第11章一階動(dòng)態(tài)電路分析

1、第11章 一階動(dòng)態(tài)電路分析教學(xué)提示：在前面的章節(jié)里，討論了含動(dòng)態(tài)元件的電路在正弦周期量激勵(lì)下的響應(yīng)，都是工作在穩(wěn)定狀態(tài)，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)態(tài)。實(shí)際上，這樣的響應(yīng)只是電路全部響應(yīng)中的一部分，而不是響應(yīng)的全部。當(dāng)電路在接通、斷開(kāi)或參數(shù)、結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，電路的狀態(tài)就可能會(huì)從一種穩(wěn)定的狀態(tài)向另一種穩(wěn)定的狀態(tài)變化，這個(gè)變化過(guò)程是暫時(shí)的，稱(chēng)為瞬態(tài)或過(guò)渡過(guò)程。產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的原因是由于電路中存在電感或電容動(dòng)態(tài)元件，由于動(dòng)態(tài)元件的VCR是對(duì)時(shí)間變量t的微分或積分關(guān)系，因此，對(duì)動(dòng)態(tài)電路分析需要用微分方程來(lái)描述，即在時(shí)間t中分析動(dòng)態(tài)電路，故也稱(chēng)為時(shí)域分析法。本章就是分析含有動(dòng)態(tài)元件的電路中的電壓、電流與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，主要是分

2、析只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路的電壓、電流，也就是一階動(dòng)態(tài)電路分析。主要介紹一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)、一階電路的三要素公式。教學(xué)要求：在本章中應(yīng)充分理解：零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、時(shí)間常數(shù)、固有頻率的含義；熟練地掌握他們的計(jì)算方法。掌握換路的初始值計(jì)算。重點(diǎn)能熟練運(yùn)用三要素法求得輸入為直流時(shí)，一階電路中任意變量的響應(yīng)。會(huì)計(jì)算階躍響應(yīng)。11.1 換路定律和初始條件的計(jì)算本節(jié)講述的是當(dāng)電路在接通、斷開(kāi)或參數(shù)、結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，各元件上的電量（電壓和電流）初始值的確定問(wèn)題。主要講述電感電流和電容電壓在換路時(shí)不能發(fā)生躍變，即換路定律。換路動(dòng)態(tài)電路的結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生變化時(shí)

3、，電路將改變?cè)瓉?lái)的穩(wěn)定狀態(tài)。含動(dòng)態(tài)元件的電路在正弦周期量激勵(lì)下的響應(yīng)，都是工作在穩(wěn)定狀態(tài)，簡(jiǎn)稱(chēng)正弦穩(wěn)態(tài)；當(dāng)直流電路中各個(gè)元件的電壓和電流都不隨時(shí)間變化時(shí)，稱(chēng)電路進(jìn)入了直流穩(wěn)態(tài)（DC steady state）。電路達(dá)到直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。在電路理論中，把電路中支路的接通和切斷、元件參數(shù)的改變、電源電壓或電流波動(dòng)等等，統(tǒng)稱(chēng)為換路(switching)，并認(rèn)為換路是瞬時(shí)完成的。一般情況下，換路的瞬間記為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即該時(shí)刻的，并把換路前的最后一瞬間記作、換路后的最初一瞬間記作，與、與之間的時(shí)間間隔則都趨近于零。換路定律由電容元件的電壓電流關(guān)系 可以得到+若電容元件在時(shí)的電壓為

4、，則時(shí)的電壓為+如果在換路前后，電容電流的值是有限的，則有0所以 由電感元件的電壓電流關(guān)系 可以得到+若電感元件在時(shí)的電流為，則時(shí)的電流為+如果在換路前后，電感電壓的值是有限的，則有0所以： 總之：在換路瞬間，電容元件的電流值為有限時(shí)，其電壓不能躍變；電感元件電壓值為有限時(shí)，其電流不能躍變。這一結(jié)論稱(chēng)為換路定律。其表達(dá)式為：在實(shí)際電路中，若電容電壓發(fā)生躍變，根據(jù)，功率為無(wú)限大；同理，若電感電流發(fā)生躍變，根據(jù)，功率也為無(wú)限大。從以上兩個(gè)等式可以看到，電容電壓和電感電流不可以發(fā)生躍變。除了電容電壓及與之相關(guān)聯(lián)的電荷量（q=Cu）、電感電流及與之相關(guān)聯(lián)的磁鏈（=Li）不能發(fā)生躍變外，電路中其余的各個(gè)

5、電量均可發(fā)生躍變，例如：電容電流、電感電壓、電阻的電壓和電流、電流源的電壓、電壓源的電流等。初始值及其計(jì)算對(duì)于一階電路，所謂的初始值（initial value ），就是在電路換路后的第一個(gè)瞬間，即時(shí)的電路中各電量的數(shù)值，初始值組成求解動(dòng)態(tài)電路的初始條件。由于在分析動(dòng)態(tài)電路的換路過(guò)程中，通常都要用到微分方程來(lái)求解，而微分方程的解中含有一個(gè)待定系數(shù)C，需要某一個(gè)時(shí)刻的給定值來(lái)確定，通常選擇初始值來(lái)求待定系數(shù)C。電路中電壓和電流的初始值分為兩類(lèi)：對(duì)于電容電壓和電感電流的初始值，由于是在時(shí)刻求出、之后，根據(jù)換路定律、來(lái)確定，因此稱(chēng)為獨(dú)立的初始條件。另外，根據(jù)獨(dú)立電源的特點(diǎn)，電壓源的、電流源的 也是獨(dú)

