【高考精品】導數的綜合應用——導數與方程

1、1.函數 y= 3X3+ x1 2+ x+ 1 的零點個數為(B)A. 0 B. 1C. 2 D. 333 因為 f (x) = x2+ 2x+ 1 = (x+ 1)20, 所以 f(x)在 R 上單調遞增，因為 f(0) = 10, f( 3) = -20 ,所以 f(x)在 R 上有且只有一個零點.2.已知函數 y = x3 3x + c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點，則c= (A)A . 2 或 2 B . 9 或 3C. 1 或 1D . 3 或 139 由三次函數的圖象與 x 軸恰有兩個公共點，結合函數的圖象，極大值或極小值為 零即可滿足要求.2而 f (x) = 3x 3= 3(

2、x 1)(x+ 1),當 x =時，取得極值，由 f(1) = 0 或 f( 1) = 0,可得 c 2 = 0 或 c+ 2= 0,所以 c= 2.3.若曲線 f(x) = ax2+ In x 存在垂直于 y 軸的切線，則實數 a 的取值范圍是(A)A.(汽 0) B. (a,0C. 0 ,+ ) D . (0 ,+ )1該函數的定義域為(0, +m). f (x)= 2ax+ -.x因為曲線 f(x)= ax2+ ln x 存在垂直于 y 軸的切線,1問題轉化為方程 2ax +-=0 在(0,+a)內有解，x1324.(2017 湖南湘中名校高三聯(lián)考)已知函數 f(x) = x3+ ax2

3、+ bx+ c 有兩個極值點X2,若 x1f(x1)x2，則關于 x 的方程f(x)2 2af(x) b= 0 的實根的個數不可能為(D)A . 2 B . 3第 19 講導數的綜合應用導數與方程1于是可得 a =衣勺,0).因為 X1, X2是函數 f(x)的兩個極值點，所以 X1, X2是方程x2+ 2ax + b= 0 的兩個實數根，2所以由f(x) 2af(x) b= 0,可得 f(x)= X1,或 f(x) = X2,X1,C. 4 D. 5薛 3 由題意得,2f (x) = x + 2ax+ b,由題意知，f(x)在(一a,X1), (X2,+a)上單調遞減，在(X1, X2)上單

4、調遞增, 又X1f(X1)2,因為 X12x2，所以aa2，22(方法二)由 f (x)= 3x 4ax+ a = 0,且 *2血，所以 f (2)0,解得 2a2: a = 0, b= 2; a = 1, b =2.32令 f(x)= x + ax + b,貝 U f (x) = 3x + a.當 a0 時，f (x) 0, f(x)單調遞增，正確;當 av0 時，若 a = 3,2則 f (x) = 3x 3= 3(x+ 1)(x 1),所以 f(x)極大=f( 1) = 1 + 3 + b= b+ 2,f(x)極小=f(1) = 1 3 + b= b 2,要使 f(x) = 0 僅有一個

5、實根，需 f(x)極大v0 或 f(x)極小0,所以 bv 2 或 b 2,正確，不正確.故填327. (2016 北京卷)設函數 f(x)= x + ax + bx+ c.(1) 求曲線 y= f(x)在點(0, f(0)處的切線方程；設 a = b = 4,若函數 f(x)有三個不同零點，求c 的取值范圍；(3)求證：a2 3b 0 是 f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.3 (1)由 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c,得 f (x) = 3x2+ 2ax+ b.因為 f(0) =c,f (0) = b,所以曲線 y = f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為 y=bx+

6、 c.32(2) 當 a = b = 4 時，f(x) = x + 4x + 4x+ c,所以 f (x)= 3x2+ 8x + 4.令 f (x) = 0,得 3x2+ 8x + 4= 0,2解得 x= 2 或 x= 3.當 x 變化時，f(x)與 f(x)在區(qū)間(s,+s)上的變化情況如下：x(m, 2)22( (-2, ,-寸寸2一 32(3, +m)f (x)+0一0+5.設 X1, X2是函數 圍是(2,6).C33 (方法一)由 F得 xi= a, X2= a.f(x)= x3 2ax2+ a2x 的兩個極值點，且 X12X2,則實數 a 的取值范2 2(x) = 3x 4ax+

7、a = 0,所以 2a 0 且 c 27 0 時，存在 Xi( 4, 2), X2 一 2, 3), X3 一 3, 0),使得 f(Xl) = f(X2)= f(X3)= 0.由 f(X)的單調性知，當且僅當 cqo, 2!)時，函數 f(x) = X3+ 4X3+ 4x+ c 有三個不同零點.(3)證明：當 =4a2 12b 0, xq ,+),此時函數 f(x)在區(qū)間(一s,+g)上單調遞增，所以 f(x)不可能有三個不同零點.當= 4a2 12b= 0 時，f (x)= 3x2+ 2ax+ b 只有一個零點，記作 x.當 Xqg, X0)時，f (X) 0 , f(x)在區(qū)間(g,X0

8、)上單調遞增；當 XqX0,+g)時，f (X) 0 , f(x)在區(qū)間(X0,+g)上單調遞增.所以 f(x)不可能有三個不同零點.綜上所述，若函數 f(x)有三個不同零點，則必有 = 4a2 12b 0.故 a2 3b 0 是 f(x)有三個不同零點的必要條件.當 a = b= 4, c= 0 時，a2 3b 0, f(x) = x3+ 4x2+ 4x = x(x+ 2)2只有兩個不同零點，所以 a2 3b 0 不是 f(x)有三個不同零點的充分條件.因此 a2 3b 0 是 f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.&(2017 廣東深圳一調)已知函數f(x)= In x ax2

9、+ x 有兩個不同的零點，則實數 a 的取值范圍是(A)A. (0,1)B.(g,1)1+e1 + eC.(g,)D.( (0,) )2令 g(x) = In x, h(x)= ax x.將問題轉化為兩個函數圖象交點的問題.當 a 0 時，由 In x ax + x= 0,得 a=2 ,x，x+ In x令 r(x) =x2,120 +1 )x(Inx + x)2x 1 x 2in x貝 H r (x)=4=3.XX當 0 x0 , r(x)是單調增函數，x+ In x當 x1 時，r (x)0,所以 0a1.X所以 a 的取值范圍為(0,1).3 x + x 2根據題意，f (x) = x+

10、 1 X =-19. f(x) = ?x2+ x 2In x+ a 在區(qū)間(0,2)上恰有一個零點，貝 U 實數 a 的取值范圍是a 2In32 4 或 a = 2.x+2x1=x ，當 xqo,1)時，f (x)0, f(x)為增函數，若函數 f(x)在區(qū)間(0,2)上恰有一個零點，則 f(1) = 0 或 f(2) 0,由 f(2) = 4 2ln 2 + a0 時，f(x) 2a + aln .a39 (1)f(x)的定義域為(0,+s),f (x) = 2e2x?(x0),當 aw0 時，f (x)0，所以 f (x)沒有零點；當 a0 時，因為 y= e2x單調遞增，y= 單調遞增，x所以 f (x)在(0 , +8)上單調遞增.因為 f (a)= 2e2a 10,a1假設存在 b 滿足 0b4 且 b4 時，f (b)0 時，f (x)存在唯一零點.(2)證明：由(1)可設 f (x)在(0, +)存在唯一