數(shù)值分析6.1數(shù)值微積分引言

1、第第6章章 數(shù)值微積分?jǐn)?shù)值微積分 6.1 引言引言 6.2 牛頓牛頓柯特斯公式柯特斯公式 6.3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 6.4 龍貝格求積公式龍貝格求積公式 6.5 高斯求積公式高斯求積公式 6.6 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇進(jìn)行計(jì)算，但在工程計(jì)算和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇到被積函數(shù)到被積函數(shù) f(x)的下列一些情況：的下列一些情況：的原函數(shù)的原函數(shù))()(d)(aFbFxxfIba 對(duì)定積分對(duì)定積分 baxxfId)(的被積函數(shù)的被積函數(shù))(xf已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓已知，在高等數(shù)學(xué)中可用牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式)(xF6.1 引引 言言 實(shí)際問題當(dāng)

2、中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，實(shí)際問題當(dāng)中常常要計(jì)算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系聯(lián)系.（4） f(x)本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測(cè)量數(shù)據(jù)或圖形給出，列如為實(shí)驗(yàn)或測(cè)量數(shù)據(jù).xxxexxfxsinsinln1)(22 , , , （2） f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如411)(xxf （3） f(x)的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但的原函數(shù)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜

3、，例如其原函數(shù)表示形式相當(dāng)復(fù)雜，例如cbxaxxf 2)(（1） f(x)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如復(fù)雜，求原函數(shù)困難，列如 以上的以上的 4種情況都不能用牛頓種情況都不能用牛頓萊布尼茲公萊布尼茲公式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需式方便地計(jì)算該函數(shù)的定積分，滿足不了實(shí)際需要，因此，有必要研究定積分的要，因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算問題；問題；另外，對(duì)一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其求導(dǎo)、微分也另外，對(duì)一些函數(shù)的求導(dǎo)問題，其求導(dǎo)、微分也相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，也有必要研究求導(dǎo)、微分的數(shù)值計(jì)算問題。本章主要介紹問題。本章主要介紹數(shù)值求積分和數(shù)值求微分?jǐn)?shù)值求積分

4、和數(shù)值求微分的的方法。方法。 由積分中值定理由積分中值定理, 對(duì)連續(xù)函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù) f(x), 在區(qū)間在區(qū)間a, b內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使，使 bafabxxfI)()(d)( 只要對(duì)平均高度只要對(duì)平均高度 f( ) 提供一種提供一種近似算法近似算法, 便可相應(yīng)便可相應(yīng)地獲得一種地獲得一種數(shù)值求積方法數(shù)值求積方法. 即即矩形公式矩形公式.6.1.1 數(shù)值求積的基本思想數(shù)值求積的基本思想 例如例如, 用區(qū)間用區(qū)間a, b兩端點(diǎn)的函數(shù)值兩端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)與與f(b)的的算術(shù)平均值作為算術(shù)平均值作為f( ) 的近似值的近似值, 可導(dǎo)出可導(dǎo)出求積公式求積公式)()(2d)(bfafa

5、bxxfIba 這便是人們所熟知的這便是人們所熟知的梯形公式梯形公式. 如果改用區(qū)間如果改用區(qū)間a, b的中點(diǎn)的中點(diǎn) c=(a b)/2 處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(c)近似代替近似代替f( ), 則又可導(dǎo)出則又可導(dǎo)出(中中)矩形公式矩形公式 babafabxxfI)2()(d)( 一般地一般地, 在區(qū)間在區(qū)間a, b上適當(dāng)選取點(diǎn)上適當(dāng)選取點(diǎn)xk (k=0,1,n), 然后用然后用 f(xk) 的的加權(quán)平均值加權(quán)平均值作為作為f( ) 的近似值的近似值, 可得到可得到更為更為一般的求積公式一般的求積公式 其中：點(diǎn)其中：點(diǎn)xk叫叫求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn), 系數(shù)系數(shù)Ak叫叫求積系數(shù)求積系數(shù). Ak僅與節(jié)僅與