6、立的初始條件。另一類(lèi)初始值是可以躍變的量，如電容電流、電感電壓、電阻電流及電阻電壓，即、及等統(tǒng)稱(chēng)為非獨(dú)立初始條件，它們要根據(jù)獨(dú)立初始條件及電路的基本定律來(lái)求解。簡(jiǎn)單電路的初始條件的求解，可以直接在原電路中進(jìn)行，而對(duì)于含有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件電路初始條件的求解，若在原電路中求解則比較麻煩。通常的做法是，在求得、之后，將電路中的電容元件代以電壓為的電壓源、電感元件代以電流為的電流源，這樣替代后，稱(chēng)為電路在的等效電路，它是一個(gè)純電阻電路，可以按照線性電阻電路的解題方法進(jìn)行求解。例11.1在圖11.1(a)所示的電路中，已知時(shí)已穩(wěn)定。在t=0時(shí)刻開(kāi)關(guān)S合上，假設(shè)開(kāi)關(guān)合上前電容電壓為零。試求換路后各元件電流、電

7、壓的初始值。解 根據(jù)題意，開(kāi)關(guān)合上前電容電壓為零，即，根據(jù)換路定律，作的等效電路圖，如圖11.1（b）所示圖11.1 例11.1圖例11.2在圖11.2(a)所示的電路中，已知，電路原已穩(wěn)定。在時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，試求、圖11.2 例11.2圖解開(kāi)關(guān)合上前，電路原已穩(wěn)定，電感相當(dāng)于短路、電容相當(dāng)于開(kāi)路，t=0-等效電路圖如圖11.2（b），可得根據(jù)換路定律可得作的等效電路圖，如圖11.2（c）所示，將電感和電容分別看作電流源和電壓源由得思考與練習(xí)11.1-1 在電容電流為有限值時(shí)，電容電壓是不能躍變的。那么，當(dāng)電容電壓為有限值時(shí)，電容電流是否也不能躍變？為什么？11.1-2 當(dāng)電感電壓為有限值時(shí)，電

8、感電流是不能躍變的。那么，當(dāng)電感電流為有限值時(shí)，電感電壓是否也不能躍變？為什么？11.1-3 題11.1-3圖所示電路中，直流電壓源電壓，電路原先已達(dá)穩(wěn)定，在時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)S，試求電容電壓及電阻上電流的初始值。題11.1-3圖 題11.1-4圖11.1-4 題11.1-4圖所示電路中，已知、，電路原已穩(wěn)定。在時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，試求電感電流及電阻電壓的初始值。11.1-5題11.1-5圖所示電路中，已知、。電路原已穩(wěn)定。在時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，試求各元件的電壓、電流的初始值。題11.1-5圖11.2 一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)本節(jié)講述的是在沒(méi)有外加激勵(lì)的情況下，一階RC和RL電路在初始儲(chǔ)能的作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，對(duì)

9、RC電路來(lái)講相當(dāng)于電容釋放電場(chǎng)能，對(duì)RL電路來(lái)講相當(dāng)于電感釋放磁場(chǎng)能。零輸入響應(yīng)含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路稱(chēng)為一階電路（first-order circuit），如果在換路瞬間動(dòng)態(tài)元件原來(lái)就儲(chǔ)存有能量，根據(jù)換路定律可知，即使電路中并無(wú)外施電源存在，換路后電路中仍將有電流、電壓。這是因?yàn)閯?dòng)態(tài)元件的原始儲(chǔ)能要通過(guò)電路中的電阻釋放能量。動(dòng)態(tài)電路在沒(méi)有獨(dú)立源作用的情況下，由初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)(zero-input response)。RC電路的零輸入響應(yīng)如圖11.3所示電路，設(shè)開(kāi)關(guān)S合上之前電容C已充電到電壓為。根據(jù)換路定律，開(kāi)關(guān)合上之后，列換路之后的電路方程，取各元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)一致

10、參考方向，由KVL得把電阻、電容元件VCR關(guān)系 代入上式得:圖11.3 RC電路的零輸入響應(yīng)這是一個(gè)一階常系數(shù)線性齊次微分方程，分離變量等式兩邊積分式中待定系數(shù)A可由電路的初始條件確定，令，得電容的零輸入響應(yīng)電壓為：(11.2)根據(jù)，可得：(11.3)(11.4)式中的負(fù)號(hào)說(shuō)明的方向與所選參考方向相反。-U0/ R圖uC、iu ccU9OOOOOOOOt0圖11.4RC電路的零輸入響應(yīng)的uC和i關(guān)系將的變化曲線用圖11.4表示，可以看出均隨時(shí)間逐漸減小、最終衰減為零，說(shuō)明RC電路的零輸入響應(yīng)實(shí)質(zhì)上就是已充電的電容對(duì)電阻放電電路的響應(yīng)。剛開(kāi)始放電時(shí)電流最大，為，電容電壓在衰減的過(guò)程中，其儲(chǔ)存的電

11、場(chǎng)能通過(guò)電阻轉(zhuǎn)換為熱能而消耗完畢。令=RC，其中R為由電容兩端看過(guò)去的戴維南等效電阻，由下式可知的單位為秒，因此將稱(chēng)為R、C串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)，時(shí)間常數(shù)只決定于電路的參數(shù)，與電路的初始情況無(wú)關(guān)。引入后，電容電壓和電流可分別表示為（11.5） (11.6)的大小反映了放電持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短。開(kāi)始放電時(shí)的，經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間常數(shù)的時(shí)間后，衰減為因此時(shí)間常數(shù)可以理解為一個(gè)按照指數(shù)規(guī)律衰減的量，衰減到它初始值的時(shí)所需的時(shí)間。同樣還可以計(jì)算出經(jīng)過(guò)時(shí)的，如表11.1所示。表11.10123450從表11.1及式（11.5）還可以看出，從理論上來(lái)講， t=時(shí)，才衰減為零，即放電要經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間才能結(jié)束。實(shí)際上，經(jīng)過(guò)5

