第7章矢量代數(shù)與空間解析幾何

1、第七章 空間解析幾何（一）、基本內容（一）空間直角坐標系兩點間距離公式（二）空間向量1 向量的概念(1) 向量(2) 向量的模(3) 零向量(4) 單位向量(5) 反向量(6) 向量相等2 向量的運算(1) 向量的加法(2) 向量的減法(3) 向量的數(shù)乘(4) 向量的數(shù)量積（點積）(5) 向量的向量積（叉積）（三）向量的坐標1 向量的坐標表達式2 向量運算及性質的坐標表示3 向量的方向余弦（四）空間平面及方程1 平面的方程(1) 點法式方程(2) 一般方程(3) 截距式方程2 有關平面的幾個問題(1) 點到平面的距離(2) 兩平面間的夾角余弦(3) 兩平面間位置關系（五）空間直線及程1.空間直

2、線的方程(1)對稱式方程(2)參數(shù)方程(3)一方程,看成兩平面的交線2.平面束方程（六）空間曲面及方程1 球面方程2 母線平行于坐標軸的柱面方程3 旋轉曲面方程4 橢球面方程5 橢圓拋物面方程6 雙面拋物面方程（又稱鞍形曲面）7 雙曲面方程（七）空間曲線及方程1.空間曲線的方程(1)一般方程(2)參數(shù)方程 2空間曲線在坐標平面上的投影練習題答案1已知，求與的夾角解：由 可得 故2求以和為鄰邊的平行四邊形對角線間夾角的正弦解： ， 3證明：三角形三高交于一點 證： 如圖，OAEDCB 只需證 因 令 ， ， ，則有 從而 于是 即 ，得證4試證 證明：如圖，令ACB 同理 則 故得證5設向量與三

3、個基本單位向量成相等的銳角，且，求解：因 ，且 故 =A6已知三角形的頂點，與，求從頂點做出的中線的長度解：如圖DBC7（1） 過點及軸；（2） 過點平行于平面；（3） 過點和且垂直于平面；（4） 過軸且與平面的夾角為；（5） 由點及直線：決定；（6） 由兩條相交直線和決定；(7) 經過直線且與平面成角解： 設：點代入上式得 故： 設： 將得 故： 取由點法式方程得： 設： ， 得 或 故： 或 直線過點 得： 故： 設則，故： 設平面：整理 則 得 故： 8求由平面與所成二面角的平面方程解：設點 得：或 9求過直線，且在軸上截距為的平面方程解：設： 整理 故：10求過直線，且切于球面的平面方

4、程解：設：整理 球心到的距離為解得 故： 11寫出下列直線方程：(1) 過點且平行于直線；(2) 過點且平行于直線；(3) 過點且平行于軸；(4) 過點且與直線相交，又平行于平面解：設直線的方向向量均為： 過 即 故 從而 ： ：故所求直線12若，兩點關于直線對稱，且的坐標為，求點的坐標。解： ：故13已知直線，求在面及平面上的投影方程。解：因：故14求兩不平行直線和之間的距離。解：故：點15求兩直線，的公垂線方程，且求公垂線的長。求公垂線長 故：求公垂線方程 故： 故： 從而公垂線為16在平面上求一直線，使之與兩直線和都相交解：由已知得： 17直線繞周旋轉一周，求旋轉曲線的方程解：18兩球面

5、和的交線在平面上的投影是什么曲線，寫出它的方程解： 是橢圓19求過兩圓周和的球面方程解： 故球面方程為 20已知曲面，從原點沿方向余弦為的方向作射線交曲面于，證明：證明：設則將代入即證測試題（七-1）答案1已知向量(1).(2).(3).(4).解：2 解：已知向量，與。計算：（1） （2）（3） （4）解： ， 3設(1)；（2）（3）解：4問在直線方程中各系數(shù)應當滿足哪些條件才會使（1）（2）（3）（4）直線過坐標原點；解：5.  設點解：直線故點ACB6一直線通過點解：如圖7設直線，則(1)(2)解：平行。到故于是：8 在直線解：設點 得 故點為9解：10指出下列方程表示什么曲

6、面，若是旋轉曲面，指出它們是什么曲線繞什么軸旋轉而產生的。解：， 兩個平面拋物柱面橢球面 ， 是雙曲拋物面拋物面， 是測驗題（七-2）答案1下列說法是正確的，為什么？是單位向量。不適單位向量；解：不正確，此向量模為 ； 不正確，2已知平行四邊形邊和的中點為，且，求和解：ABCDL故 故 3(1)設，而, (2)證明證明 : 則故 故 幾何意義：平行四邊形面積的兩倍等于以它的對角線為邊的平行四邊形的面積。4寫出垂直與平面，且與它的交線在平面上的平面方程。解：故可設又由 故5平面過軸，且與平面求此平面方程解：設平面,得故：6設直線試判斷它們的位置關系，若相交，則求交點。解： 故得 ，故交點為7已知

7、平面，試求出直線解： 設則 因于是 得 故8設 及解：下面求設故下面求設將故所求直線為9求下列曲線形成的旋轉曲面方程(1). (2).(3).解： 10求球面三個坐標平面上的投影。解： ， ，第八章 多元函數(shù)微分法一、基本內容（一）元函數(shù)的基本概念1基本概念 （1）鄰域 （2）內點 （3）邊界點 （4）開集 （5）區(qū)域 2二元函數(shù)的極限與連續(xù)（二）偏導數(shù)和全微分1 偏導數(shù)2 全微分3 全微分在近似計算中的應用（三）復合函數(shù)的微分法1 復合函數(shù)求導法則2 一階微分形式不變性（四）隱函數(shù)的微分法 1 一個方程的情形 2，方程組情形（五）微分法在幾何上的應用 1空間曲線的切線與法平面 2曲面的切平面

