線性代數(shù)應(yīng)用案例

1、行列式的應(yīng)用案例1 大學(xué)生在飲食方面存在很多問題，多數(shù)大學(xué)生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規(guī)律，為了身體的健康就需要注意日常飲食中的營養(yǎng)。大學(xué)生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物，下表給出了這三種食物提供的營養(yǎng)以及大學(xué)生的正常所需營養(yǎng)（它們的質(zhì)量以適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量）。營養(yǎng)單位食物所含的營養(yǎng)所需營養(yǎng)食物1食物2食物3蛋白質(zhì)36511333脂肪071.13碳水化合物52347445試根據(jù)這個問題建立一個線性方程組，并通過求解方程組來確定每天需要攝入的上述三種食物的量。解：設(shè)分別為三種食物的攝入量，則由表中的數(shù)據(jù)可以列出下列方程組利用matlab可以求得x = 0.27722318361

2、443 0.23323088049177案例2 一個土建師、一個電氣師、一個機(jī)械師組成一個技術(shù)服務(wù)社。假設(shè)在一段時間內(nèi)，每個人收入1元人民幣需要支付給其他兩人的服務(wù)費(fèi)用以及每個人的實(shí)際收入如下表所示，問這段時間內(nèi)，每人的總收入是多少？（總收入=實(shí)際收入+支付服務(wù)費(fèi)）服務(wù)者被服務(wù)者實(shí)際收入土建師電氣師機(jī)械師土建師00.20.3500電氣師0.100.4700機(jī)械師0.30.40600解：設(shè)土建師、電氣師、機(jī)械師的總收入分別是元，根據(jù)題意，建立方程組利用matlab可以求得x = 1.0e+003 * 1.25648414985591案例3 醫(yī)院營養(yǎng)師為病人配制的一份菜肴由蔬菜、魚和肉松組成，這份

3、菜肴需含1200cal熱量，30g蛋白質(zhì)和300mg維生素c，已知三種食物每100g中的有關(guān)營養(yǎng)的含量如下表，試求所配菜肴中每種食物的數(shù)量。蔬菜魚肉松熱量/cal60300600蛋白質(zhì)/g396維生素c/mg906030解：設(shè)所配菜肴中蔬菜、魚和肉松的數(shù)量分別為百克，根據(jù)題意，建立方程組利用matlab可以求得x =矩陣的應(yīng)用案例1 矩陣概念的引入（1）線性方程組的系數(shù)按原來的位置構(gòu)成一數(shù)表該數(shù)表決定著上述方程組是否有解，以及如果有解，解是什么等問題，因而研究這個數(shù)表就很重要。ABCD（2）某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線，下圖所示表述了四城市間的航班圖，若從A到B有航班，則

4、用帶箭頭的線連接A和B。 為了便于研究，表中為1，空白為0，得到下列數(shù)表：列表表示到站ABCD行標(biāo)表示發(fā)站 A0110B1011C1101D0100(3)某中學(xué)學(xué)生身高體重的測量，得到如下一份統(tǒng)計(jì)如下表體重（kg）人數(shù)身高（m）405060701.5608070201.630120150901.71015801501.802510此表反映身高與體重這種關(guān)系時也可將上面表格寫成一個簡化的4行4列的矩形數(shù)表，40（kg）50（kg）60（kg）70（kg）1.5608070201.630120150901.71015801501.802510如果只反映1.5米與體重的關(guān)系，則可以用（60 80 7

5、0 20）；如果只反映60kg與身高的關(guān)系，則可以用。案例5 矩陣概念的應(yīng)用邏輯判斷問題甲、乙、丙、丁四人各從圖書館借來一本小說，他們約定讀完后互相交換，這四本書的厚度以及他們四人的閱讀速度差不多，因此，四人總是同時交換書，經(jīng)三次交換后，他們四人讀完了這四本書，現(xiàn)已知：（1）乙讀的最后一本書是甲讀的第二本書；（2）丙讀的第一本書是丁讀的最后一本書。問四人的閱讀順序是怎樣的？1234甲 乙 丙 丁解：設(shè)甲、乙、丙、丁最后讀的書的代號依次為A,B,C,D,則根據(jù)題設(shè)條件可以列出初始矩陣 下面我們來分析矩陣中各位置的書名代號。已知每個人都讀完了所有的書，所以并第二次讀的書不可能是C,D。又甲第二次讀

