概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題庫(kù)

1、長(zhǎng)沙理工大學(xué)二手貨QQ交易群146 808 417#00001已知隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其分布律分別為X10 Y-101pX0.40.6PY0.20.30.5分別求隨機(jī)變量Z=max(X,Y)，與W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00001解:作下表，表中第一行是自變量(X,Y)的全部可能取值點(diǎn)；第二行是第一行各取值相應(yīng)的概率；第三、第四行分別是第一行各取值點(diǎn)相應(yīng)的Z、W的取值。（X，Y）(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021從上表可以確定

2、Z的取值域?yàn)?,1,W的取值域?yàn)?1,0,1,函數(shù)變量取某值的概率等于該值在表中相應(yīng)概率之和。例如PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W的分布律分別為：Z01 W-1012PZ0.30.7PW0.120.260.420.2 #00002袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令(1)求(X,Y)的分布律。(2)求X與Y的相關(guān)系數(shù)*00002解：（1）顯然X、Y的全部可能取值為X=1，0；Y=1，0而PX=1，Y=1=P兩次均摸到紅球=，同理計(jì)長(zhǎng)沙理工大學(xué)二手貨QQ交易群146 808 417算其它的Pij，故有(X,Y)的分布律為：1011/103/1003/

3、103/10（2）#00003設(shè)(X,Y)具有概率密度，1)求常數(shù)c；2)求PY>2X ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如圖所示區(qū)域D為(X,Y)的非0定義域由歸一性 圖 3)由F(x,y)的幾何意義，可將F(0.5,0.5)理*00004解為(X,Y)落在X£0.5,Y£0.5區(qū)域（見(jiàn)如圖G1）上的概率。故有 #00004已知(X,Y)的分布函數(shù)為 （1）求X與Y的邊緣概率密度。（2）問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立？*00004解：（1） （2） #00005(X,Y)的分布函數(shù)為.（1）求X與Y的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度。

4、（2）問(wèn)X與Y是否不相關(guān)？*00005解：（1）先求出(X,Y)的概率密度（2） #00006已知(X,Y)的分布律為xy1011/103/1001/103/10 （1）邊緣分布律。（2）求X、Y的相關(guān)系數(shù)，（3）問(wèn)X與Y是否不相關(guān)？*00006解：（1）xy10pi.11/103/102/503/103/103/5p.j2/53/5 03/103/10（2）（3） #00007已知(X,Y)的概率密度為，（1）求X、Y的邊緣分布函數(shù)（2）問(wèn)X與Y獨(dú)立嗎？*00007解：（1） 故與不獨(dú)立。  #00008已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X Y

5、1200.150.151ab且知X與Y獨(dú)立，（1）求a、b的值。（2）令，求X與Z的相關(guān)系數(shù)*00008解：（1）首先，a+b=1-0.15-0.15=0.7又X與Y獨(dú)立，由定理.a=(a+b)(0.15+a)Þa=0.35b=0.7-0.35=0.35（2） #00009甲乙約定8:009:00在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待15分鐘，過(guò)時(shí)不候。求兩人能見(jiàn)面的概率。*00009解：設(shè)甲于8點(diǎn)零分鐘到達(dá)、乙于8點(diǎn)另分鐘到達(dá)。由題意，與獨(dú)立且U(0,60)（分）,YU(0,60)（分）,兩人能見(jiàn)面等價(jià)于<15。為求p|X-Y|<15

6、需求出(X,Y)的概率密度。由定理. 圖  #00010(X,Y)的概率密度為（1）試判斷 （X,Y)的獨(dú)立性。（2）問(wèn)X與Y是否不相關(guān)？*00010解：（1）ÞA=2求各一維邊緣密度函數(shù)fX(x)= 類(lèi)似可得 故X，Y相互獨(dú)立。（2）X與Y獨(dú)立，故X與Y是不相關(guān)的。 #00011設(shè)某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化成蟲(chóng)的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X與下一代只數(shù)Y的聯(lián)合分布律。*00011解：本題已知隨機(jī)變量X的分布律Pi·:Px=i=由題意易見(jiàn)，該昆蟲(chóng)下一代只數(shù)Y在X=i的條件下服從參數(shù)為i,0.