6、節(jié)點(diǎn)點(diǎn) xk 的選取有關(guān)的選取有關(guān), 而與被積函數(shù)而與被積函數(shù) f(x) 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).求積公式的求積公式的截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差為為)(d)()(0kbankknxfAxxfIIfR R(f) 又稱為又稱為求積余項(xiàng)求積余項(xiàng).nkbankkIxfAxxfI )(d)(0注：注：這類數(shù)值積分方法通常稱為這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積機(jī)械求積，其特點(diǎn)，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值函數(shù)值的計(jì)算，這就避開的計(jì)算，這就避開了牛頓了牛頓萊布尼茲公式尋求原函數(shù)的困難萊布尼茲公式尋求原函數(shù)的困難.6.1.2 代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念 定義定義1 如果求積公式如果求積公式 bankkkx

7、fAxxfI0)(d)(1) 對(duì)所有次數(shù)不超過對(duì)所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式都精確成立；的多項(xiàng)式都精確成立；(2) 至少對(duì)一個(gè)至少對(duì)一個(gè)m+1次多項(xiàng)式不精確成立，次多項(xiàng)式不精確成立，則稱則稱該公式具有該公式具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我數(shù)值求積方法的近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)們自然希望求積公式能對(duì)“盡可能多盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念. 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。 定理定理1 一個(gè)求積公式具有一個(gè)求積公式具有m次代

8、數(shù)精度的次代數(shù)精度的充要充要條件條件是該求積公式是該求積公式: (1) 對(duì)對(duì)xk(k=0,1,m)精確成立；精確成立； (2) 對(duì)對(duì)xm+1不精確成立不精確成立. 故一般地，要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有故一般地，要驗(yàn)證一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)次代數(shù)精度，只要令對(duì)于精度，只要令對(duì)于 f(x)=1, x, , xm求積公式精確成求積公式精確成立等式就行立等式就行. 解解 當(dāng)當(dāng) f (x)=1時(shí)時(shí), 1d,baxb a 左左1 1,2baba 右右此時(shí)公式精確成立。此時(shí)公式精確成立。例例1 驗(yàn)證梯形公式驗(yàn)證梯形公式)()(2d)(bfafabxxfIba 具有一次代數(shù)精度。具有一次代數(shù)精度。當(dāng)當(dāng) f(x)

9、=x時(shí)，時(shí)， 221d2bax xba 左左2222babaab 右右公式也精確成立。公式也精確成立。當(dāng)當(dāng) f(x)= x2 時(shí)，時(shí)， 2331d3baxxba 左左22,2baab 右右公式對(duì)公式對(duì)x2不精確成立不精確成立.故由定理故由定理1知知, 梯形公式的代數(shù)精度為梯形公式的代數(shù)精度為1次次. 對(duì)于求積公式對(duì)于求積公式 給定給定n+1個(gè)互異的求積節(jié)點(diǎn)個(gè)互異的求積節(jié)點(diǎn) x0 , x1, xn-1, xn ,令求積公式對(duì)令求積公式對(duì) f(x)=1, x, , xn 精確成立精確成立,即得即得 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn求解

10、該方程組即可確定求積系數(shù)求解該方程組即可確定求積系數(shù)Ak, 所得到的求積公所得到的求積公式式至少具有至少具有n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度.nkbankkIxfAxxfI )(d)(0 例例2 確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度.)()()(d)(hfAfAhfAxxfIhh102210 解解 令令 f (x)=1, x, x2 代入公式兩端并令其相等，得代入公式兩端并令其相等，得 hAAhhAhAAAhAhAhAAA31623200411321211111101)()()( 解得解