12、的時(shí)間，已衰減為0.007U0 ，即為初始值的0.7% ，因此工程實(shí)際上認(rèn)為經(jīng)過(guò)（35），放電過(guò)程即已結(jié)束。所以，電路的時(shí)間常數(shù)決定了放電的持續(xù)時(shí)間，時(shí)間常數(shù)越大，放電時(shí)間越長(zhǎng)。圖11.5（b）作出了不同值下的 曲線，表明越大，放電持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)。 圖11.5 時(shí)間常數(shù)的意義 RC電路的時(shí)間常數(shù)與電路的R和C都成正比。當(dāng)電容的初始儲(chǔ)能一定時(shí)，電阻越大，電路放電電流越小，放電所需時(shí)間越長(zhǎng)，所以與R成正比。同樣的情況下，C越大，初始儲(chǔ)能越多，放電時(shí)間越長(zhǎng)，因此又與C成正比。在實(shí)際電路中，適當(dāng)選擇R或C，就可控制放電的快慢。例11.3如圖11.6（a）所示電路原已處于穩(wěn)態(tài)。在時(shí)刻開(kāi)關(guān)S由位置1接至位置

13、2，電容C通過(guò)電阻放電。已知。試求：（1）換路后的；（2）放電到0.05S時(shí)的電容電壓。圖11.6 例11.3圖 解換路前RC電路處于穩(wěn)態(tài)，根據(jù)電容在直流電路中相當(dāng)于開(kāi)路的特點(diǎn)可知，電容上的電壓與電源電壓相同，如圖11.6（b）所示根據(jù)換路定律，電容電壓不能躍變，即換路之后的電路如圖11.6（c）,電路的時(shí)間常數(shù)為S根據(jù)式（11.5）和式（11.6）可知 （t>0） （t>0）放電到0.05S時(shí),電容的電壓為RL電路的零輸入響應(yīng)如圖11.7（a）所示電路中開(kāi)關(guān)S原來(lái)閉合，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，電感中流過(guò)的電流為。當(dāng)t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，如圖11.7（b）所示。這時(shí)電感L將通過(guò)電阻R釋

14、放換路前儲(chǔ)存的能量，在電路中將產(chǎn)生電流和電壓。該電路中產(chǎn)生的響應(yīng)是由電感L的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的，因此也是零輸入響應(yīng)。圖11.7 RL電路的零輸入響應(yīng)取各元件電流和電壓為關(guān)聯(lián)一致參考方向，根據(jù)KVL，列寫(xiě)換路后的電路方程，得把電感、電阻元件的VCR關(guān)系代入上式，得這是一個(gè)一階常系數(shù)線性齊次微分方程，分離變量?jī)蛇呁瑫r(shí)積分，得式中待定系數(shù)A可由電路的初始條件確定，令，得電感的零輸入響應(yīng)電流為： (11.7)根據(jù)，可得：(11.8)(11.9)式中的負(fù)號(hào)說(shuō)明的方向與所選參考方向相反。 將的變化曲線用圖11.8表示，可以看出均隨時(shí)間逐漸減小、最終衰減為零。說(shuō)明RL電路的零輸入響應(yīng)實(shí)質(zhì)上就是具有磁場(chǎng)儲(chǔ)能的電感

15、對(duì)電阻釋放儲(chǔ)能的響應(yīng)。剛開(kāi)始釋放儲(chǔ)能時(shí)電阻（電感）電壓最大，其大小為，電感電流在衰減的過(guò)程中，其儲(chǔ)存磁場(chǎng)能通過(guò)電阻轉(zhuǎn)換為熱能 圖11.8 RL電路的零輸入響應(yīng)波形 而消耗完畢。令=，其中R為由電感兩端看過(guò)去的戴維南等效電阻，可以導(dǎo)出的單位為秒，因此將稱(chēng)為R、L串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)只決定于電路的參數(shù)，與電路的初始情況無(wú)關(guān)。引入后，電感電流和電感電壓可分別表示為(11.10)(11.11)RL電路的時(shí)間常數(shù)與電路的L成正比、R成反比。電感的初始儲(chǔ)能為，同樣的情況下，L越大，初始儲(chǔ)能越多，放電時(shí)間越長(zhǎng)，因此與L成正比。同樣及L情況下，電阻越大，消耗能量越快，所以與R成反比。例11.4 圖11

16、.9所示為某汽輪發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁回路。已知?jiǎng)?lì)磁繞阻的電阻，電感，直流電壓源電壓。電壓表的量程為，內(nèi)阻為，電路原已穩(wěn)定。在t=0時(shí)，開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，試求：（1）換路后電路的時(shí)間常數(shù)；（2）；（3）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)瞬間，電壓表處的電壓。解（1）電路的時(shí)間常數(shù)為（2）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)前，電路原已穩(wěn)定，電感相當(dāng)于短路，此時(shí)電感上的電流為圖11.9例11.4圖 根據(jù)換路定律，可得代入（11.10）、（11.11）可得（3）開(kāi)關(guān)斷開(kāi)瞬間，電壓表處的電壓為由此可見(jiàn)，開(kāi)關(guān)剛斷開(kāi)時(shí)電壓表要承受很高的電壓，超過(guò)電壓表額定值很多倍，可能會(huì)損壞電壓表。電壓表處之所以出現(xiàn)這么高的電壓，是由于電感電流不能躍變，電壓表內(nèi)電阻又遠(yuǎn)大于勵(lì)磁繞阻的電阻

