第二節(jié)二重積分(極坐標(biāo)部分的計算0948

1、第二節(jié) 二重積分的計算（續(xù)：極坐標(biāo)部分）(2)（09，3，10）計算二重積分 ,其中分析:三、利用極坐標(biāo)系計算二重積分1極坐標(biāo)的相關(guān)知識（1）極點、極軸、極徑、極角（2）當(dāng)極點與原點重合，極軸與x軸重合時有直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式或（3）常見曲線的極坐標(biāo)方程（從極點出發(fā)的射線）；（直線）；（圓）；（圓）；（圓）.2極坐標(biāo)系中的面積元素. 見圖知:.上式取，推出 .3用極坐標(biāo)系計算二重積分.其中: .證明：.4用二次累次積分公式計算二重積分(1)若(極點在外的極扇環(huán)),則. (2) 若(極點在邊界上的極扇形),則.補圖(3) 若(極點在內(nèi)部的極扇形),則.例18計算，其中是由中心在原點，半徑為

2、的圓周所圍成的閉區(qū)域.（此積分無法用實積分計算）.解: 令, 于是, 則.例19 計算積分 .()（與下題圖形類似上半部）例20(1)(96.3) 累次積分可以寫成(A)(B)(C)(D)答(D).因為積分區(qū)域的邊界可以表示成且于是 故累次積分可寫成或.(2),是圓域解區(qū)域可表示為,例21 化下列二重積分為極坐標(biāo)形式（1）.（2）.（3）.（4）.5.重要結(jié)論：下列兩種情況用極坐標(biāo)計算簡便.（1）當(dāng)積分區(qū)域為圓域或圓域的一部分，或積分區(qū)域的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡單；（2）當(dāng)被積函數(shù)可以表示為時.6. 極坐標(biāo)系下積分區(qū)域的面積為 .例22（1）(98.5)設(shè),求.解令,則.（2）(00.6)計算

3、二重積分,其中是由曲線和圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為 ,于是,令，得 .（3）(03.8)計算二重積分,其中積分區(qū)域 .解作極坐標(biāo)變換令,則.令,則.記,由于,故解得.從而.（4）(04.8)求,其中是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).解將積分區(qū)域分為大圓 , 與小圓之差.由對稱性知.,（）所以 .（5）(05.9) 計算二重積分,其中.解將分成與兩部分,其中,則 ，其中 ,故 .例（6）計算積分 ，為圓環(huán)與直線所圍城的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解 ， .（7）(99.7)計算二重積分,其中是由,以及曲線 所圍成的平面區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為,于是 .令,則,.另解：設(shè)為矩形區(qū)域，為半圓形區(qū)域；則；，

4、.三、廣義二重積分以下舉例說明常見的廣義二重積分例23求,是整個平面.解：令,由于，當(dāng)時,原積分收斂,且;而當(dāng)時,原積分發(fā)散.例24證明，.（泊松積分），證明:因為.所以 .另證：設(shè)，且一方面 ；另一方面 由.證法三：設(shè)，.則由得，將上式取求極限得，即.例25(90.5) 計算二重積分,其中是由曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為，.例26 設(shè) ，其中，求.解 ；.注意，在 上討論：(1)當(dāng)即時， ，所以 .(2)當(dāng)即時，. 補圖(3)當(dāng)即時，.(4)當(dāng)即時， ，所以 .綜上所述 例27 (97.6)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且滿足方程求.解由于 ,所以.令,有 ,于是,滿足積分關(guān)系式 ,易

5、知,將上式兩端求導(dǎo) ,這是一階線性方程,由通解公式得,其中為任意常數(shù),由,知,所以 .練習(xí)1.( ).(a)(b)(c)(d)答(d).因為積分區(qū)域為 ,積分區(qū)域還可以表示為 ,所以選(d).小結(jié)：1.結(jié)合圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序計算累次積分，以簡化二重積分的運算;學(xué)會畫圖與看圖,注意積分限的正確表示. 學(xué)會靈活運用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)二重積分的互化.2.運用極坐標(biāo)積分時注意用互化公式變形,同時注意面積元素的正確表示以及不同類型積分公式的正確使用.3.1)若，則2)若且，則4.極坐標(biāo)形式計算二重積分的公式5.下列兩種情況用極坐標(biāo)計算簡便.（1） 當(dāng)積分區(qū)域為圓域或圓域的一部分，或積分區(qū)域的邊（2） 界用極坐標(biāo)表示較為簡單；（2）當(dāng)被積函數(shù)可以表示為時