線性代數(shù)試講教案

1、§3.2 向量組的線性相關(guān)性教學(xué)目的：理解向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義；掌握向量組的相序相關(guān)性的判定定理教學(xué)重點(diǎn)：掌握向量組的相序相關(guān)性的判定定理教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的秩及向量組的秩教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)引入1.什么是向量？ 定義1 個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組或，稱(chēng)為一個(gè)維向量，簡(jiǎn)稱(chēng)向量。 一般用小寫(xiě)的粗黑體字母表示，如。這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)向量組的線性相關(guān)性。新課講授：一、向量組線性相關(guān)性的定義定義5 對(duì)于向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使得 （3-3）稱(chēng)向量組線性相關(guān).反之，如果只有在時(shí)（3-3）式才成立，就稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān). 注意： 1.若線性無(wú)關(guān)，則只有當(dāng)，才有. 2.對(duì)于任一向量組，不是線性無(wú)關(guān)就

2、是線性相關(guān).3.向量組只包含一個(gè)向量時(shí)，若則說(shuō)線性相關(guān)，若，則說(shuō)線性無(wú)關(guān).4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的. 5.對(duì)于含有兩個(gè)向量向量組，它線性相關(guān)的充要條件的兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意義是兩向量共線（如圖3.1）；三個(gè)向量相關(guān)的幾何意義的三向量共面。(1) 由兩個(gè) 2 維向量構(gòu)成的向量組 A: a1 , a2 ，線性相關(guān)的幾何意義是 a1 , a2 共線. 在直線 y =2x 上取三點(diǎn)M1, M2 , M3 , 作三個(gè)向量: ，。 顯然, 這三個(gè)向量中的任意兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組都是線性相關(guān)的.(2) 由三個(gè) 3 維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的幾何意義是這三個(gè)向量共面. 如給定平面 p

3、 : x+y+z=3. 在 p 上取三點(diǎn): M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三個(gè)向量: ，向量組 a1 , a2 , a3 線性相關(guān),因?yàn)?2a1 - a2 - a3 = 0.(3) 4維向量組線性相關(guān)的幾何意義該向量組所對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組中的四個(gè)方程所表示的四個(gè)平面交于同一條直線. 例3 判斷向量組的線性相關(guān)性。解 設(shè)任意的常數(shù)，都有所以，當(dāng)且僅當(dāng) 才有 因此，線性無(wú)關(guān).稱(chēng)為基本單位向量組.例4 判斷向量組的線性相關(guān)性.解 設(shè)任意的常數(shù)，都有所以，當(dāng)且僅當(dāng),才有 .由于 ,滿足上面方程組，因此,所以線性相關(guān).例5 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，又，試證明也線

4、性無(wú)關(guān).證明 設(shè) ，即 ， .由線性無(wú)關(guān)知 ，解此方程組，可以得到非零解，于是線性相關(guān).二、線性表示（線性組合）除了根據(jù)定義來(lái)判定向量組的線性相關(guān)性外，還有什么其他判定方法呢？在我們講向量組線性相關(guān)的判定定理之前，我們先學(xué)習(xí)線性表示（線性組合）的定義。定義6 給定向量和向量組，如果存在一組數(shù)，使得 ，則稱(chēng)為向量組的一個(gè)線性組合，或者說(shuō)可由向量組線性表示，稱(chēng)為組合系數(shù)。例6 設(shè)，試問(wèn)能否由線性表示？若能寫(xiě)出具體表達(dá)式。解 令 于是得線性方程組 因?yàn)?，由克拉默法則求出 ，所以 ，因此，能由線性表示。 例7 設(shè)，試問(wèn)能否由，線性表示？解 令 ，于是得方程組 由第一個(gè)方程得，代入第二個(gè)方程得，但不滿

5、足第三個(gè)方程，故方程組誤解，所以不能由，線性表示。三、線性相關(guān)性的判定定理1 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是：中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.證明 設(shè)中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)可由線性表示，即，于是 ，顯然，不全為0，故線性相關(guān).反過(guò)來(lái)，設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使，不妨設(shè)，于是 ，即可由線性表示.該定理的逆否命題：向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是其中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示.注：(1)若令元向量，則線性無(wú)關(guān).(2)任何一個(gè)元向量都可由線性表示，即 .定理2 若向量組線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則可由唯一線性表示.證明 因?yàn)榫€性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，

