等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的運用完全解析

1、題目等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項公式，前n應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運算時達(dá)到運算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視高考中也一直重點考查這部分內(nèi)容重難點歸納1等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識去應(yīng)用2在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形3“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)

2、”解題相同的效果 典型題例示范講解例1已知函數(shù)f(x)=1x-42 (x<2) (1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1,1an+1 =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN*,有bn<m成立？若存在，求出m的25值；若不存在，說明理由 命題意圖 本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力 知識依托本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題 錯解分析 本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的

3、定義域是原函數(shù)的值域，這是一個易錯點，(2)問以數(shù)列1an2為橋梁求an,不易突破 技巧與方法(2)問由式子1an+1=1an2+4得1an+12-1an2=4,構(gòu)造等差數(shù)列1an2,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項的常用技巧；(3)問運用了函數(shù)的思想 解(1)設(shè)y=1x2-4,x<2,x=4+1, 2y即y=f-1(x)=4+1 (x>0) y2(2)1an+11=4+1an,21an+12-1an2=4， an2是公差為4的等差數(shù)列，選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫a1=1, 1an2=1a12+4(n1)=4n3,an>0,an1m

4、25,由bn<,得m>, 4n+1254n+12525設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)， 4n+14n+1(3)bn=Sn+1Sn=an+12=g(n)的最大值是g(1)=5, m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意nN*有bn<m成立 25例2設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項和最大？(lg2=0 3,lg3=04) 命題意圖本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)運算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運算、分析能力知識依托本題須利用等比數(shù)列通

5、項公式、前n項和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進而利用對數(shù)的運算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項的分布規(guī)律從而得解 錯解分析題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計算易出錯；而對數(shù)的運算性質(zhì)也是易混淆的地方技巧與方法突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項的對數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值解法一設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,mN*,依題意有 a1(q2m-1)a1q(q2m-1)=q-1 q2-1323(a1q)(a1q)=9(a1q+a1q)4

6、q1q+1=1q=化簡得 解得3aq2=9(1+q),a1=1081設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)11n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3 22lg37=()·n2+(2lg2+lg3)·n 2272lg2+lg3可見，當(dāng)n=時，Sn最大 lg3=nlga1+72lg2+lg340.3+70.4而=5,故lgan的前5項和最大 =lg320.4a1=1081n11解法二接前，,于是lga=lg108()=lg108+(n1)lg, n1q=333選校網(wǎng) 專

7、業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項，以lg1為公差的等差數(shù)列， 3令lgan0,得2lg2(n4)lg30,2lg2+4lg320.3+40.4=n=55 lg30.4由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項和最大例3 等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為 解法一 將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+n(n-1)d, 2m(m-1)ma+d=30 12 2m(2m-1)2ma+d=10012解得d= 4010203m(3m-1),a=+,S=3ma+d=210 13m122m2mm3m(3m-1)(3

8、m-1)dd=3ma1+知， 22(3m-1)d要求S3m只需求ma1+, 2m(3m-1)將得ma1+ d=70,S3m 2解法二由S3m=3ma1+解法三 由等差數(shù)列an的前n項和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)） 將Sm=30,S2m=100代入，得 20A=2Am+Bm=30m,S3m=A·(3m)2+B·3m=210 2B=10A(2m)+B2m=100m解法四S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d40由解法一

9、知d=2,代入得S3m=210 m解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列，從而有2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210 n(n-1)解法六Sn=na1+d, 2Sn(n-1)n=a1+d n2S(x-1)d點(n, n)是直線y=+a1上的一串點， 2nSSS由三點(m,m),(2m, 2m),(3m, 3m)共線，易得S3m=3(S2mSm)=210 m3m2m2選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3

10、=70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210 答案 210 學(xué)生鞏固練習(xí) 1等比數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,若S1031=，則limSn等于( ) S532nD2 22A. B.- 33 C22已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1,則m的取值范圍是_ 3等差數(shù)列an共有2n+1項，其中奇數(shù)項之和為319，偶數(shù)項之和為290，則其中間項為_ac4已知a、b、c成等比數(shù)列，如果a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，則+=_ xy5設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13(1)求公差d的取