6、的書是B，所以丙第二次讀的書也不可能是B，從而丙第二次讀的書是A，同理可依次推出丙第三次讀的書是B，丁第二次讀的書是C，丁第三次讀的書是A，丁第一次讀的書是B，乙第二次讀的書是D，甲第一次讀的書是C，乙第一次讀的書是A，乙第三次讀的書是C，甲第三次讀的書是D。故四人閱讀的順序可用矩陣表示如下：案例6 矩陣乘法的應(yīng)用某企業(yè)某年出口到三個國家的兩種貨物的數(shù)量及兩種貨物的單位價(jià)格、重量、體積如下表所示：國家數(shù)量貨美國德國日本30001500200014001300800單位價(jià)格（萬元）單位重量（噸）單位體積（）0.50.040.20.40.060.4利用矩陣乘法計(jì)算該企業(yè)出口到三個國家的貨物總價(jià)值、

7、總重量、總體積各為多少？解：設(shè)矩陣 則矩陣總價(jià)值 總重量 總體積美國德國日本=案例7 逆矩陣的應(yīng)用一個城市有三個重要的企業(yè)：一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條地方鐵路。開采一塊錢的煤，煤礦必須支付0.25元的運(yùn)輸費(fèi)。而生產(chǎn)一塊錢的電力，發(fā)電廠需支付煤礦0.65元的燃料費(fèi)，自己亦需支付0.05元的電費(fèi)來驅(qū)動輔助設(shè)備及支付0.05元的運(yùn)輸費(fèi)。而提供一塊錢的運(yùn)輸費(fèi)鐵路需支付煤礦0.55元的燃料費(fèi)，0.10元的電費(fèi)驅(qū)動它的輔助設(shè)備。某個星期內(nèi)，煤礦從外面接到50000元煤的訂貨，發(fā)電廠從外面接到25000元電力的訂貨，外界對地方鐵路沒有要求。問這三個企業(yè)在那一個星期的生產(chǎn)總值各為多少時才能精確地滿足它們本身的

8、要求和外界的要求？解：各企業(yè)產(chǎn)出一元錢的產(chǎn)品所需費(fèi)用為企業(yè)產(chǎn)品費(fèi)用煤礦發(fā)電廠鐵路燃料費(fèi)（元）00.650.55電力費(fèi)（元）00.050.10運(yùn)輸費(fèi)（元）0.250.050對于一個星期的周期，設(shè)表示煤礦的總產(chǎn)值，表示電廠的總產(chǎn)值，表示鐵路的總產(chǎn)值。煤礦的總消耗為 電廠的總消耗為 鐵路的總消耗為 則 聯(lián)立三個方程并整理得方程組上述方程組可化為 ，其中 ， 利用matlab求解，可知 ，所以方程組有唯一解，其解為所以煤礦總產(chǎn)值為80423元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為28583元，鐵路總產(chǎn)值為21535元。案例8 求解線性方程組（1）假設(shè)你是一個建筑師，某小區(qū)要建設(shè)一棟公寓，現(xiàn)在有一個模塊構(gòu)造計(jì)劃方案需要你來設(shè)

9、計(jì)，根據(jù)基本建筑面積每個樓層可以有三種設(shè)置戶型的方案，如下表所示。如果要設(shè)計(jì)出含有136套一居室，74套兩居室，66套三居室，是否可行？設(shè)計(jì)方案是否唯一？方案一居室（套）兩居室（套）三居室（套）A873B844C935解：設(shè)公寓的每層采用同一種方案，有層采用方案A，有層采用方案B，有層采用方案C，根據(jù)題意，可得利用matlab計(jì)算方程組的系數(shù)矩陣A、增廣矩陣的秩：，所以方程組有無窮多個解。利用matlab將增廣矩陣化為行簡化階梯型矩陣：矩陣對應(yīng)的方程組為，取，則方程組的全部解為又由題意可知，都為正整數(shù)，則方程組有唯一解。所以設(shè)計(jì)方案可行且唯一，設(shè)計(jì)方案為：6層采用方案A，2層采用方案B，8層采

10、用方案C。（2） 在一個原始部落中，農(nóng)田耕作記為F，農(nóng)具及工具的制作記為M，織物的編織記為C。人們之間的貿(mào)易是實(shí)物交易系統(tǒng)（見下圖）。由圖中可以看出，農(nóng)夫?qū)⒚磕甑氖斋@留下一半，分別拿出四分之一給工匠和織布者；工匠平均分配他們制作的用具給每個組?？棽颊邉t留下四份之一的衣物為自己，四分之一給工匠，二分之一給農(nóng)夫。隨著社會的發(fā)展，實(shí)物交易形式需要改為貨幣交易。假設(shè)沒有資本和負(fù)債，那么如何對每類產(chǎn)品定價(jià)才能公正地體現(xiàn)原有的實(shí)物交易系統(tǒng)？F M C 也可以用下表表示：組名FMCFMC解：令為農(nóng)作物的價(jià)值，為工具的價(jià)值，為織物價(jià)值。那么從上表第一列，農(nóng)夫生產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)該等于他們交換到的產(chǎn)品的價(jià)值，即 同理可

