高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面 新人教A版必修2

1、21 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 21.1 平平 面面 第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.了解平面的概念及表示方法了解平面的概念及表示方法 2.理解平面的公理理解平面的公理1， 公理公理 2， 公理， 公理 3. 3.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述幾何對(duì)象的位置關(guān)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系系 第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1平面平面 (1)平面的概念平面的概念 幾何里所說的幾何里所說的“平面平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象

2、出來的幾何里的平面是物體中抽象出來的幾何里的平面是_的的 無限延展無限延展(2)平面的畫法平面的畫法 通常把水平的平面畫成一個(gè)通常把水平的平面畫成一個(gè)_，它的銳角通常畫成它的銳角通常畫成_，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的_如圖如圖. 如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的為了增強(qiáng)它的_，常常把被遮擋部分用把被遮擋部分用_畫出來如圖畫出來如圖. (3)平面的表示法平面的表示法 圖圖的平面可表示為的平面可表示為_、_、_或或_ 平行四邊形平行四邊形452倍倍立體感立體感虛線虛線平面平面平面平面ABCD平面平面AC平面平面BD2點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系點(diǎn)

3、、線、面之間的關(guān)系 (1)直線在平面內(nèi)的概念：如果直線直線在平面內(nèi)的概念：如果直線 l 上的所有點(diǎn)都在平面上的所有點(diǎn)都在平面 內(nèi)內(nèi)，就說直線就說直線 l 在平面在平面 內(nèi)內(nèi)，或者說平面或者說平面 經(jīng)過直線經(jīng)過直線 l. (2)常見的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系：常見的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)關(guān)系： A 是點(diǎn)是點(diǎn)，l，m 是直線是直線，是平面是平面 文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言 A 在在 l 上上 Al A 在在 l 外外 A l A 在在 內(nèi)內(nèi) _ A文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言 A 在在 外外 A l 在在 內(nèi)內(nèi) l l 在

4、在 外外 _ l，m 相交于相交于 A _ l， 相交于相交于 A l A ，相交于相交于 l _ l lmAl3.平面的性質(zhì)平面的性質(zhì) 公公理理 文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言 公公理理1 如果一條直線上的如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條那么這條直線直線_ Al，Bl，且且A，B_ 公公理理2 過過_的三的三點(diǎn)點(diǎn)，_一個(gè)平面一個(gè)平面 A，B，C 三點(diǎn)不三點(diǎn)不共線共線存在唯一存在唯一的平面的平面 使使 A，B，C 公公理理3 如果兩個(gè)不重合的平面有如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的且只有一條過該點(diǎn)的_ P

5、，且且 P_ 兩點(diǎn)兩點(diǎn)在此平面內(nèi)在此平面內(nèi)l不在一條直線上不在一條直線上有且只有有且只有公共直線公共直線l，且，且Pl4.公理公理 2 的三個(gè)常用推論的三個(gè)常用推論 推論推論 1： 經(jīng)： 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)， 有且只有一個(gè)平面過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)， 有且只有一個(gè)平面 圖形語(yǔ)言表述：如圖所示圖形語(yǔ)言表述：如圖所示 符號(hào)語(yǔ)言表述：符號(hào)語(yǔ)言表述： a是任意一條直線是任意一條直線點(diǎn)點(diǎn)A aa 與與 A 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一 推論推論 2：經(jīng)過兩條相交直線：經(jīng)過兩條相交直線， 有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面 圖形語(yǔ)言表述：如圖所示圖形語(yǔ)言表述：如圖所示 符號(hào)語(yǔ)

6、言表符號(hào)語(yǔ)言表述：述： a是任意一條直線是任意一條直線b是任意一條直線是任意一條直線abAa 與與 b 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一 推論推論 3：經(jīng)過兩條平行直線：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面 圖形語(yǔ)言表述：如圖所示圖形語(yǔ)言表述：如圖所示 符號(hào)語(yǔ)言表述：符號(hào)語(yǔ)言表述： 直線直線 ab直線直線 a，b 共面于平面共面于平面 且平面唯一且平面唯一. 1判一判判一判(正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”“”) (1)平行四邊形是一個(gè)平面平行四邊形是一個(gè)平面( ) (2)兩個(gè)平面的交線可能是一條線段兩個(gè)平面的交線可能是一條線段( ) (3)空間圖形中先畫