17、，所以開(kāi)關(guān)打開(kāi)瞬間，電壓表的電壓將遠(yuǎn)大于直流電源的電壓。另外，勵(lì)磁繞阻的絕緣也將被擊穿。所以，在切斷大電感支路時(shí)，必須考慮磁場(chǎng)能量的釋放，通常將電感和一個(gè)小電阻并聯(lián)，這個(gè)小電阻又稱(chēng)為續(xù)流電阻。續(xù)流電阻又不宜過(guò)小，否則會(huì)造成增大，過(guò)渡過(guò)程持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)。思考與練習(xí)11.2-1 一組的電容器從高壓電路斷開(kāi)，斷開(kāi)時(shí)電容器的電壓。斷開(kāi)后，電容器通過(guò)其本身的漏電阻放電，假設(shè)電容器的漏電阻為。試問(wèn)斷開(kāi)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，電容器的電壓衰減為。11.2-2 一個(gè)的電容經(jīng)過(guò)某電阻放電，經(jīng)過(guò)10s時(shí)電容的電荷量，試求該電阻阻值。11.2-3 題11.2-3圖所示電路，已知、，電路原已穩(wěn)定。在t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)S，試求換路

18、后的。11.2-4 題11.2-4圖所示電路，已知，電路原已穩(wěn)定。在t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)S，試求換路后的電壓。題11.2-3圖 題11.2-4圖11.3 一階動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng) 本節(jié)講述的是在有外加激勵(lì)并且在電容和電感的初始儲(chǔ)能為零的情況下，一階RC和RL電路的響應(yīng)過(guò)程，即向電容和電感充電的過(guò)程。零狀態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)電路中所有動(dòng)態(tài)元件的均為零的情況，稱(chēng)零狀態(tài)。零狀態(tài)的動(dòng)態(tài)電路在外施激勵(lì)作用下的響應(yīng)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)(zero-state response)。RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 如圖11.10所示電路，設(shè)開(kāi)關(guān)S合上之前電容C電壓為。根據(jù)換路定律，開(kāi)關(guān)合上之后，列換路之后的電路方程，取各元件的電壓、電流為

19、關(guān)聯(lián)參考方向，由KVL得把電阻、電容元件VCR圖11.10 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 代入上式得這是一個(gè)關(guān)于的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，此方程的解由下式解得，其中為方程的一個(gè)特解，與外加激勵(lì)有關(guān)，稱(chēng)為強(qiáng)制分量，由方程可以看出，為該方程的一個(gè)特解，因此取。為與該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程所求得的通解相同，與外加激勵(lì)無(wú)關(guān)，因此又稱(chēng)為自由分量。由前一節(jié)所學(xué)內(nèi)容可知其中的求法與零輸入響應(yīng)相同，為待定系數(shù)，由電路的初始條件求得 代入初始條件得最后解得電容上的電壓為(11.12)由、可得(11.13)(11.14)的波形如圖11.11所示圖11.11 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)由式11.1211.14及圖11

20、.11可知，在電容充電過(guò)程中，電容電壓由零按照指數(shù)規(guī)律逐漸增加，最終趨近于外加電源電壓US。電路中的電流則開(kāi)始充電時(shí)最大，為US/R，然后逐漸減小，最終減小到零，電阻上的電壓則與變化規(guī)律相反。電容充電結(jié)束后，電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，相當(dāng)于直流電路中的電容元件，即，電容儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能為。與RC電路的零輸入響應(yīng)相似，從理論上來(lái)講，當(dāng) t為時(shí)，電容充電才能結(jié)束。但實(shí)際上，當(dāng)t=5時(shí)， 電容已充電至0.997U0，可以認(rèn)為充電已經(jīng)完成。例11.5 如圖11.10所示電路中，已知，電容的初始電壓為零。當(dāng)t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，試求：（1）電路的時(shí)間常數(shù)；（2）電容上電壓和電流；（3）開(kāi)關(guān)合上后時(shí)的電壓和電流值。解

21、（1）電路的時(shí)間常數(shù)為（2）電容上的電壓和電流分別為（3）將分別代入電容電壓、電流表達(dá)式中，得例11.6 電路如圖11.10所示，設(shè)，電容初始電壓為零。外加電源如圖11.12（a）所示。試求換路后電容上的電壓和電流。圖11.12 例11.6圖解因?yàn)橥馐┘?lì)是一個(gè)矩形脈沖，t在02s時(shí)，電容相當(dāng)于從零開(kāi)始被充電（并未充電到10V）；t>2s時(shí)，此時(shí)外施激勵(lì)為零，而電容卻儲(chǔ)存有電能，相當(dāng)于RC電路的零輸入響應(yīng)。電路的時(shí)間常數(shù) 當(dāng)時(shí)，根據(jù)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)公式得 因?yàn)楫?dāng)t>2s時(shí)，電容開(kāi)始放電，需計(jì)算出t=2s時(shí)電容的電壓，即求出當(dāng)t>2s時(shí)，根據(jù)RC電路的零輸入響應(yīng)公式得負(fù)號(hào)說(shuō)

