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1、課 題:9 6空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算 (一) 教學(xué)目的:掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念,會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體(正方體、長(zhǎng)方體)的頂點(diǎn)坐標(biāo);掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律;3.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)或垂直;4.會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn):空間右手直角坐標(biāo)系,向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn):空間向量的坐標(biāo)的確定及運(yùn)算授課類(lèi)型:新授課 課時(shí)安排:1課時(shí) 教 具:多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析: 本節(jié)有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn):向量和點(diǎn)的直角坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角和距離公式這一小節(jié),我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下,使向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化去掉基底,使空間一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)三維數(shù)組,這樣使向量運(yùn)算更
2、加方便在上一小節(jié)已學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的基礎(chǔ)上,把向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化,對(duì)學(xué)生已不會(huì)感到抽象和困難在第2個(gè)知識(shí)點(diǎn)中,我們給出空間解析幾何兩個(gè)最基本的公式:夾角和距離公式在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中,作為向量坐標(biāo)計(jì)算的例題,還順便證明了直線(xiàn)與平面垂直的“性質(zhì)定理”通過(guò)解一些立體幾何的應(yīng)用題,就可為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間解析幾何、高維向量和矩陣打下基礎(chǔ) 要求學(xué)生理解空間向量坐標(biāo)的概念,掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握兩點(diǎn)的距離公式掌握直線(xiàn)垂直于平面的性質(zhì)定理 教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入: 1平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得把
3、叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo), 特別地,2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若,則,若,則3 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=04平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量,試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么,所以又,所以這就是說(shuō):兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和5.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1)設(shè),則或(2)如果表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)6.向量垂直的判定設(shè),則7.兩向量夾角的余弦() cosa,b= cosq=8空間向量的基本定理:若是空間的一個(gè)基底,是空間任意一向量,存
4、在唯一的實(shí)數(shù)組使二、講解新課:1 空間直角坐標(biāo)系:(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直,且長(zhǎng)為,這個(gè)基底叫單位正交基底,用表示;(2)在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:軸、軸、軸,它們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)叫原點(diǎn),向量 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面,分別稱(chēng)為平面,平面,平面;(3)作空間直角坐標(biāo)系時(shí),一般使(或),;(4)在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向軸的正方向,食指指向軸的正方向,如果中指指向軸的正方向,稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo):如圖
5、給定空間直角坐標(biāo)系和向量,設(shè)為坐標(biāo)向量,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作 在空間直角坐標(biāo)系中,對(duì)空間任一點(diǎn),存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作,叫橫坐標(biāo),叫縱坐標(biāo),叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律:(1)若,則, ,(2)若,則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)三、講解范例:例1 已知,求,解:,例2求點(diǎn)關(guān)于平面,平面及原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)解:在平面上的射影,在平面上的射影為, 點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,關(guān)于平面及原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為,例3在正方體中,分別是的中點(diǎn),求證平面證明
6、:不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè),分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系,則, ,又,所以,平面四、課堂練習(xí):1已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體,E、F分別是BB1和DC的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,試寫(xiě)出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)分析:要求點(diǎn)E的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)E與x軸、y軸垂直的平面已存在,只要過(guò)E作平面垂直于z軸交E點(diǎn),此時(shí)|x|y|z|,當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸正向相同時(shí),x0,反之x0,同理確定y、z的符號(hào),這樣可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)解:D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),,D1(0,0,2),E
7、(2,2,1),F(xiàn)(0,1,0)2已知(2,3,5),(3,1,4),求,8,解:(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1),(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9),88(2,3,5)(16,24,40),(2,3,5)(3,1,4)6(3)(20)293在正方體要ABCDA1B1C1D1中,E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn),求證:D1F平面ADE證明:不妨設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則又D1FAE,又ADAEA,D1F平面ADE本例中坐標(biāo)系的選取具有一般性,在今后會(huì)常用到,這樣選取可以使正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為非負(fù),且易確定原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0),x軸上
8、的坐標(biāo)為(x,0,0),y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0),z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)與z軸垂直,只要z0即可事實(shí)上,要使向量a與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直,只要向量a的相應(yīng)坐標(biāo)為0鞏固練習(xí)P39練習(xí)16五、小結(jié) : 空間右手直角坐標(biāo)系的概念,會(huì)確定一些簡(jiǎn)單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo); 掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律;3. 會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)或垂直;4. 會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問(wèn)題5用向量坐標(biāo)法證明或計(jì)算幾何問(wèn)題的基本步驟:建系設(shè)坐標(biāo)向量點(diǎn)的坐標(biāo)化向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 六、課后作業(yè):七、板書(shū)設(shè)計(jì)(略)八、課后記:教學(xué)以單位正交基底建立直角坐標(biāo)系時(shí),根據(jù)前面向量分解定理,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的思想
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