7、的線是實(shí)線，后畫的線是虛線空間圖形中先畫的線是實(shí)線，后畫的線是虛線( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 2下列命題：下列命題： 課桌面是平面；課桌面是平面； 8個(gè)平面重疊起來要比個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚；個(gè)平面重疊起來厚；有一個(gè)平面的長(zhǎng)是有一個(gè)平面的長(zhǎng)是 50 m，寬是寬是 20 m；平面是絕對(duì)的平、無平面是絕對(duì)的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念其中正確命題的個(gè)數(shù)厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念其中正確命題的個(gè)數(shù) 為為( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：選選 A.由于平面是無限延展的由于平面是無限延展的，故故錯(cuò)誤；又由于平面錯(cuò)誤；又由于平面無厚度無厚度，故故

8、錯(cuò)誤錯(cuò)誤，只有只有正確正確 3點(diǎn)點(diǎn) A 在直線在直線 l 上上，直線直線 l 在平面在平面 外的符號(hào)表示是外的符號(hào)表示是( ) AAl，l BAl，l CAl，l DAl，l 答案答案：C 探究點(diǎn)一探究點(diǎn)一 三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化 (1)用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫出圖形并畫出圖形 平面平面 ABD 與平面與平面 BDC 相交于相交于 BD， 平面平面 ABC 與平面與平面 ADC 交于交于AC. (2)將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖并用圖形語(yǔ)言予以表示形語(yǔ)言予以表示 l，Al，AB，AC

9、. 解解 (1)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面符號(hào)語(yǔ)言表示：平面 ABD平面平面 BDCBD，平面平面ABC平面平面 ADCAC.用圖形表示：用圖形表示：(如圖如圖 1 所示所示) (2)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)文字語(yǔ)言敘述為：點(diǎn) A 在平面在平面 與平面與平面 的交線的交線 l 上上，直線直線AB，AC 分別在平面分別在平面 ，內(nèi)內(nèi)，圖形語(yǔ)言表示如圖圖形語(yǔ)言表示如圖 2 所示所示 圖圖 2 (1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、 幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何有幾個(gè)平面、 幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何， 試著用文字試著用文

10、字語(yǔ)言表示語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示再用符號(hào)語(yǔ)言表示 (2)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別的區(qū)別 1.根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說明點(diǎn)、線、面之說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系間的位置關(guān)系，并畫出相并畫出相應(yīng)的圖形：應(yīng)的圖形： (1)A，B ；(2)Pl，P ，Ql，Q. 解：解：(1)點(diǎn)點(diǎn) A 在平面在平面 內(nèi)內(nèi)，點(diǎn)點(diǎn) B 不在平面不在平面 內(nèi)內(nèi)，如圖如圖. (2)直線直線 l 經(jīng)過平面經(jīng)過平面 外一點(diǎn)外一點(diǎn) P 和平面和平面 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn) Q，如圖如圖. 探究點(diǎn)二探究點(diǎn)二 點(diǎn)點(diǎn)、線共面問題、線共面

11、問題 證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi) 解解 已知：如圖所示已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C. 求證：直線求證：直線 l1，l2，l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi) 證明：證明：法一：法一：(納入平面法納入平面法) 因?yàn)橐驗(yàn)?l1l2A，所以所以 l1和和 l2確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 . 因?yàn)橐驗(yàn)?l2l3B，所以所以 Bl2. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?l2，所以所以 B.同理可證同理可證 C. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?Bl3，Cl3，所以所以 l3. 所以直線所以直線 l1，l2，l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi) 法二：法二：(輔助平面法輔助平面法)