22、明電流方向與參考方向相反,電容上電壓、電流變化曲線分別見(jiàn)圖11.12（b）、11.12（c）。 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖11.13所示的R、L串聯(lián)電路，設(shè)外施激勵(lì)為直流電壓源，電感。當(dāng)時(shí)合上開(kāi)關(guān)S，該電路實(shí)質(zhì)上就是電感從電源吸收能量轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能儲(chǔ)存起來(lái)的響應(yīng)過(guò)程。分析圖11.13，各元件電流電壓參考方向如圖所示，換路后，由KVL得把電阻、電感元件VCR關(guān)系代入上式得：這是一個(gè)關(guān)于的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，此方程的解由下式解得 圖11.13 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 其中為方程的一個(gè)特解，與外加激勵(lì)有關(guān)，與RC電路零狀態(tài)響應(yīng)相似，也稱(chēng)為強(qiáng)制分量，由方程可以看出，為該方程的一個(gè)特解，因此取。為與

23、該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程所求得的通解相同，與外加激勵(lì)無(wú)關(guān)，也稱(chēng)為自由分量。其中的求法與RL電路零輸入響應(yīng)相同，為待定系數(shù)，得代入初始條件最后解得電感上的電流為 (11.15)由、可得 (11.16)(11.17)的波形如圖11.14所示。圖11.14 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)波形電感電流由零按照指數(shù)規(guī)律逐漸增大，最終接近于穩(wěn)定值。電感電壓開(kāi)始時(shí)最大，為電源電壓，然后逐漸減小，最終衰減到零，電阻電壓變化則與電感電壓變化規(guī)律相反。電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)后，電感相當(dāng)于短路，其儲(chǔ)存的能量為。思考與練習(xí)11.3-1 題11.3-1圖所示電路中，直流電壓源電壓，電路原先已達(dá)穩(wěn)定，在時(shí)開(kāi)關(guān)S由1接至2，試求換路后電容的電

24、壓和電流。11.3-2 的RC串聯(lián)電路接到的直流電壓源。試求：（1）充電電流的最大值；（2）經(jīng)過(guò)0.015s時(shí)電容的電壓和電流。11.3-3 的RC串聯(lián)電路接到的直流電壓源，若接通后10s時(shí)電容的電壓為32V，試求電阻R的阻值。11.3-4 題11.3-4圖所示電路中，直流電壓源電壓，電路原先已達(dá)穩(wěn)定，在時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。試求換路后電感的電流和電壓。題11.3-1圖 題11.3-4圖11.4 一階電路的全響應(yīng)及其分解本節(jié)講述的是在既有外加激勵(lì)而且電容和電感的初始儲(chǔ)能都不為零的情況下的一階RC和RL電路的響應(yīng)過(guò)程. 全響應(yīng)初始值為非零狀態(tài)的電路在獨(dú)立源作用下的響應(yīng)稱(chēng)全響應(yīng)(complete resp

25、onse)。第二節(jié)和第三節(jié)介紹的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的特例。1RC電路的全響應(yīng)下面分析RC電路的全響應(yīng)。在圖11.10所示電路中，假設(shè)電容，其余條件不變，試求換路后的 由KVL定律，換路后其解仍為式中與RC電路零狀態(tài)響應(yīng)中的含義相同，把初始條件代如上式，得最后得到電容上電壓的全響應(yīng)為(11.18)電阻電壓、電容電流的全響應(yīng)為 (11.19) (11.20)2RL電路的全響應(yīng)按照相同的方法來(lái)分析RL電路的全響應(yīng)，在圖11.13所示電路中，設(shè)電感，其余條件不變，試求換路后的電感上的電流為把初始條件代入，得最后得電感上的電流為 (11.21)電感上電壓、電阻上電壓分別為 (11.22)

26、(11.23)圖11.15作出了RC電路中各 響應(yīng)的變化曲線。 圖11.15情況下RC電路的全響應(yīng)波形 全響應(yīng)的兩種分解通過(guò)對(duì)RC、RL電路全響應(yīng)的進(jìn)一步分析可知，這兩種電路的全響應(yīng)都可以按照一定規(guī)律進(jìn)行分解，并可推廣到任意線性動(dòng)態(tài)電路，下面介紹全響應(yīng)的兩種分解。 1.全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)之和全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)或 全響應(yīng)=強(qiáng)制分量+自由分量在前述RC、RL電路的零狀態(tài)及全響應(yīng)的求解過(guò)程，均是利用經(jīng)典法解微分方程，將結(jié)果分為兩部分，即強(qiáng)制分量和自由分量。如果外加電源是直流量、正弦量，則強(qiáng)制分量是直流量和同頻率的正弦量，將長(zhǎng)期存在。而自由分量總是最終衰減為零的，只是暫時(shí)存在的。當(dāng)

27、自由分量消失，電路進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)，而強(qiáng)制分量就是新的穩(wěn)態(tài)中的響應(yīng)。所以，在外加電源為直流量、正弦量的電路中，強(qiáng)制分量又稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)分量或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，自由分量又稱(chēng)為暫態(tài)分量或暫態(tài)響應(yīng)，電路存在暫態(tài)響應(yīng)的時(shí)期，稱(chēng)為電路的暫態(tài)，也叫作電路的過(guò)渡過(guò)程。在換路前后，電容電壓或電感電流的初始值與穩(wěn)態(tài)值不同（在正弦交流電路中是與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的初始值不同），電路中除了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)外，還將經(jīng)歷暫態(tài)過(guò)程。當(dāng)暫態(tài)響應(yīng)消失后，電路進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)。過(guò)渡過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間理論上為無(wú)限大，在很多實(shí)際電路中，過(guò)渡過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間是很短的，一般在幾秒到幾十秒之間，有的在百分之幾秒或千分之幾秒內(nèi)便結(jié)束了。所以，分析電路的穩(wěn)態(tài)有著重要意義。但是，電路在時(shí)

