求曲線曲面積分的方法與技巧

1、求曲線、曲面積分的方法與技巧一.曲線積分的計(jì)算方法與技巧計(jì)算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件通過(guò)改變積分路徑進(jìn)行計(jì)算、利用全微分公式通過(guò)求原函數(shù)進(jìn)行計(jì)算等方法。例一計(jì)算曲線積分其中是圓上從原點(diǎn)到的一段弧。本題以下采用多種方法進(jìn)行計(jì)算。解1：的方程為由由分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計(jì)算的，選用的參變量為因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分

2、的下限。解2：在弧上取點(diǎn)，的方程為由由的方程為由由分析：解2是選用參變量為利用變量參數(shù)化直接計(jì)算所求曲線積分的，在方法類型上與解1相同。不同的是以為參數(shù)時(shí)，路徑不能用一個(gè)方程表示，因此原曲線積分需分成兩部分進(jìn)行計(jì)算，在每一部分的計(jì)算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解3：的參數(shù)方程為由由 解4：的極坐標(biāo)方程為因此參數(shù)方程為由由 分析：解3和解4仍然是通過(guò)采用變量參數(shù)化直接計(jì)算的。可見(jiàn)一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解5：添加輔助線段，利用格林公式求解。因于是而故得分析：在利用格林公式將所

3、求曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算時(shí)，當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時(shí)，需添加輔助曲線,采用“補(bǔ)路封閉法”進(jìn)行計(jì)算再減去補(bǔ)路上的積分，但必須在補(bǔ)路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。是的正向邊界曲線。解5中添加了輔助線段使曲線為正向封閉曲線。解6：由于于是此積分與路徑無(wú)關(guān)，故分析：由于在閉區(qū)域上應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)因此所求積分只與積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因此可改變?cè)谏系姆e分為在上積分，注意點(diǎn)對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)。一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡(jiǎn)化。解7：由全微分公式分析：此解根據(jù)被積表達(dá)式的特征，用湊全微分法直接求出。例二計(jì)算曲線積分其中是曲線從軸正向往軸負(fù)向看的

4、方向是順時(shí)針的。解1：設(shè)表示平面上以曲線為邊界的曲面，其中的正側(cè)與的正向一致，即是下側(cè)曲面，在面上的投影區(qū)域：由斯托克斯公式解2：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出 而平面：的法向量向下，故取于是上式分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算的。在利用斯托克斯公式計(jì)算時(shí)首先應(yīng)驗(yàn)證函數(shù)在曲面連同邊界上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則。在計(jì)算空間曲線積分時(shí)，此法也是常用的。解3：將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)則從例三計(jì)算其中為曲線解1：由于當(dāng)積分變量輪換位置時(shí)，曲線方程不變，而且第一類曲線積分

5、與弧的方向無(wú)關(guān)，故有由曲線是球面上的大圓周曲線，其長(zhǎng)為故由于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得 于是解2：利用在上，原式再由對(duì)稱性可得（同解1），于是上式分析：以上解1解2利用對(duì)稱性，簡(jiǎn)化了計(jì)算。在第一類曲線積分的計(jì)算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對(duì)稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變）時(shí)，采用此法進(jìn)行計(jì)算常常是有效的。例四求其中為橢圓曲線上在上半平面內(nèi)從的弧。解：添加輔助線 為的順時(shí)針?lè)较虻纳习雸A周以及有向線段，其中是足夠小的正數(shù)，使曲線包含在橢圓曲線內(nèi)。由于 ，由格林公式，有設(shè)有再由 于是分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林

6、公式的條件。由于本題中在點(diǎn)附近 無(wú)定義，于是采用在橢圓內(nèi)部附近挖去一個(gè)小圓，使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個(gè)小圓的方法是常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個(gè)小橢圓也是可行的。同時(shí)在用格林公式時(shí)，也必須注意邊界曲線取正向。例五求八分之一的球面的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度解：設(shè)邊界曲線在三個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為則的質(zhì)量為設(shè)邊界曲線的重心為，則由對(duì)稱性可知分析：這是一個(gè)第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計(jì)算上要注意將曲線分成三個(gè)部分： 另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對(duì)稱性，利用可簡(jiǎn)化計(jì)算。二.曲面積分的計(jì)算方法與技巧計(jì)算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分

7、轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號(hào)”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。例六計(jì)算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分。解：在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，曲面的方程為因?對(duì)區(qū)域作極坐標(biāo)變換則該變換將區(qū)域變成坐標(biāo)系中的區(qū)域因此分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計(jì)算的?！耙煌丁笔侵笇⒎e分曲面投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面。“二代”是指將的方程先化為投影面上兩個(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭龘Q”是指將換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素，即或或上解中的投影區(qū)域在平

8、面上，因此用代換由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計(jì)算。例七設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問(wèn)為何值時(shí)，球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？解：不妨設(shè)的球心為，那么的方程為它 與定球面的交線為即設(shè)含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域?yàn)椋敲辞疫@部分球面的方程為則的面積為以下只需求函數(shù)在上的最大值。由令得唯一駐點(diǎn)且由問(wèn)題的實(shí)際意義知在處取得最大值。即時(shí)，的面積最大，為分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計(jì)算中關(guān)鍵是利用了球面的對(duì)稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。例八計(jì)算曲面積分其中為有向曲面 其

9、法向量與軸正向的夾角為銳角。解1：設(shè)分別表示在平面，平面上的投影區(qū)域，則，其中令，又 所以 分析：計(jì)算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號(hào)”法則將各單一型化為二重積分這里的“一投”是指將積分曲面投向單一型中已指定的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇⒌姆匠滔然癁橥队懊嫔蟽蓚€(gè)變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式?！叭ㄌ?hào)”是指依曲面的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號(hào)，當(dāng)?shù)亩▊?cè)向量指向坐標(biāo)面的上（右，前）方時(shí)，二重積分前面取“+”，反之取“-”。解2:利用化組合型為單一型. 因的法向量與軸正向的夾角為銳角,取故有于是原式因?yàn)樗陨鲜椒治觯河?jì)算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公

10、式，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，三定號(hào)”法則將單一型化為為二重積分求得。解3：以表示法向量指向軸負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則設(shè)表示由和所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得因此 分析：利用高斯公式，可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足在閉區(qū)域上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面不是封閉曲面，故添加了，使為封閉曲面，并使的側(cè)符合高斯公式對(duì)邊界曲面的要求。例九：計(jì)算曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與軸正向的夾角恒大于解：設(shè)表示上與軸正向同側(cè)的曲面，由和所圍立體記為由高斯公式得因此由于在面上的投影區(qū)域?yàn)樽⒁獾皆诿?，面上的投影不?gòu)成區(qū)域，且在上從而分析：是旋轉(zhuǎn)曲面且指向外側(cè)，在上補(bǔ)上曲面指向與軸正向相同，那么由高斯公式就可將原式化成三