7、8的二項(xiàng)分布，即Y|X=iB(I,0.8),故有又由式(),PX=i,Y=j=P(Y=yj|X=xiPX=xi,于是，(X,Y)的分布律為： #00012將一枚硬幣連拋三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出(X，Y)的聯(lián)合分布律、關(guān)于X和Y的邊緣分布律*00012解：設(shè)“第i次出現(xiàn)正面”(i1，2，3)，則此隨機(jī)試驗(yàn)共包含8個(gè)基本事件，它們及相應(yīng)的(X，Y)取值為 從而，(X，Y)的聯(lián)合分布律為將其填入表格，進(jìn)而得邊緣分布律： #00013已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常數(shù)A，B，C。2

8、)求P0<X<2,0<Y<3*00013解： #00014設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0<x<2,0<y<1上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為X和Y的矩形面積S的概率密度。*00014解：此題顯然是已知(X,Y)的分布，求S=XY的概率密度問(wèn)題。(X,Y)的概率密度為 圖2.7S的分布函數(shù)為FS(s)=PS£s=PXY£s當(dāng)s£0時(shí)，F(xiàn)S(s)=0當(dāng)s³2時(shí)，F(xiàn)S(s)=1現(xiàn)在，設(shè)0<s<2,曲線(xiàn)xy=s與矩形G的上邊交點(diǎn)(s,1);位于曲線(xiàn)xy=s上方的點(diǎn)滿(mǎn)足xy>

9、s, 位于曲線(xiàn)xy=s下方的點(diǎn)滿(mǎn)足xy<s,于是FS(s)=PS£s=PXY£s=1-PXY³s=于是 #00015設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求Z=X+Y的概率密度。*00015解：由題意，隨機(jī)變量X、Y的概率密度分別為： ， 隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度為： 故ZN(0,2)一般地，設(shè)X1,X2,Xn獨(dú)立，且XiN(mi,si2)則 #00016設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為（1）問(wèn)X與Y是否獨(dú)立？（2）問(wèn)X與Y是否不相關(guān)？*00016（1）故X與Y不獨(dú)立。（2）X與Y不是不相關(guān)的。 #00017設(shè)兩個(gè)相

10、互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2的壽命分別為X與Y，已知它們的概率密度分別為 其中a>0，b>0,（1） （1） 若系統(tǒng)L由L1,L2串聯(lián)而成試寫(xiě)出L的壽命Z的概率密度（2） （2） 若系統(tǒng)L由L1,L2并聯(lián)而成試寫(xiě)出L的壽命Z的概率密度*00017解：（1）由于當(dāng)L1，L2中有一個(gè)損壞時(shí)，系統(tǒng)L就停止二作，所以這時(shí)L的壽命為Z=min(X,Y)由已知得，X、Y得分布函數(shù)分別為 Zmin(X，Y)的分布函數(shù)為于是，Zmin(X，Y)的概率密度為（2）由于當(dāng)且僅當(dāng)都損壞時(shí)，系統(tǒng)L才停止工作，所以這時(shí)L的壽命Z為Z=max(X,Y)Z的分布函數(shù)為FZ(z)=FX(z)FY(z) =于是，Z=m

11、ax(X,Y)的概率密度為 #00018設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為試求P(XY)*00018 #00019(12分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求常數(shù)C；（2）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；（3）問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立？ *00019解（1）根據(jù)得（4分）（2）（8分）（10分）（3），X與Y不獨(dú)立。 #00020(12分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求常數(shù)C；（2）求；*00020解（1）根據(jù)得（4分） （2）（8分）（12分） #00021(12分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求