28、間很短的過(guò)渡過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)中所沒(méi)有的情況，有的可以利用，有的則要嚴(yán)加防范（如高電壓或大電流），所以分析電路的過(guò)渡過(guò)程同樣有著重要意義。2.全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)把電容的全響應(yīng) （見(jiàn)式11.18）稍作變化可得比較RC電路的零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)，可以發(fā)現(xiàn)，式中第一項(xiàng)便是時(shí)的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)是時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。在圖11.16中，作出了這兩種分解后的波形。圖11.16 全響應(yīng)的兩種分解上述兩種分解都是人為地為了分析方便而進(jìn)行的。第一種分解，即分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)之和或強(qiáng)制分量與自由分量之和，能較明顯的反映電路的工作狀態(tài)，便于分析過(guò)渡過(guò)程的特點(diǎn)。第二種分解

29、，即分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，則明顯反映了響應(yīng)與激勵(lì)在能量方面的因果關(guān)系，并且便于分析計(jì)算。雖然分法不同，電路的真正的響應(yīng)是全響應(yīng)。在一階電路中，電路最終觀察到的往往是穩(wěn)態(tài)分量。思考與練習(xí)11.4-1 試分別將RC電路在直流激勵(lì)下的全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。11.4-2 試分別將RL電路在直流電壓源激勵(lì)下的全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。11.4-3 暫態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)滿(mǎn)足的方程是相同的，它們有什么不同？11.5 一階電路的三要素法通過(guò)以上幾節(jié)的分析，求解一階電路的全響應(yīng)時(shí)可以歸納出以下幾點(diǎn)：一階電路的全響應(yīng) 等于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)之和，且暫態(tài)響應(yīng)總為，即一階電

30、路的全響應(yīng)同一個(gè)一階電路中各響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)都是相同的。含電阻和電容的電路，時(shí)間常數(shù)；含電阻和電感的電路，時(shí)間常數(shù)，其中是換路后從C或L看過(guò)去的等效電阻。暫態(tài)分量的初始值A(chǔ)等于其中為全響應(yīng)的初始值，為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的初始值。 綜上所述，一階電路的響應(yīng)的一般表達(dá)式為(11.24)在直流電路中，與是相等的，設(shè)，式（11.24）可以寫(xiě)成 (11.25)上式中：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)的初始值及時(shí)間常數(shù)三者統(tǒng)稱(chēng)為一階電路全響應(yīng)的三要素，這三者確定了，全響應(yīng)就確定了。三要素法是按照全響應(yīng)等于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)之和的觀點(diǎn)歸納出的，但也可用于計(jì)算零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。表11.2為各種響應(yīng)的三要素法求解表。表11.2 時(shí)域

31、分析法與三要素法求解一階電路比較表名 稱(chēng)微分方程之解三要素表示法RC電路的零輸入響應(yīng) （）RL電路的零輸入響應(yīng) ()直流激勵(lì)下RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)直流激勵(lì)下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階RC電路的全響應(yīng)例11.7 圖11.17（a）所示電路，時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)。求時(shí)的電容電壓和電阻中的電流。解 （1）求全響應(yīng)的初始值、開(kāi)關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，根據(jù)換路定律不能由求得，而需通過(guò)作出如圖11.17（b）所示時(shí)的等效電路圖來(lái)求，在的等效電路中，電容相當(dāng)于一個(gè)的電壓源，根據(jù)歐姆定律 圖11.17 例11.7圖（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、當(dāng)?shù)牡刃щ娐啡鐖D11.17（c）所示，此時(shí)電容相當(dāng)

32、于開(kāi)路，其兩端的電壓就是電阻兩端的電壓，即電流的穩(wěn)態(tài)值為（3）求時(shí)間常數(shù)換路后從電容C看過(guò)去的戴維南等效電阻如圖11.17（d）所示，即所以時(shí)間常數(shù) （4）根據(jù)三要素公式求和 （t>0） （t>0）和的變化曲線如圖11.18所示 25 5 5 1圖11.18 uc（t）和i2（t）的變化曲線例11.8 電路如圖11.19（a）所示，已知直流電壓源的電壓，電流源，。電路原已穩(wěn)定，試求換路后電感電流和電阻上的電壓。圖11.19 例11.8用圖解 （1）求電路原已穩(wěn)定，電感相當(dāng)于短路，所以需在換路后最初一瞬間來(lái)求，作時(shí)的等效電路圖，在圖11.19（b）所示的等效電路圖中，電感相當(dāng)于電流源

33、（其中并聯(lián)組合已變換為與的串聯(lián)組合）。根據(jù)彌爾曼定律根據(jù)可知（2）求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、在穩(wěn)態(tài)電路中，電感相當(dāng)于短路，如圖11.19（c）所示，很顯然 （3）求時(shí)間常數(shù) 從L兩端看過(guò)去的戴維南等效電阻如圖11.19（d）所示，將電壓源看成短路、電流源看成開(kāi)路，相當(dāng)于串聯(lián)后再和并聯(lián)，即=（4）根據(jù)三要素公式求和思考與練習(xí)11.5-1 試求圖11.5-1所示各圖所示電路的時(shí)間常數(shù)。題11。5-1圖11.5-2 如題11.5-2圖所示電路，已知直流電壓源電壓、，電路原已穩(wěn)定。當(dāng)t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)，試用三要素法求換路后的。題11.5-2圖題11.5-3圖11.5-3 如題11.5-3圖所示電路，已知直流電壓源電壓

