第2章課后習(xí)題參考答案

1、第二章 一元線性回歸分析思考與練習(xí)參考答案 2.1 一元線性回歸有哪些基本假定?答： 假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機變量； 假設(shè)2、隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=s2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設(shè)3、隨機誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 iN(0, s2 ) i=1,2, ,n2.2 考慮過原點的線性回歸模型 Yi=1Xi+i i=1,2, ,n誤差i（i=1,2, ,n）仍滿

2、足基本假定。求1的最小二乘估計解：得：2.3 證明（2.27式），Sei =0 ，SeiXi=0 。證明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=02.4回歸方程E（Y）=0+1X的參數(shù)0，1的最小二乘估計與最大似然估計在什么條件下等價?給出證明。答：由于iN(0, s2 ) i=1,2, ,n所以Yi=0 + 1Xi + iN（0+1Xi , s2 )最大似然函數(shù)：使得Ln（L）最大的，就是0，1的最大似然估計值。同時發(fā)現(xiàn)使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計的目標函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計是在iN(0, s2 )的假設(shè)下求得，最小二乘估計則不要求分布假設(shè)。

3、所以在iN(0, s2 ) 的條件下， 參數(shù)0，1的最小二乘估計與最大似然估計等價。2.5 證明是0的無偏估計。證明：2.6 證明證明：2.7 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明：2.8 驗證三種檢驗的關(guān)系，即驗證：（1）（2）證明：（1）（2）2.9 驗證（2.63）式：證明：其中：2.10 用第9題證明是s2的無偏估計量證明：2.11 驗證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明：2.14 為了調(diào)查某廣告對銷售收入的影響，某商店記錄了5個月的銷售收入y（萬元）和廣告費用x（萬元），數(shù)據(jù)見表2.6，要求用手工計算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1） 畫散點圖（略

4、）（2） X與Y是否大致呈線性關(guān)系？答：從散點圖看，X與Y大致呈線性關(guān)系。（3） 用最小二乘法估計求出回歸方程。計算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回歸方程為：（4） 求回歸標準誤差先求SSR（Qe）見計算表。所以（5） 給出 的置信度為95%的區(qū)間估計；由于(1-a)的置信度下， 的置信區(qū)間是 查表可得所以 的95%的區(qū)間估計為：（73.182*1.9

5、15，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。所以 的95%的區(qū)間估計為：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），即（-21.211, 19.211）。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（6） 計算x和y的決定系數(shù) 說明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（7） 對回歸方程作方差分析方差分析表方差來源平方和自由度均方F值SSR490149013.364SSE110336.667SST6004F值=13.364>F0.05(1,3)=10.13(當n=1,n=8時，=0.05查表得對應(yīng)的值為10.13),所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。（8） 做回歸系數(shù)1的顯

6、著性檢驗H0: 1=0t值=3.656>t0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說明x對Y有顯著的影響。（9） 做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗R值=0.904>R0.05(3)=0.878,所以接受原假設(shè)，說明x和Y有顯著的線性關(guān)系。（10） 對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略) .從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個固定的帶子里隨機波動，基本滿足模型的假設(shè)eiN(0, s2 ), 但由于樣本量太少, 所以誤差較大.（11） 求廣告費用為4.2萬元時,銷售收入將達到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解: 當X0=4.2時, 所以廣告費用為4.2萬元時, 銷售收入將

7、達到28.4萬元.由于置信度為1-時，Y0估計值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為: 6.05932 ,50.74068預(yù)測誤差較大.2.15 一家保險公司十分關(guān)心其總公司營業(yè)部加班的制度，決定認真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過十周時間，收集了每周加班工作時間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時間（小時）。見表2.7。表2.7周序號12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫散點圖2、由散點圖可以看出， x與y之間大致呈線性關(guān)系。3、用最小二乘法求

8、出回歸系數(shù)由表可知： 回歸方程為： 4、求回歸標準誤差由方差分析表可以得到:SSE=1.843 故回歸標準誤差，=0.48。5、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計由回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以看出，當置信度為95%時：的預(yù)測區(qū)間為-0.701,0.937, 的預(yù)測區(qū)間為0.003,0.005.的置信區(qū)間包含0，表示不拒絕為零的假設(shè)。6、決定系數(shù) 由模型概要表得到?jīng)Q定系數(shù)為0.9接近于1，說明模型的擬合優(yōu)度高。 7. 對回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.396>5.32(當n=1,n=8時，查表得對應(yīng)的值為5.32)P值0，所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。8、對的顯著性檢驗

9、從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以得到的t統(tǒng)計量為t=8.509，所對應(yīng)的p值近似為0，通過t檢驗。說明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對每周加班工作時間y有顯著的影響。9.做相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)達到0.949，說明x與y顯著線性相關(guān)。10、對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0隨即波動，滿足模型的基本假設(shè)。11、該公司預(yù)計下一周簽發(fā)新保單X0=1000張,需要的加班時間是多少?當x=1000張時，小時12、給出Y0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間 通過SPSS運算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為：（2.5195，4.8870）。13 給出E（Y0）的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)

10、間通過SPSS運算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為：（3.284，4.123）。2.16 表是1985年美國50個州和哥倫比亞特區(qū)公立學(xué)校中教師的人均年工資y(美元)和學(xué)生的人均經(jīng)費投入x(美元).序號yx序號yx序號yx119583334618208163059351953826422202633114191809529673620460312432032535542020939328537214192752426800454221226443914382516034295294704669222462445173922482394762661048882327186434940209

11、692509730678571024339905020412722454408271705536252338235944225892404292585341682620627282143226443402102450035472722795336644246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608

12、162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）繪制y對x的散點圖，可以用直線回歸描述兩者之間的關(guān)系嗎？由上圖可以看出y與x的散點分布大致呈直線趨勢。（2）建立y對x的線性回歸。利用SPSS進行y和x的線性回歸，輸出結(jié)果如下：表1 模型概要RR2調(diào)整后的R2隨機誤差項的標準差估計值0.8350.6970.6912323.25589表2 方差分析表模型平方和自由度和平均F值P值1回歸平方和6.089E816.089E8112.811.000a殘差平方和2.645E8495397517.938總平方和8.734E850表3 系數(shù)表模型非標準化系數(shù)標準化系數(shù)t值P值B標準差回歸系數(shù)1常數(shù)12112.6291197.76810.113.000對學(xué)生的人均經(jīng)費投入3.314.312.83510.621.0001) 由表1可知，x與y決定系數(shù)為，說明模型的擬合效果一般。x與y線性相關(guān)系數(shù)R=0.835，說明x與y有較顯著的線性關(guān)系。2) 由表2（方差分析表中）看到，F(xiàn)=112.811，顯著性Sig.p,說明回歸方程顯著。3) 由表3 可見對的顯著性t檢驗P值近似為零，故顯著不為0，說明x對y有顯