12、 因?yàn)橐驗(yàn)?l1l2A，所以所以 l1，l2確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 . 因?yàn)橐驗(yàn)?l2l3B，所以所以 l2，l3確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 . 因?yàn)橐驗(yàn)?Al2，l2，所以所以 A. 因?yàn)橐驗(yàn)?Al2，l2，所以所以 A. 同理可證同理可證 B，B，C，C. 所以不共線的三個(gè)點(diǎn)所以不共線的三個(gè)點(diǎn) A，B，C 既在平面既在平面 內(nèi)內(nèi)，又在平面又在平面 內(nèi)內(nèi) 所以平面所以平面 和和 重合重合，即直線即直線 l1，l2，l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi) 證明點(diǎn)、線共面的常用方法證明點(diǎn)、線共面的常用方法 (1)納入平面法：納入平面法：先確定一個(gè)平面先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面再證明有關(guān)點(diǎn)、線

13、在此平面內(nèi)；內(nèi)； (2)輔助平面法：輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面 ，再證明其余元再證明其余元素確定平面素確定平面 ，最后證明平面最后證明平面 ，重合重合 2.已知直線已知直線 ab，直線直線 l 與與 a，b 都相交都相交，求證：求證：過過 a，b，l 有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面 證明：證明：如圖所示由已知如圖所示由已知 ab，所以過所以過 a，b 有有且只有一個(gè)平面且只有一個(gè)平面.設(shè)設(shè) alA，blB，所以所以 A，B，且且 Al，Bl， 所以所以 l.即過即過 a，b，l 有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面 探究點(diǎn)三探究點(diǎn)三 點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題點(diǎn)共線

14、、線共點(diǎn)問題 如圖如圖，在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中，點(diǎn)點(diǎn) M、N、E、F 分別是棱分別是棱CD、 AB、 DD1、 AA1上的點(diǎn)上的點(diǎn)， 若若 MN 與與 EF 交于點(diǎn)交于點(diǎn) Q， 求證：求證： D、A、Q 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)?MNEFQ， 所以所以 Q直線直線 MN，Q直線直線 EF， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?M直線直線 CD，N直線直線 AB， CD平面平面 ABCD，AB平面平面 ABCD. 所以所以 M、N平面平面 ABCD， 所以所以 MN平面平面 ABCD.所以所以 Q平面平面 ABCD. 同理同理，可得可得 EF平面平面 ADD1A1.所以所以 Q平面

15、平面 ADD1A1. 又因?yàn)槠矫嬗忠驗(yàn)槠矫?ABCD平面平面 ADD1A1AD， 所以所以 Q直線直線 AD，即即 D、A、Q 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 (1)證明三點(diǎn)共線的方法證明三點(diǎn)共線的方法 首先找出兩個(gè)平面首先找出兩個(gè)平面， 然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理根據(jù)公理 3 可知可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上 選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上然后證明另一點(diǎn)也在此直線上 (2)證明三線共點(diǎn)的步驟證明三線共點(diǎn)的步驟 說明兩條直線說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)共面且交于一點(diǎn) 說明這個(gè)點(diǎn)在

16、另兩個(gè)平面上說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交并且這兩個(gè)平面相交 得到交線也過此點(diǎn)得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)從而得到三線共點(diǎn) 3.已知三個(gè)平面已知三個(gè)平面 ，兩兩相交于三條直線兩兩相交于三條直線，即即 c，a，b，若直線若直線 a 和和 b 不平行不平行，求求證：證：a，b，c 三條直線相交于同一點(diǎn)三條直線相交于同一點(diǎn) 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?b，a， 所以所以 a， b.又由于直線又由于直線 a 和和 b 不平行不平行， 所以所以 a， b 必相交必相交 設(shè)設(shè) abP，如圖如圖，則則 Pa，Pb. 因?yàn)橐驗(yàn)?a，b，所以所以 P，P. 又又 c，所以所以 Pc，即交線即交線