34、、,電路原已穩(wěn)定。當(dāng)t=0時(shí)合上開(kāi)關(guān)，試用三要素法求換路后的。11.5-4 如題11.5-4圖所示電路，已知直流電壓源電壓,電路原已穩(wěn)定。當(dāng)t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)，試用三要素法求換路后的。題11.5-4圖11.6 一階電路的階躍響應(yīng)本節(jié)我們將講述當(dāng)外加激勵(lì)為階躍函數(shù)加在一階電路時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng). 階躍函數(shù)1. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)( unit step function)是一種奇異函數(shù)(如圖11.20a),其定義為1V+u(t)_t=0RC即它在(0_,0+)時(shí)域內(nèi)發(fā)生了單位階躍, 單位階躍函數(shù)可以描述圖11.20b所示電路的開(kāi)關(guān)動(dòng)作,它表示在t=0時(shí)把電路接到單位直流電壓時(shí)u(t)的值。01u(

35、t)t(a) (b)圖11.20 單位階躍函數(shù)2. 延遲的單位階躍函數(shù)若單位階躍函數(shù)的起始時(shí)刻不是t=0而是t=t0,即(t-t0)可看成是把(t)在時(shí)間軸上移動(dòng)了t0后的結(jié)果,因此,稱(chēng)之為延遲的單位階躍函數(shù)(如圖11.21所示).1(t-t0)0t0t圖11.21 延遲的單位階躍函數(shù) 階躍響應(yīng)我們把電路對(duì)于單位階躍輸入的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為電路的階躍響應(yīng)(step response)。它是由外加單位階躍激勵(lì)所引起的，由于在t0-時(shí)，外加激勵(lì)恒為零，因而在t=0-時(shí)電路中儲(chǔ)能元件所儲(chǔ)存的能量全為零，所以階躍響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)。其計(jì)算方法與前述零狀態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法完全相同，不過(guò)為表示此響應(yīng)僅適用于t0+

36、,可在所得結(jié)果的后面乘以單位階躍函數(shù)(t)。例11.9電路如圖11.22所示,已知：iS(t)作用于電路，uC(0)=0，求：uC(t) t0。圖11.22 例11.9用圖解 首先把iS(t)分成兩項(xiàng)：即其中為階躍輸入信號(hào)，為延遲階躍輸入信號(hào)。作用時(shí)，作用時(shí)，由疊加定理可得電路響應(yīng)波形如圖11.23所示 圖11.23實(shí)際上，只要知道了電路的單位階躍響應(yīng)，就能求出任意直流激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，其響應(yīng)為單位階躍響應(yīng)乘以該直流激勵(lì)的大小。思考與練習(xí)11.6-1 試寫(xiě)出題11.6-1圖所示波形的函數(shù)表達(dá)式。0u(t)11223t題11.6-1圖11.6-2 如果單位階躍激勵(lì)引起的電容電壓為，則延遲單

37、位階躍激勵(lì)引起的電容電壓為，為什么？11.7一階動(dòng)態(tài)電路分析的應(yīng)用本節(jié)我們從微分電路和積分電路著手,運(yùn)用上面幾節(jié)所講述的一階動(dòng)態(tài)電路的分析方法來(lái)分析微分電路和積分電路中的輸出電壓波形和輸入電壓波形之間的特定(微分或積分)關(guān)系.微分電路 如圖 11.24所示 的RC電路（uC(0-)=0）。輸入的是矩形脈沖電壓u1(如圖11.25所示)，在電阻R兩端輸出的電壓為u2，則u2= uR 。輸出電壓u2 的波形同電路的時(shí)間常數(shù) 和脈沖寬tp 的大小有關(guān)。當(dāng)tp一定時(shí)，改變 的值，電容元件充放電的快慢就不同，而且 和tp的比值發(fā)生了改變則輸出電壓u2 的波形也就不同.圖11.25矩形脈沖電壓 圖11.2

38、4 微分電路在圖 11.24中，設(shè)輸入矩形脈沖u1的幅度為U =6伏。當(dāng) =10 tp和 t=t1=tp時(shí)，由于>>tp ，電容充電很慢，在經(jīng)過(guò)一個(gè)脈沖寬度（t=tp）時(shí)，電容器上只充到（6-5.43）=0.57V，而剩下的5.43 V加在電阻兩端。這時(shí)，輸出電壓u2 和輸入電壓u1的波形很相近，電路就成為一般的阻容耦合電路(即電容相當(dāng)于短路).隨著 和tp的比值的減小，在電阻兩端逐步形成正、負(fù)尖脈沖輸出如圖11.26所示。例11.10在圖11.24的電路中，R=20k ，C=100pF.輸入信號(hào)u1為一矩形脈沖如圖11.26，其幅值U=6V,脈沖寬度tp=50. 試分析和作出輸出

39、電壓u2的波形，設(shè)電容元件原先未儲(chǔ)能。解是輸入電壓寬度的二十五分之一，<<tp。在t=0時(shí), u1從零突然上升到6 V，即u1=U=6V ，開(kāi)始對(duì)電容進(jìn)行充電。由于電容兩端的電壓不能躍變，在這瞬間它相當(dāng)于短路（uc =0）,所以u(píng)2=U=6V。因?yàn)?lt;<tp,對(duì)于tp而言，充電很快，uc很快增長(zhǎng)到 U值，與此同時(shí)，u2很快衰減到零值。這樣，在電阻兩端就輸出一個(gè)正尖脈沖（圖11.26）。 u2的表達(dá)式為在t=t1 時(shí)，u1突然下降到零（這時(shí)輸入端不是開(kāi)路，而是短路），也由于uc不能躍變，所以在這瞬間，u2 =- uc = -U=-6V,極性與以前相反。而后電容元件經(jīng)電阻很快