12、常數(shù)C；（2）求Z=X+Y的密度函數(shù)*00021解（1）根據(jù)得（4分） （2）根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量和的密度函數(shù)公式（6分）得當(dāng)z<0時(shí)，而當(dāng)z0時(shí)（10分）因此（12分） #00022(14分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求常數(shù)C；（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函數(shù)*00022解（1）根據(jù)得（4分） （2）當(dāng)x<0時(shí)，。當(dāng)x0時(shí)，（6分）即（8分）所以隨機(jī)變量M=max（X，Y）的密度函數(shù)為當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，（12分）因此m的密度函數(shù)為（14分） #00023 一臺(tái)機(jī)器制造直徑為X的軸，另一臺(tái)機(jī)器

13、制造內(nèi)徑為的軸套。設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)為如果軸套的內(nèi)徑比軸的直徑大0.004但不大于0.036，則兩者就能很好地配合成套?，F(xiàn)隨機(jī)地選擇軸和軸套，問(wèn)兩者能很好地配合的概率是多少？*00023解：設(shè)A軸與機(jī)器配套   #00024 一電子部件含兩個(gè)主要元件，它們的壽命(以小時(shí)計(jì))分別為X和Y。設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為 （1） （1）           求兩元件壽命都超過(guò)120小時(shí)的概率。 （2）求至少有一元件壽命超過(guò)120小時(shí)的概率。*00024（2） #

14、00025設(shè)X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 求P(X+2Y<1) *00025解：注意到：f(x，y)的表達(dá)式中含未知數(shù)A，先利用密度函數(shù)歸一性求出A值。f(x，y)的非零值定義域記為D，則A=4.8 #00026設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且同服從0，1上的均勻分布，試求：Z=|X-Y|的分布函數(shù)與密度函數(shù)*00026解:先求Z的分布函數(shù) Z的密度函數(shù)為（12分） #00027設(shè)某公司有100件產(chǎn)品進(jìn)行拍賣(mài)，每件產(chǎn)品的成交價(jià)為服從正態(tài)分布N(1000,1002）的隨機(jī)變量，求這100件產(chǎn)品的總成交價(jià)不低于9.9萬(wàn)元的概率。*00027解：設(shè)第i件產(chǎn)品的成交價(jià)為Xi,

15、則XiN(1000,1002)，i=1,2,n又由于X1,X2,Xn獨(dú)立,總成交價(jià)，故有故總成交價(jià)不低于9.9萬(wàn)元的概率為13% #00028 設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試求：(1)常數(shù)C；(2)聯(lián)合分布函數(shù)F(x，y)；(3)P(0x1，0Y2)*00028當(dāng)X，Y為其他情況時(shí)，F(xiàn)(x，y)0所以，聯(lián)合分布函數(shù)為 #00029(12分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求常數(shù)C；（2）求（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)；*00029解（1）根據(jù)得（4分）（2）當(dāng)x<0或y<0時(shí)，（6分）當(dāng)時(shí)，（8分）當(dāng)時(shí)（10分）因此（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為（

16、12分） #00030(10分)設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1）求常數(shù)C；（2）求P（X+Y<1）。*00030解（1）根據(jù)得（4分） （10-分 #00031設(shè)（X，Y）在圓域上服從均勻分布。（1）求（2）求X與Y的邊緣概率密度（3）試判斷X與Y是否相互獨(dú)立？*00031解：（1）（2）（3），X與Y不獨(dú)立。 #00032(12分) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且同服從0，1上的均勻分布，試求：求U與V的相關(guān)系數(shù)。并判斷X與Y是否不相關(guān)。（9分）因X與Y獨(dú)立且同分布，所以DX=DY，因而Cov(U,V)=0，從而，即U與V不相關(guān)。（12分