17、c 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) P. 所以所以 a，b，c 三條直線三條直線相交于同一點(diǎn)相交于同一點(diǎn) 探究點(diǎn)四探究點(diǎn)四 平面交線問題平面交線問題 如圖所示如圖所示， E， F 分別為正方體分別為正方體 ABCDA1B1C1D1的棱的棱 CC1和和 AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn)，畫出平面畫出平面 BED1F 與平面與平面 ABCD 的交線的交線 解解 如圖所示如圖所示，在平面在平面 AA1D1D 內(nèi)內(nèi)，D1F 與與 DA 不平行不平行，分別分別延長(zhǎng)延長(zhǎng) D1F 與與 DA，則則 D1F 與與 DA 必相交必相交，設(shè)交點(diǎn)為設(shè)交點(diǎn)為 M. 因?yàn)橐驗(yàn)?MFD1， MDA， FD1平面平面 BED1F， DA平面平面 ABCD

18、，所以所以 M平面平面 BED1F平面平面 ABCD. 又又 B平面平面 BED1F平面平面 ABCD，連接連接 MB. 則直線則直線 MB平面平面 BED1F平面平面 ABCD， 即直線即直線 MB 即為即為所求兩平面的交線所求兩平面的交線 解決此類問題解決此類問題，必須注意兩個(gè)平面不存在只有一個(gè)公共點(diǎn)的情必須注意兩個(gè)平面不存在只有一個(gè)公共點(diǎn)的情形如果有一個(gè)公共點(diǎn)形如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那么必定有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)那么必定有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，且這些點(diǎn)且這些點(diǎn)恰好組成一條直線同時(shí)要注意恰好組成一條直線同時(shí)要注意，找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn)找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn)，交線的具體位置還無法判定交線的具體位置還無

19、法判定， 只有找到兩個(gè)公共點(diǎn)只有找到兩個(gè)公共點(diǎn)， 才能確定這才能確定這兩個(gè)平面的交線兩個(gè)平面的交線， 這是做幾何體截面時(shí)確定交線經(jīng)常用到的方法這是做幾何體截面時(shí)確定交線經(jīng)常用到的方法 4.如圖如圖，在正方體，在正方體 ABCDA1B1C1D1中中，E 是是 AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn)，畫出過畫出過 D1，C，E 的平面與平面的平面與平面 ABB1A1的交線的交線，并說并說明理由明理由 解：解：如圖如圖，取取 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) F，連接連接 EF，A1B，CF. 因?yàn)橐驗(yàn)?E 是是 AA1的中點(diǎn)的中點(diǎn)， 所以所以 EFA1B. 在正方體在正方體 ABCDA1B1C1D1中中， A1D1BC，A1D1B

20、C， 所以四邊形所以四邊形 A1BCD1是平行四邊形是平行四邊形 所以所以 A1BCD1， 所以所以 EFCD1. 所以所以 E，F(xiàn)，C，D1四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面 因?yàn)橐驗(yàn)?E平面平面 ABB1A1， E平面平面 D1CE，F(xiàn)平面平面 ABB1A1， F平面平面 D1CE， 所以平面所以平面 ABB1A1平面平面 D1CEEF. 所以過所以過 D1，C，E 的平面與平面的平面與平面 ABB1A1的交線為的交線為 EF. 1立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形的區(qū)別立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形的區(qū)別 (1)平面圖形如三角形、正方形、梯形等平面圖形如三角形、正方形、梯形等，它們有大小之分它們有大小之分，可可以度量以度量 (2)立體幾何中的平面是無大小、厚薄之分的立體幾何中的平面是無大小、厚薄之分的，是不可度量的是不可度量的，它可以無限延展它可以無限延展，沒有邊界沒有邊界 (3)立體幾何中的平面是理想的立體幾何中的平面是理想的，絕對(duì)平的絕對(duì)平的 2符號(hào)語(yǔ)言的理解符號(hào)語(yǔ)言的理解 立體幾何中引用集立體幾何中引用集合的觀點(diǎn)，把點(diǎn)看作元素，直線合的觀點(diǎn)，把點(diǎn)看作元素，直線(平面平面)為點(diǎn)的為點(diǎn)的集合集合點(diǎn)與直線點(diǎn)與直線(平面平面)的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)用符號(hào) “”“”或或“ ”