11、以得到工匠和紡織者產(chǎn)品價(jià)值的方程， 從而得到下列方程組：利用matlab將系數(shù)矩陣化為行簡化階梯型矩陣，為A=令，寫成方程組，為寫成向量形式為所以當(dāng)農(nóng)作物價(jià)值、工具價(jià)值與織物價(jià)值的定價(jià)之比為時，才能公正地體現(xiàn)原有的實(shí)物交易系統(tǒng)。（3）某藥廠生產(chǎn)3種中成藥，每件中成藥的生產(chǎn)要經(jīng)過3個車間加工。3個車間每周的工時、每件中成藥在各車間需要的工時數(shù)如下表所示，問3中中成藥每周的產(chǎn)量各是多少？中成藥1中成藥2中成藥3車間工時（時/周）車間111240車間232375車間311128解：設(shè)3種中成藥每周的產(chǎn)量分別為，則由題意得利用matlab將方程組的增廣矩陣化為行簡化階梯型矩陣，得由此可以得出 所以三種

12、中成藥每周的產(chǎn)量分別為7件，9件，12件。案例9解線性方程組應(yīng)用人口遷移模型在生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)等許多領(lǐng)域中經(jīng)常需要對隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，此類系統(tǒng)中的某些量常按離散時間間隔來測量，這樣就產(chǎn)生了與時間間隔相應(yīng)的向量序列其中表示第n次測量時系統(tǒng)狀態(tài)的有關(guān)信息，而常被稱為初始向量。如果存在矩陣A，并給定初始向量，使得即則上述方程為一個線性差分方程或者遞歸方程。（1）已知某城市2009年的城市人口為5000000人，農(nóng)村人口為7800000人。假設(shè)每年大約有5%的城市人口遷移到農(nóng)村（95%仍然留在城市），12%的農(nóng)村人口遷移到城市（88%仍然留在農(nóng)村），如下圖所示，忽略其他因素對人口

13、規(guī)模的影響。計(jì)算2011年的人口分布。城市農(nóng)村0.950.120.050.88解：由題意可得遷移矩陣為設(shè)2009年的初始人口為，2010年和2011年的人口分別為，則 即2011年的人口分布情況是：城市人口為6255380，農(nóng)村人口為6544620.(2)在某個地區(qū)，每年約有4%的城市人口移居到周圍的農(nóng)村，大約5%的農(nóng)村人口移居到城市中。在2009年，城市中有400000居民，農(nóng)村有600000居民。建立一個差分方程來描述這種情況，用表示2009年的初始人口，然后估計(jì)兩年之后，即2011年城市和農(nóng)村的人口數(shù)量（忽略其他因素對人口規(guī)模的影響）（3）某公司有一個車隊(duì)，大約有450輛車，分布在三個地

14、點(diǎn)。一個地點(diǎn)租出去的車可以歸還到三個地點(diǎn)中的任意一個，但租出的車不許當(dāng)日歸還。下面的矩陣給出了汽車歸還到每個地點(diǎn)的不同比率。假設(shè)星期一在機(jī)場有304輛車，東部辦公區(qū)有48輛車，西部辦公區(qū)有98輛車，那么在星期三時，車輛的大致分布式怎么樣？解：設(shè)星期一機(jī)場、東部和系部的車輛為，星期二和星期三三個地方的車輛分別為，由題意可得，遷移矩陣為則所以，星期三時，機(jī)場有310輛車，東部辦公區(qū)有48輛車，系部辦公區(qū)有92輛車。案例10 解線性方程組應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)流模型網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、通信、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派以及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域。當(dāng)科學(xué)家、工程師和經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究某種網(wǎng)絡(luò)中的流量問題是，

15、線性方程組就自然而然地產(chǎn)生了，例如：城市規(guī)劃設(shè)計(jì)人員和交通工程師監(jiān)控城市道路網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的交通流量，電氣工程師計(jì)算電路中流經(jīng)的電流，經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析產(chǎn)品通過批發(fā)商和零售商網(wǎng)絡(luò)從生產(chǎn)者到消費(fèi)者的分配等。大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)流模型中的方程組都包含了數(shù)百甚至上千個未知量和線性方程。一個網(wǎng)絡(luò)由一個點(diǎn)集以及連接部分或全部點(diǎn)的直線或弧線構(gòu)成。網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)稱作聯(lián)結(jié)點(diǎn)（或節(jié)點(diǎn)），網(wǎng)絡(luò)中的連接線稱作分支。每一分支中的流量方向已經(jīng)指定，并且流量（或流速）已知或者已標(biāo)為變量。網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)是網(wǎng)絡(luò)流中流入與流出的總量相等，并且每個聯(lián)接點(diǎn)流入和流出的總量也相等。例如：下圖所示分別說明了流量從一個或兩個分支流入聯(lián)結(jié)點(diǎn)，和分別表示從其他分支流