40、放電，u2很快衰減到零。這樣就輸出一個(gè)負(fù)尖脈沖。u2的表達(dá)式為圖11.26 u1和u2的波形 圖11.27周期性矩形脈沖輸入輸出的波形比較上例中u1 和u2的波形，可見(jiàn)在u1的上升躍變部分（從零躍變到6V），u2 =U =6V，此時(shí)正值最大；在u1 的平直部分，u2 0；在u1 的下降躍變部分（從6 V躍變到零）, u2= -U=-6V，此時(shí)負(fù)值最大。所以輸出電壓u2與輸入電壓u1近似于微分關(guān)系。這種輸出尖脈沖反映了輸入矩形脈沖的躍變部分，是對(duì)矩形脈沖微分的結(jié)果。因此這種電路稱(chēng)為微分電路(differentiating circuit)。如果輸入的是周期性矩形脈沖，則輸出的是周期性正負(fù)尖脈沖如

41、圖11.27?？傊?RC微分電路具有兩個(gè)條件：（1）<< tp (一般<0.2tp）；（2）輸出信號(hào)從電阻端輸出。在脈沖電路中，常應(yīng)用微分電路把矩形脈沖變換為尖脈沖，作為觸發(fā)信號(hào)。 積分電路 微分和積分是兩個(gè)矛盾的方面，同樣，微分電路(differentiating circuit)×和積分電路(integrating circuit)也是矛盾的兩個(gè)方面。雖然它們都是RC串聯(lián)電路，但是，當(dāng)條件不同時(shí)，所得的結(jié)果也就相反。如上面所述，微分電路必須具有（1）<<tp和（2）輸出信號(hào)從電阻端輸出兩個(gè)條件。如果條件變?yōu)椋海?）>>tp；（2）輸出信號(hào)

42、從電容兩端輸出。這樣，電路就轉(zhuǎn)化為積分電路了，如圖11.28（a）。圖11.28（a）積分電路 圖11.28（b）輸入電壓和輸出電壓波形圖11.28（b）是積分電路的輸入電壓u1和輸出電壓u2的波形。由于>>tp，電容緩慢充電，其上的電壓在整個(gè)脈沖持續(xù)時(shí)間內(nèi)緩慢增長(zhǎng)，當(dāng)還未增長(zhǎng)到趨近穩(wěn)定值時(shí)，脈沖已告終止（t=t1）。以后電容經(jīng)電阻緩慢放電，電容上的電壓也緩慢衰減，在輸出端輸出一個(gè)鋸齒波電壓，時(shí)間常數(shù)越大，充放電越緩慢，所以鋸齒波電壓的線性也就越好。從圖11.28（b）的波形來(lái)看，u2是對(duì)u1積分的結(jié)果。從數(shù)學(xué)上看，當(dāng)輸入的是單個(gè)矩形脈沖（如圖11.25）時(shí)，由于>>t

43、p ，充放電很緩慢，就是uc增長(zhǎng)和衰減很緩慢，充電時(shí)u2= uc << uR ，因此u1=uR + u2uR =Ri或：所以輸出電壓為 輸出電壓u2與輸入電壓u1 近于成積分關(guān)系。因此這種電路成為積分電路。 在脈沖電路中，可應(yīng)用積分電路把矩形脈沖變換為鋸齒波電壓，作掃描等用。11.8 小 結(jié)1換路定律在換路瞬間，電容電流為有限值時(shí)，其電壓不能躍變；電感電壓為有限值時(shí)，其電流不能躍變，即2初始值響應(yīng)及響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)在換路后的第一個(gè)瞬間，即時(shí)的值，稱(chēng)為響應(yīng)的初始值，初始值組成求解動(dòng)態(tài)電路的初始條件。3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)電路在沒(méi)有獨(dú)立源作用的情況下，由初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為零輸入

44、響應(yīng)。動(dòng)態(tài)電路中所有動(dòng)態(tài)元件的均為零的情況，稱(chēng)零狀態(tài)。零狀態(tài)的動(dòng)態(tài)電路在外施激勵(lì)作用下的響應(yīng)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)。4全響應(yīng)及其分解非零狀態(tài)的電路在獨(dú)立源作用下的響應(yīng)稱(chēng)全響應(yīng)。當(dāng)外加電源為直流量時(shí)，線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)可以分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)之和。暫態(tài)響應(yīng)存在期間，為電路的過(guò)渡過(guò)程。暫態(tài)響應(yīng)消失，電路進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)。線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)還可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。5直流輸入一階電路的響應(yīng)的三要素公式其中：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)的初始值及時(shí)間常數(shù)三者統(tǒng)稱(chēng)為一階電路全響應(yīng)的三要素。動(dòng)態(tài)元件為電容時(shí)，；動(dòng)態(tài)元件為電感時(shí)，其中是換路后從C或L看過(guò)去的等效電阻。11.9 習(xí) 題11.9-1、我們通常講的：電容在直流電路中相當(dāng)于斷路，電感在直流電路中相當(dāng)于短路。這句話(huà)是針對(duì)電路的來(lái)講的。A、暫態(tài) B、過(guò)渡過(guò)程 C、穩(wěn)態(tài)11.9-2、下列哪些電量在換路的瞬間是可以發(fā)生躍變的，哪些是不能發(fā)生躍變的。A、電感電壓 B、電阻電流 C、電阻電壓 D、電容