11、得hAhAA3438011,得得求積公式求積公式為為令令 f (x)=x3，得，得)()()(d)(hhfhfhhfxxfIhh380343822038033223)(dhhhxxhh令令 f (x)=x4，得，得544224531638564hhhhxxhhh)(d故故求積公式求積公式具有具有3 3次次代數(shù)精度代數(shù)精度.注：注：構(gòu)造上面的求積公式，本質(zhì)上是一個(gè)確定參數(shù)構(gòu)造上面的求積公式，本質(zhì)上是一個(gè)確定參數(shù)xk和和Ak的代數(shù)問題的代數(shù)問題.6.1.3 插值型求積公式插值型求積公式設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)bxxxxann 110且已知且已知 f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值

12、 f(xk), 則可求得則可求得 f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的拉格朗日插值多項(xiàng)式(因?yàn)橐驗(yàn)?Ln(x)的原函數(shù)易求的原函數(shù)易求) nkkknxlxfxL0)()()(其中其中l(wèi)k(x)為插值基函數(shù)為插值基函數(shù), 取取), 1 , 0d)()(d)(0nkxxlAIxfAxxfIbakknknkkba 由上式確定系數(shù)的公式稱為由上式確定系數(shù)的公式稱為插值型求積公式插值型求積公式。xxLxxfbanbad)(d)( 即即則則 f (x) Ln(x)由插值余項(xiàng)定理由插值余項(xiàng)定理, 其求積余項(xiàng)為其求積余項(xiàng)為()( )( )dbnnaR fIIf xLxx (1)0( )()d(1)!nnbkakfx

13、xxn 其中其中 = (x) 如果求積公式是插值型的，按照插值余項(xiàng)表達(dá)如果求積公式是插值型的，按照插值余項(xiàng)表達(dá)式，對(duì)于式，對(duì)于次數(shù)不超過次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 f(x)，其余項(xiàng)，其余項(xiàng) R(f )等于零，因而等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 反之，如果求積公式至少具有反之，如果求積公式至少具有n次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，則它必定是插值型的則它必定是插值型的. 事實(shí)上，這時(shí)求積公式對(duì)事實(shí)上，這時(shí)求積公式對(duì)于插值基函數(shù)于插值基函數(shù) lk(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有0( )()nbkj kjajlx dxA lx注意到注意到lk(xj)=kj

14、，上式右端實(shí)際上即等于，上式右端實(shí)際上即等于Ak，因而，因而下面式子成立下面式子成立., 1 , 0d)(nkxxlAbakk 結(jié)論結(jié)論1 具有具有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式 bankkkxfAxxfI0)(d)(是插值型求積公式的是插值型求積公式的充要條件充要條件為為: 該公式至少具有該公式至少具有n次次代數(shù)精度。代數(shù)精度。 綜上所述，我們有結(jié)論為綜上所述，我們有結(jié)論為 這時(shí)令這時(shí)令f(x)=1代入又有結(jié)論為代入又有結(jié)論為 結(jié)論結(jié)論2 對(duì)插值型求積公式的系數(shù)必有對(duì)插值型求積公式的系數(shù)必有.d0abxAbankk 其中其中h=max(xi- -xi- -1)，則稱求積公式，

15、則稱求積公式Akf(xk)是是收斂的收斂的.*6.1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定義定義2 在求積公式在求積公式Akf(xk)中，若中，若 nkbakkhndxxfxfA00.)()(lim 在求積公式在求積公式Akf(xk)中，由于計(jì)算中，由于計(jì)算f(xk)可能產(chǎn)可能產(chǎn)生誤差生誤差k，實(shí)際得到，實(shí)際得到 ，即，即 . 記記kkkfxf )(kf.)(, )()(00 nkkknnkkknfAfIxfAfI如果對(duì)任給小正數(shù)如果對(duì)任給小正數(shù)0，只要誤差，只要誤差|k|充分小就有充分小就有,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI它表明求積公式它表明求積公式Akf(xk)計(jì)算是計(jì)算是穩(wěn)定的穩(wěn)定的，由此給出，由此給出,)()()(0 nkkkknnfxfAfIfI 定義定義3 對(duì)任給小正數(shù)對(duì)任給小正數(shù)0，若存在，若存在0，只要，只要 就