17、）*00032 #00033設(shè)隨機(jī)向量（,）具有下列密度函數(shù)，(1)求參數(shù)a,(2)判斷X與Y的獨(dú)立性。*00033 #00034設(shè)離散型隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布列為：m=0，1，n；n=0，1，2，（>0,0<p<1），求X,Y的邊際分布列。*00034 #00035在一個(gè)袋中裝有n個(gè)球，其中有n1個(gè)紅球，n2個(gè)白球，且n1+n2n，現(xiàn)從中任意取出r個(gè)球rmin(n1,n2)，設(shè)取出的紅球數(shù)為，取出的白球數(shù)為，求（，）的聯(lián)合分布列及它們各自的邊際分布列。*00035 #00036在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占

18、20%，從中任取4件，一、二等品的件數(shù)分別為X,Y，求（X,Y）的聯(lián)合分布列與它們各自的邊際分布列。*00036 #00037擲三次均勻的硬幣，以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反而出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求（X,Y）的分布列及邊際分布列。*00037 #00038 設(shè)二維隨機(jī)變量（Z，Y）的聯(lián)合概率密度為求：1）邊緣概率密度2）P（Z+Y>1）3）Z與y的協(xié)方差，并判斷Z與y是否相關(guān)。*00038 #00039設(shè)隨機(jī)向量（,）具有下列密度函數(shù)，判斷X與Y的獨(dú)立性。  *00039 #00040設(shè)隨機(jī)向量（X

19、,Y）的密度函數(shù)為求（X,Y）的分布函數(shù)。*00040 #00041設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的分布函數(shù)為求其概率密度及關(guān)于X與Y的邊緣概率密度。*00041 #00042設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的聯(lián)合密度為（1）求常數(shù)k，（2）求P（0<X<1,0<Y<2），（3）求其分布函數(shù)。*00042 #00043設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）有密度函數(shù)求常數(shù)A及（X,Y）的分布函數(shù)。*00043 #00044設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的分布函數(shù)為求常數(shù)A、B、C及（X,Y）的密度函數(shù)。*00044 #00045設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的密度函數(shù)為：求（1）

20、，（2）， （3），（4）。*00045 #00046設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的密度函數(shù)為求。*00046 #00047設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的密度函數(shù)為求。*00047 #00048設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）的密度函數(shù)為求X與Y中至少有一個(gè)不小于的概率。*00048 #00049一個(gè)電子部件包含兩個(gè)主要元件，分別以X,Y表示這兩個(gè)元件的壽命（以小時(shí)計(jì)），設(shè)（X,Y）的分布函數(shù)為求兩個(gè)元件的壽命都超過(guò)120小時(shí)的概率。*00049 #00050設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）具有下列密度函數(shù)，(1)求c,(2)求PX<1,(3)判斷X與Y的獨(dú)立性。*00050&

21、#160;#00051設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）具有密度函數(shù)， (1)求：PX>0.5,Y>0,(2)判斷X與Y的獨(dú)立性。*00051 #00052設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）具有下列密度函數(shù)，判斷X與Y的獨(dú)立性。*00052 #00053設(shè),是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從0，1上的均勻分布，試求方程x2+x+=0有實(shí)根的概率。*00053 #00054設(shè)某類(lèi)電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有密度函數(shù)：一架無(wú)線(xiàn)電在最初使用的150小時(shí)中，三個(gè)這類(lèi)管子沒(méi)有一個(gè)要替換的概率是多少？三個(gè)這類(lèi)管子全都要替換的概率又是多少？假定三個(gè)管子的壽命是相互獨(dú)立的。*00054&#

22、160;#00055設(shè)隨機(jī)向量（X，Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（aX<b,cY<d）,（2）P（aXb,Y<y）,（3）P（X=a,Y<y）,*00055 #00056設(shè)隨機(jī)向量（X，Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（X=a,Y<y）,（2）P（X<x,Y<+）,（3）P（X<-,Y<+）。*00056 #00057 設(shè)離散型隨機(jī)向量（X,Y）的分布列為(X,Y)（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P問(wèn)與取什么值時(shí)X與Y獨(dú)立？*00057