11、值范圍；(2)指出S1、S2、S12中哪一個值最大，并說明理由6已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d0,由an中的部分項組成的數(shù)列 ab1,ab2,abn,為等比數(shù)列，其中b1=1,b2=5,b3=17(1)求數(shù)列bn的通項公式；n7設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出an及bn的前n項和S10及T10 8 an為等差數(shù)列，公差d0,an0,(nN*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(kN*)(1)當(dāng)k取不同自然數(shù)時，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次為x1,x2,xn, 23n(2)記Tn=C1nb1+Cnb2+Cn

12、b3+Cnbn,求求證 數(shù)列111, ,為等差數(shù)列 x1+1x2+1xn+1參考答案: 1 解析依題意，S1031=，而a1=1,故q1, S532S10-S531-321=-, S53232根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知S5，S10S5，S15S10,也成等比數(shù)列，且它的公比為q5,q5=limSn=n1,即q= 32a12=-. 1-q3答案B 2 解析解出a、b,解對數(shù)不等式即可選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫答案(,8) 3解析利用S奇/S偶=n+1 n答案 第11項a11=29 4賦值法 解法二b=aq,c=aq2,x=1111(a+b)=a(1+q),y=(b+c

13、)=aq(1+q), 2222121aq(1+q)+a2q2(1+q)ay+cxac=+ =2 12xyxyaq(1+q2)4答案 2 a3=a1+2d=12,12115 (1)S12=12a1+d>0 21312S=13a+d<01312解之得公差d的取值范圍為24d3 7(2)解法一由d0可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此，在S1，S2，S12中Skak0且ak+10,即a3+(k-3)d0 a+(k-2)d<03kd3d-121212a3=12,，d0,2k3 kd<2d-12dd72412d3,4,得5 5k 27d因為k

14、是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6解法二 由d0得a1>a2>>a12>a13，若在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，S12中的最大值由等差數(shù)列性質(zhì)得，當(dāng)m、n、p、qN*,且m+n=p+q時，am+an=ap+aq 所以有2a7=a1+a13=2S130, 13a70,a7+a6=a1+a12=1S12>0,a6a7>0, 6故在S1，S2，S12中S6最大 nd(n-1)d=n(12-2d)+(n2-n) 22d124d24124=n-(5-)2-(5-)2, d<0,n-(5-)2最小時，Sn最

15、大； 22d8d2d12424d3,6(5)6 5 27d1242從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時，n (5)最小，所以S6最大 2d解法三依題意得Sn=na1+選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫點評 該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易第(2)問難度較高，為求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10，思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，它考查了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”

16、，從而得解 6(1)由題意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,數(shù)列abn的公比q=abn=a1·3n1 a5a1+4d=3, a1a1 bn+1 a1 2b+1由得a1·3n1=n·a1a1=2d0,bn=2·3n11 2又abn=a1+(bn1)d=2n(2)Tn=C1nb1+Cnb2+Cnbn01n12n=C11) n (2·31)+Cn·(2·31)+Cn(2·3212nn12n(Cn+C2n·3+Cn·3)(Cn+C

17、n+Cn) 3221=(1+3)n1(2n1)= ·4n2n+, 333=2n121n11n4-2n+-()+()Tn2limn=limn=. limn-1n4+bnn4+23-1n1+1(3)n-1-(1)n32447an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2+a4=2a3,b2·b4=b32,已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,b3=2a3,a3=b32,1,a3 213由a1=1,a3=，知an的公差d=, 48109S10=10a1+d= 2221由b1=1,b3=,知bn的公比q=或q=, 222得b3=2b32,b30,b3=b1(1-q10)312當(dāng)q=時,T10=(2+2);21-q32當(dāng)q=-b(1-q)312時,T10=1=(2-).21-q3210 8證明(1）an是等差數(shù)列，2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可變?yōu)?akx