6、使得 ，可以斷定（否則，與線性無(wú)關(guān)矛盾）.于是可由線性表示，即 .這種表示法是唯一的，因若 ，則 ，由于線性無(wú)關(guān)，必有，即，所以由線性表示的表示法是唯一的.將一個(gè)向量組中的某些向量組成的向量組稱(chēng)為原向量組的部分組。定理3 有一部分組線性相關(guān)的向量組一定線性相關(guān).證明 設(shè)向量組有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)這個(gè)部分組為，則有不全為零的數(shù)，使得.從而不全為零的數(shù)，使得，故線性相關(guān).推論 含有零向量的向量組必線性相關(guān).該定理的逆否命題是：如果線性無(wú)關(guān)，則其任一部分向量組成的向量組也線性無(wú)關(guān).定理4 設(shè)為的一個(gè)排列，和為兩個(gè)向量組，其中，即是對(duì)各分量的順序進(jìn)行重排后得到的向量，則這兩個(gè)向量組有相同的線性相

7、關(guān)性.證明 對(duì)任意的常數(shù)，注意到下面兩個(gè)列向量定理5 在維向量組的各向量中，添上個(gè)分量變成維向量組，(1)如果線性相關(guān)，那么也線性相關(guān)；(2) 如果線性無(wú)關(guān)，那么也線性無(wú)關(guān).證明 對(duì)列向量來(lái)證明定理。設(shè)，(1)如果線性相關(guān)，就有一個(gè)非零的矩陣，使.從而 .因此也線性相關(guān).(2) 利用(1)和反證法容易證明(2)也成立.定理6 設(shè)是一個(gè)階方陣,則的行(列)向量組線性相關(guān)的充分必要條件是.證明 設(shè)，矩陣的列向量組為：, 令 （3-4）即 ，則 線性相關(guān)存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，使得式（3-4）成立，即齊次線性方程組 （3-5） 有非零解存在.由第一章定理5的推論及其注解知，（3-5）式存在非零解.推

8、論 階方陣可逆的行(列)向量組線性無(wú)關(guān).例8 討論下列矩陣的行(列)向量組的線性相關(guān)性：；.解 由于，因此的行(列)向量組線性無(wú)關(guān)； 由于，因此的行(列)向量組線性相關(guān).例9 判斷向量組，是否線性相關(guān).解 以為行向量組得到3階方陣 .由于，故由定理6知線性相關(guān).定理7 當(dāng)時(shí)，個(gè)維向量必線性相關(guān).證明 設(shè)為維向量組，對(duì)每個(gè)添加個(gè)零分量得到維向量組易知構(gòu)成維方陣的行列式等于0.由定理6知線性相關(guān)，從而由定理5知線性相關(guān).推論 如果個(gè)維向量組必線性相關(guān).課堂小結(jié)1、如何正確理解向量組的線性相關(guān)(無(wú)關(guān))的定義？線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)是兩個(gè)對(duì)立的概念，它們之間的不同之處主要在于：線性相關(guān)的向量組存在系數(shù)不全

9、為的線性組合是零向量，而線性無(wú)關(guān)的向量組只有系數(shù)全為零的線性組合是零向量；線性相關(guān)的向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，而線性無(wú)關(guān)的向量組中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示；以線性相關(guān)的向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組存在非零解，而以線性無(wú)關(guān)的向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組只有零解.2、怎樣判斷向量組的線性相關(guān)性？方法1：利用定義判斷。這是判定向量組的線性相關(guān)性的基本方法，既適用于分量已知的向量組，也適用于分量未知的向量組。方法2：利用行列式判斷。這種方法僅適用于向量組向量的個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相等的情形。設(shè)是個(gè)維向量，以為列(行)向量組成矩陣，則線性相關(guān)。作業(yè)布置 習(xí)題三 4 （1）、（3）；5；6.定理4 設(shè)元向量，則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組 有非零解.其中