16、出的流量，表示從其他分支流入的流量。因?yàn)榱髁吭诿總€聯(lián)結(jié)點(diǎn)守恒，所以有。網(wǎng)絡(luò)分析要解決的問題就是：在部分信息（如網(wǎng)絡(luò)的輸入量）已知的情況下，確定每一分支中的流量。60606080下圖的網(wǎng)絡(luò)給出了在下午兩點(diǎn)鐘，某市區(qū)部分單行道的交通流量（以每刻鐘通過的汽車數(shù)量來度量）。試確定網(wǎng)絡(luò)的流量模式。405030302010BACD解：根據(jù)網(wǎng)絡(luò)流模型的基本假設(shè)，在節(jié)點(diǎn)（交叉口）A,B,C,D處，我們可以得到下列方程：此外，該網(wǎng)絡(luò)的總流入等于網(wǎng)絡(luò)的總流出，即聯(lián)立以上方程的方程組：取，則網(wǎng)絡(luò)的流量模式表示為線性規(guī)劃問題案例1、.生產(chǎn)計(jì)劃問題（1）假設(shè)某廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，現(xiàn)庫存主要原料有A類3600kg，

17、B類2000kg,C類3000kg.每件甲產(chǎn)品需用材料A類9kg,B類4kg,C類3kg。每件乙產(chǎn)品需用材料A類4kg,B類5kg,C類10kg。甲單位產(chǎn)品的利潤70元，乙單位產(chǎn)品的利潤120元。問如何安排生產(chǎn)，才能使該廠所獲的利潤最大。解：建立模型： 設(shè)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù)分別為，為該廠所獲總利潤，則 程序如下：f=-70 -120'A=9 4;4 5;3 10;b=3600 2000 3000'x,maxf=linprog(f,A,b);maxf=-maxf;結(jié)果為：x = 200.0000 240.0000maxf = 4.2800e+004（2）某工廠生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品

18、，已知生產(chǎn)A產(chǎn)品每公斤需耗煤9噸，耗電400度，用工3個工作日；生產(chǎn)B產(chǎn)品每公斤需耗煤4噸，耗電500度，用工10個勞動日。A產(chǎn)品每公斤利潤700元，B產(chǎn)品每公斤利潤1200元，因客觀條件限制，該廠只能得到煤360噸，電20000度，勞動力300個，問該廠如何安排生產(chǎn)才能使總利潤最大？解：建立模型設(shè)分別表示生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的數(shù)量，則案例2、投資問題某公司有一批資金用于4個工程項(xiàng)目的投資，其投資各項(xiàng)目時所得的凈收益（投入資金的百分比）如下表所示。由于某種原因，決定用于項(xiàng)目A的投資不大于其他各項(xiàng)投資之和，而用于項(xiàng)目B和C的投資要大于項(xiàng)目D的投資。試確定該公司收益最大的投資分配方案。工程項(xiàng)目ABC

19、D收益（%）1510812解：建立模型：設(shè)分別表示用于項(xiàng)目A,B,C,D的投資百分?jǐn)?shù)，則 程序如下：f=-0.15 -0.1 -0.08 -0.12'A=1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1;b=0 0'Aeq=1 1 1 1;beq=1;ub=;lb=zeros(4,1);x,maxf=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);maxf=-maxf;結(jié)果如下：x = 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500maxf = 0.1300案例3、運(yùn)輸問題有A,B,C三個食品加工廠，負(fù)責(zé)供給甲、乙、丙、丁4個市場。3個工廠每天生產(chǎn)食品箱數(shù)如表1所示；

20、4個市場每天的需求量如表2所示；從各廠運(yùn)到各市場的運(yùn)輸費(fèi)（元/箱）如表3所示。求在基本滿足供需平衡的約束條件下使總運(yùn)輸費(fèi)用最小。表1工廠ABC生產(chǎn)數(shù)604050表2市場甲乙丙丁需求量20353334表3收點(diǎn)發(fā)點(diǎn)市場甲乙丙丁工廠A2132B1321C3411解：建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)為由工廠運(yùn)到市場的費(fèi)用，是由工廠運(yùn)到市場的箱數(shù)。是工廠的產(chǎn)量，是市場的需求量，則 ， 程序如下：B=2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1;f=B(:);%將矩陣B轉(zhuǎn)化為列向量A=1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1;b=60 40 50'Aeq=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0