23、60;#00058設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）有密度函數(shù)(1) (1) 求常數(shù)c，且證明X與Y獨(dú)立。(2)求PX>Y*00058 #00059設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的分布列均為X012P且X與Y獨(dú)立，求Z=X+Y的分布列。*00059 #00060設(shè)隨機(jī)變量服從0，1上的均勻分布，求一單調(diào)增加函數(shù)h(x)，使=h()服從指數(shù)分布（其參數(shù)為）。*00060 #00061設(shè)隨機(jī)變量只能取5，6, 7，16這十二個(gè)值，且取每一個(gè)值的概率均相同，試求：(1)P(8)，(2)P(014，*00061 #00062設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為*0

24、0062 #00063在三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，連接AP交BC于D，證明D點(diǎn)在BC上服從均勻分布。*00063 #00064設(shè)隨機(jī)變量服從（0，5）上的均勻分布，求方程0有實(shí)根的概率。*00064 #00065設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，1)。求： (1)P(002233)， (2)P(一1850.04)， (3)P(一280一121。*00065 #00066設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(108，9)， (1)求P(101.116)， (2)求常數(shù)a，使P(a)090，(1) (1)      

25、;                  求常數(shù)a使P(|-a|la)001。*00066 #00067設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(60，9)，求分點(diǎn)x1,x2,x3,x4,使落在(一，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3,x4)，(x4，)內(nèi)的概率之比為5:20:50:20:5*00067 #00068設(shè)隨機(jī)變量只能取5，6, 7，16這十二個(gè)值，且取每一個(gè)值的概率均相同，試求： (1)P(8)， (

26、2)P(014)(2) (2)                        P(10)。*00068 #00069設(shè)隨機(jī)向量（,）服從二元正態(tài)分布N（m1,m2,，），求*00069 #00070隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，服從0，1上的均勻分布。試證的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。*00070 #00071已知隨機(jī)變量

27、的密度函數(shù)為（1） （1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)F(x)，（2）求P（<0.5），P（>1.3），P（0.2<<1.2）。*00071 #00072設(shè)隨機(jī)向量（X,Y,Z）有密度函數(shù)試證明X,Y,Z兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立。*00072 #00073設(shè)隨機(jī)向量（X,Y,Z）有密度函數(shù)證明：X與Y獨(dú)立，但Z與（Y,Z）不獨(dú)立。*00073 #00074設(shè)隨機(jī)向量（X1,X2,）的聯(lián)合密度函數(shù)為試證（X1,X2）與（X3,X4）相互獨(dú)立。*00074 #00075設(shè)隨機(jī)向量（，)的分布函數(shù)為F(x,y)，用它表示下列概率：（1）P（a<

28、b,c<d）,（2）P（ab,<y）,（3）P（=a,<y）,（4）P（<x,<+）,（5）P（<-,<+）。*00075 #00076設(shè)隨機(jī)向量（，）的分布函數(shù)為F(x,y)，用它表示（，）落在區(qū)域D（如圖所示）內(nèi)的概率。*00076 #00077證明：二元函數(shù)對(duì)每個(gè)變?cè)獑握{(diào)非降，左連續(xù)，F(xiàn)（-，y）=F(x,-)=0,F(+,+)=1，但不是二元分布函數(shù)。*00077 #00078設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量X與Y分別服從二項(xiàng)分布。求X+Y的分布列。*00078 #00079設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量與分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，求+的分布列。*00079 #00080設(shè)X與Y為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為求X+Y的分布列。*00080 #00081設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X服從（-h,h）上的均勻分布(h>0)，Y的分布函數(shù)為F(x)，求X+Y的分布函數(shù)。*00081 #00082設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且X為連續(xù)型隨機(jī)變量，證明：X+Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量。設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，假如：*00082 #0008