矩陣分析習題答案

1、第三章1、 已知是n階正定Hermite矩陣，在n維線性空間中向量定義內(nèi)積為（1） 證明在上述定義下，是酉空間；（2） 寫出中的Canchy-Schwarz不等式。2、 已知，求的標準正交基。提示：即求方程的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。3、 已知試求酉矩陣，使得是上三角矩陣。提示：參見教材上的例子4、 試證：在上的任何一個正交投影矩陣是半正定的Hermite矩陣。5、 驗證下列矩陣是正規(guī)矩陣，并求酉矩陣，使為對角矩陣，已知，6、 試求正交矩陣，使為對角矩陣，已知，7、 試求矩陣，使（或），已知，8、 設(shè)n階酉矩陣的特征根不等于，試證：矩陣滿秩，且是Hermite矩陣。反之，若是Hermite矩陣，

2、則滿秩，且是酉矩陣。 證明：若，觀察知為的特征值，矛盾，所以矩陣滿秩。，要，只要故由知為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實數(shù)特征值可得，即滿秩。9、 若分別是實對稱和實反對稱矩陣，且，試證：是酉矩陣。證明：10、 設(shè)均是實對稱矩陣，試證：與正交相似的充要條件是與的特征值相同。證明：相似矩陣有相同的特征值。與正交相似與的特征值相同。若與的特征值相同，又均是實對稱矩陣。所以存在正交陣Q，P使其中為正交陣。11、 設(shè)均是Hermite矩陣，試證：與酉相似的充要條件是與的特征值相同。證明：同上一題。12、 設(shè)均是正規(guī)矩陣，試證：與酉相似的充要條件是與的特征值相同。同上13、 設(shè)A是Hermite

3、矩陣，且，則存在酉矩陣，使得14、 設(shè)A是Hermite矩陣，且，則存在酉矩陣，使得。15、 設(shè)A為正定Hermite矩陣，B為反Hermite矩陣，試證：與的特征值實部為0。證：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。，是反Hermite矩陣，反Hermite矩陣的特征值實部為0,所以的特征值實部為0。16、 設(shè)均是Hermite矩陣，且A正定，試證：與的特征值都是實數(shù)。證明：同上題。，是Hermite矩陣，Hermite矩陣的特征值為實數(shù),所以的特征值是實數(shù)。17、 設(shè)A為半正定Hermite矩陣，且，試證：。證明：A的特征值為，矩陣的行列式等于特征值之積。特征值為，18、 設(shè)A為半正定He

4、rmite矩陣，B是正定Hermite矩陣，試證：。證明：，為滿秩的。為半正定Hermite矩陣，由上題，19、 設(shè)A為正定Hermite矩陣，且，則。證明：存在，。又，20、 試證：（1）兩個半正定Hermite矩陣之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。提示：考查21、 設(shè)A是正定Hermite矩陣，B是反Hermite矩陣，試證：AB是可逆矩陣。提示：A為正定Hermite矩陣，為滿秩的。是反Hermite矩陣，特征值實部為0,，所以22、 設(shè)A，B是n階正規(guī)矩陣，試證：A與B相似的充要條件是A與B酉相似。證明：充分性，酉相似相似。 必要性，A

5、，B是n階正規(guī)矩陣，又A與B相似, 與的特征值相同,可設(shè)，23、 設(shè)，試證：總存在，使得是正定Hermite矩陣，是負定Hermite矩陣。提示：A的特征值為，則的特征值為24、 設(shè)A是正定Hermite矩陣，且A還是酉矩陣，則。提示：25、 設(shè)A、B均為正規(guī)矩陣。且，則與均為正規(guī)矩陣。提示：用定理，可以同時酉對角化。 26、 設(shè)，試證：是酉矩陣。提示：27、 設(shè)A為n階正規(guī)矩陣，為A的特征值，試證：的特征值為。提示：，所以的特征值為28、 設(shè)，試證：（1）和都是半正定的Hermite矩陣；（2）和的非零特征值相同。提示：（1） （2），特征值的重數(shù)也相同，參見P19129、 設(shè)A是正規(guī)矩陣，試證：（1）若（為自然數(shù)），則；（2）若，則；（3）若，則。30、 設(shè)，求證以下三條件等價：（1）為正規(guī)矩陣（2）（3）解：（1）（2）由。（2）（3）,由（2）（1）,由31、設(shè)，則A