8、與法線 3微分的幾何意義（六）方向導數(shù)和梯度 1方向導數(shù) 2梯度（七）多元函數(shù)的極值1 多元函數(shù)的極值2 條件極值練習題8.1. 確定下列函數(shù)的定義域(1)(2)(3)(4)解答：(1)得（2），時有定義.即時時包含錐面在內的圓錐（3）得，即上半平面（4）得旋轉拋物面的內部（不含表面）o8.2.設函數(shù),求 解答：8.3.設 求，解答：8.4.設,求解答：8.5.設試討論在點的連續(xù)性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在綜上（1），（2）在點連續(xù)，但不可微8.6.求下列二重極限(1) (2)(3) (4)解答：（1）（2）（3）此極限隨K改變而改變，因此極限不存在。（4）8.7求下列函數(shù)的一階偏

9、導數(shù)和全微分（1），解答：（2），解答：, 8.8求下列方程所確定函數(shù)的全微分（1）（2）解答：(1)令則 ， ， (2) 令則8.9函數(shù)由方程所確定，求。解答：方程兩端同時對求偏導，得則8.10設, 求。解答：由確定了兩個函數(shù)方程組*對求導得解得 8.11設函數(shù)由方程確定。證明。證明：方程兩側分別同時對求偏導得 故得證8.12設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求。解答：8.13 設 求。解答：確定二個函數(shù)上二等式兩端同時對求導由法則8.14 方程組 確定了隱函數(shù)，當，時，求解答：方程組對x求導得將代入上式得又8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：設滿足條件所求切平面與曲面的切點為則又則由解得故所

10、求切平面方程為：或化簡8.16證明曲面和在點處相切。（即有公共切面）。解答：在點的切平面的法向量8.17設具有連續(xù)的偏導數(shù)，且對任意實數(shù)有 (是自然數(shù))，試證：曲面上任意一點的切平面相交于一定點。（設在任意點處）。證明：由令兩邊同時對求導令為曲面上任一點，則且=曲面在點的切平面為整理得即此平面必過原點（0，0，0），故得證。8.18求空間曲線，在點處的切線和法平面方程。解答：設 ，于是，它們在點的值為由 得曲線在（1，1，1）的切線方程。 即 曲線在（1，1，1）的法平面方程為 即 8.19求函數(shù)在點沿方向的方向導數(shù)。解答：8.20求函數(shù)在點沿此點向徑方向的方向導數(shù)。解答：=8.21求函數(shù)在處

11、與軸的正向成135°角的方向的方向導數(shù)。解答：在M(1,2)處的值8.22求函數(shù)的極值。解答：求得穩(wěn)定點在點(1,2)處不是極值點在點(2,1)處極小值在點(-1,-2) 處不是極值點在點(-2,-1) 處是極大值點z極小(2,1)=-28, z極大(-2,-1)=288.23求函數(shù)在的條件下的極值。解答：令則得因為所以極值8.24求函數(shù)在條件下的極值。解答：設則解得且等號只在時才成立,故是極大值.測驗題(八1)一、求下列函數(shù)的定義域（1）u=arcsin (2)z=解：(2)，二、求下列二重極限(1) (2)解：(1) (2)三、證明不存在證明： 此極限值隨的改變而不同，故得證.四

12、、求下列函數(shù)的指定的偏導數(shù)或全微分1、 設u=，其中具有=階偏導數(shù)，g為可導函數(shù)。求和解：2、 設方程確定了隱函數(shù) 求解：等式兩端同時對x求偏導則3、 設而 由方程組 確定求解：方程組確定了一組函數(shù)方程組對x求導則4、 設，（），求解：五、求函數(shù)在點是否可微？為什么？解：六、求在點沿曲線在該點法線（指向原點）方向的方向導數(shù)。解：,曲線在點切線斜率為法線斜率為由法線指向原點方向得 ，故 七、證明錐面的所有切平面都通過錐面的頂點 解：設錐面在點的切平面為又因為滿足此平面恒過點八、求在閉域上的最大值與最小值。解：首先考慮函數(shù)在區(qū)域上的穩(wěn)定點求得唯一穩(wěn)定點（1，2），且再考慮函數(shù)在邊界上的情況在邊界上，此時，又,在邊界上，此時又在邊界上，此時經比較,測驗題（八2）一、確定的定義域，并證明此函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。解： = =當故此函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.二、1.設其中可微，有偏導數(shù)，求2.設其中可微，此方程確定一函數(shù),求。解：等式分別對x,y求導得 ,3設有連續(xù)二階偏導，二階可導求三、設確定了隱函數(shù)當時，求解：方程組對x求導解得則當時，有四、在曲線上求一點 ，使曲線在此點處的切線平行于平面解：設曲線上任一點對應的切向量為平面的法向量為 由曲線平行于平面得 故從而故即為所求點。五、在曲面上求一點，使這點的法線垂直于平面,并求此法線方程.解：設曲面上任一點對應的法向