯點：1半圓刻度盤的刻度以0°為中點，然后向左，向右分別增加到90°為止，不能誤認(rèn)刻度是0°180°2眼睛與兩個標(biāo)針不在同一直線上測量時必須保證眼睛與兩個標(biāo)針在同一直線上（視線上），同時在測傾斜角時眼睛、兩個標(biāo)針及目標(biāo)點也應(yīng)位于同一直線上【例】 某同學(xué)要測量操場上旗桿AB的高度，現(xiàn)已將測得的數(shù)據(jù)填入下表，請你完成下列實驗報告題目測量底部可以到達(dá)的旗桿高測量目標(biāo)測得數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值BD的長a=2015ma=1997m測傾器的高

9、b=123mb=121m傾斜角=30°15=29°45計算過程思維入門指導(dǎo)：求出a和b的平均值，再解直角三角形解：=2006，=122，=30°在RtACE中，ACE=，EC=tanACE=，AE=EC·tanACE=·tanAB=AEBE=·tan122=2006×122=128（m）答：旗桿高128m點撥：a、b和的平均值應(yīng)求準(zhǔn)四、經(jīng)典例題精講【例】 如圖1-5-7，A、B是兩幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B樓不能到達(dá)由于建筑物密集，在A的周圍沒有開闊地帶，為了測量B樓的高度只能利用A樓的空間，A的各層樓都可到達(dá)，

10、且能看見B現(xiàn)有的測量工具為皮尺和測角器（皮尺可用于測量長度，測有器可以測量仰角、俯角或兩視線間的夾角）（1）請你設(shè)計一個測量B樓高度的方法：要求寫出測量步驟和必要的測量數(shù)據(jù)（用字母表示），并畫出測量圖形；（2）用你測量的數(shù)據(jù)（用字母表示），寫出計算B樓高度的表達(dá)式思維入門指導(dǎo)：本題是一道開放性試題，摘自2002年重慶市中考題，解題方法很多，表達(dá)式也是多種多樣的解：（1）如圖1-5-8，設(shè)AC為A樓，BD表示B樓，測量步驟為：用測角器在A樓的頂端A點測量到B樓樓底的俯角用測角器在點A測量B樓樓頂?shù)难鼋怯闷こ邚腁樓頂放下，測量點A到地面的高度為（2）如圖1-5-8，在RtACD中，CD=a

11、5;tanDAC=在RtAEB中，BE=AE·tanAE=CD，BE=·tanB樓高BD=BEED=BEAC=·tana=a（1）點撥：如果在A樓底端C點測仰角BCD，應(yīng)考慮測角器的高度或身高，不能忽略當(dāng)堂練習(xí)（5分鐘）如圖1-5-9，在測量旗桿AB的高度時，有以下幾個測量步驟：量出儀器高CD=BE=b和水平距離BD=a在測點D處安裝測傾器，測得旗桿頂?shù)难鼋茿CE=選定測點D按照AB=AEb=atanb的表達(dá)式求得AB的高請你重新排出正確的測量步驟的序號 【同步達(dá)綱練習(xí)】課后鞏固練習(xí)（80分 90分鐘）一、基礎(chǔ)題（4題12分，其余每題4分，共24分）1升國旗時，某

12、同學(xué)站在離旗桿底部24m處行注目禮，當(dāng)國旗升至旗桿頂端時，該同學(xué)視線的仰角恰為30°，若兩眼離地面15m，則旗桿高度約為 （精確到01m，173）2雨后初晴，一學(xué)生在運動場上玩耍，從他前面2m遠(yuǎn)的一塊積水處，他看到了旗桿頂端的倒影如果旗桿底端到積水處的距離為40m，該生眼部高度是15m，那么旗桿的高度是 3如圖1-5-10，為了測量河對岸旗桿AB的高度，在點C處測得旗桿頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)D處，在點D處測得旗桿頂端A的仰角為45°，則旗桿AB的高度為 （精確到01m，參考數(shù)據(jù)：=1414，=1732） 4如圖1-5-11，在側(cè)面為矩形MN

13、PQ的平臺上正中豎立一根旗桿CD已知平臺高M(jìn)Q=3m，寬MN=2m，AN為平臺的斜坡當(dāng)五星紅旗上升5m，到達(dá)E點時，從A處測得E點的仰角為45°；當(dāng)紅旗到達(dá)頂端D處時，在A點測得其仰角為60°，（1）計算旗桿的高度；（2）當(dāng)旗手A沿坡AN上到平臺至少需走多遠(yuǎn)？（結(jié)果均不取近似值）二、應(yīng)用題（每題10分，共30分）5如圖1-5-12，河對岸有高層建筑物AB，為測量其高度，在C處由點D用測傾器測得頂端A的仰角為30°向高層建筑物前進(jìn)50m，到達(dá)C處，由點D測得頂端A的仰角為45°已知測傾器高CD=CD=12m，求高層建筑物AB的高（取1732） 6如圖1-5

14、-13，一勘測人員從B點出發(fā)，沿坡角為15°的坡面以5km/h的速度行至D點，用了12min，然后沿坡角為20°的坡面以3km/h的速度到達(dá)山頂A點，用了10min，求山高（則AC的長度）用A、B兩點的水平距離（即BC的長度）（精確到001km，sin15°=02588，cos15°=09659，sin20°=03420，cos20°=09397）7已知小山的高為h，為測量小山頂上的鐵塔AB的高x，在平地上選擇一點P，在P點處測得B點的仰角為，A的仰角為（見表中測量目標(biāo)圖）題目測量山頂鐵塔高測量目標(biāo)已知數(shù)據(jù)山高BCh=15348m測量

15、項目第一次第二次平均值測得數(shù)據(jù)仰角29°1729°19=仰角34°0133°57=（1）試用、和h的關(guān)系表示鐵塔高x；（2）在表中根據(jù)第一次和第二次的“測量數(shù)據(jù)“，填寫“平均值”一列中、的數(shù)值；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出鐵塔高x的值（精確到001m）三、中考題（26分）8（2003，南寧，8分）下表是小明同學(xué)填寫實習(xí)報告的部分內(nèi)容題目在兩岸近似平行的河段上測量河寬測量目標(biāo)圖示測得數(shù)據(jù)CAD=60°，AB=20mCBD=45°，BDC=90°請你根據(jù)以上條件，計算出河寬CD（結(jié)果保留根號）9（2003，遼寧，10分）如圖1-5-1

16、4所示，山上有一座鐵塔，山腳下一矩形建筑物ABCD，且建筑物周圍沒有開闊平整地帶，該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得，從A、D、C三點可看到塔頂端H，可供使用的測量工具有皮尺，測傾器（1）請你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物，設(shè)計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案具體要求如下：測量數(shù)據(jù)盡可能少；在所給圖形上，畫出你設(shè)計的測量平面圖，并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上（如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；如果測角，用、等表示測傾器高度不計）（2）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算頂端到地面的高度HG（用字母表示） 10（2004，昆明，8分）如圖1-5-15，初三年級某班同學(xué)要測量校園

17、內(nèi)國旗旗桿的高度，在地面的C點用測角器測得旗桿頂A點的仰角AFE=60°，再沿直線CB后退8米到D點，在D點又用測角器測得旗桿頂A點的仰角AGE=45°；已知測角器的高度是16米，求旗桿AB的高度（的近似值取17，結(jié)果保留小數(shù)）加試題：競賽趣味題（10分）在邊長為2的菱形ABCD中，B=45°，AE為BC上的高將ABE沿AE所在直線翻折后得ABE，它與四邊形AECD重疊部分的面積是多少？參考答案四、1度盤；鉛錘；支桿2仰角；直角邊；求另一直角邊；測傾器3仰角；測傾器間的距離；測傾器一、1153m 解：依據(jù)題意，畫出草圖，其中眼睛的位置在點A，旗桿用CD表示，則AB

18、=15m，BD=24m過點A作AECD，垂足為E，則CAE=30°，AE=24m，DE=AB=15mtanCAE=，=CE=8mCD=158153（m）點撥：解本題應(yīng)畫草圖，結(jié)合草圖把這個實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題230m 點撥：本題通過兩個三角形相似的性質(zhì)，列比例式解題3273m 點撥：本題忽略測傾器的高度4解：（1）設(shè)旗桿CD的高度為xm，依題意有EB=ECCB=8，BD=x3RtABE中，ABE=90°，BAE=45°，AB=BE=8RtABD中，ABD=90°，BAD=45°，tan60°=x=83（2）RtAPN中，AP

19、N=90°，NP=3，AP=ABBP=7AN=（m）答：旗桿的高度為（83）m，旗手A沿斜坡AN上到平臺至少需走m二、5解：AB高695m 點撥：這是一個不折不扣的“底部不可以到達(dá)物體”的高度測量題6解：過D作DFBC于F，BD=5×=1，AD=3×=05在RtBFD、RtDEA中，AC=AEEC=AEDF=AD·sin20°BD·sin15°=05×034201×02588043（km），BC=BFFC=BFDE=BD·cos15°AD·cos20°=1×

20、;0965905×09397=144（km）答：山高約043km，山腳B到山頂?shù)乃骄嚯x約為144km點撥：過D作垂線構(gòu)造直角三角形，把原圖分解為兩個直角三角形和矩形7解：（1）在RtPBC中，tan=在RtPAC中，tan=，=，解得x=（1）·h（2）得=29°18，=33°59（3）x=（1）×153483088（m） 答：略三、8解法一：設(shè)DA為xm，BD=DAAB=x20CBD=45°，CDB=90°，DC=BD= x20在RtCDA中，DAC=60°，tan60°=解得x=10（+1）DC=10（+1）20=（10+30）（m） 答：略解法二：設(shè)DC為xmAB=20，CDB=90°，DBC=45°，DC=DB=xm在RtCDA中，DAC=60°，tan60°=，（x20）=x（1）x=20，x=10（+1）=（10+30）答：略點撥：本題由于兩個已知角都是特殊角，所以可用三角函數(shù)定義去解9解：方