論有限元方法的基本原理及其在材料科學(xué)中的應(yīng)用

1、論有限元方法的基本原理及其在材料科學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀 姓名：- 學(xué)號(hào)：06111- 專業(yè)：材料科學(xué)與工程材 料 科 學(xué) 與 技 術(shù) 學(xué) 院2015年4月17日摘要：介紹了有限元法 ( FEM :Finite Element Method ) 的基本原理、特點(diǎn)、應(yīng)用現(xiàn)狀等。關(guān)鍵詞：有限元法、特點(diǎn)、應(yīng)用。1.有限元方法的基本原理、基本思路、應(yīng)用過程、特點(diǎn)1.1有限元方法的基本原理有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。物體被離散為更小的單元后, 通過對各個(gè)單元進(jìn)行分析, 把單元分析結(jié)果組合就得到對整個(gè)分析對象結(jié)構(gòu)的分析。這種方法適合解決區(qū)域比較復(fù)雜

2、的微分方程的定解問題。有限元單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合, 且單元本身又可以有不同的形狀, 因而可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域, 而另一個(gè)重要的數(shù)值方法有限差分法也有將連續(xù)函數(shù)離散化的思想, 但在處理復(fù)雜邊界時(shí)仍存在困難, 其在網(wǎng)格劃分方面遠(yuǎn)不及有限元法靈活。有限元法的一個(gè)重要特點(diǎn)是利用在每一個(gè)單元內(nèi)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上的待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)的近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元的各個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值來表示。這樣一來, 在一個(gè)問題的有限元分析中, 未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量, 使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一旦求解出這些未

3、知量, 就可以通過插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)的場函數(shù)的近似值, 從而得到整個(gè)求解域的近似值。在用單元把求解區(qū)域離散化方面, 存在一個(gè)自由度數(shù)量的選取問題, 自由度選得太少, 近似解的誤差大, 有時(shí)結(jié)果根本沒有應(yīng)用價(jià)值;自由度取得多, 解的近似程度相應(yīng)增大, 但會(huì)導(dǎo)致求解方程的規(guī)模增大,以至于計(jì)算機(jī)無法勝任, 所以有限元的發(fā)展、完善和應(yīng)用與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)。近 20 年來, 計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和存儲(chǔ)容量以驚人的速度提高, 使得有限元法的求解能力迅速提高, 十幾年前, 求解問題的自由度規(guī)模大多數(shù)在幾千個(gè)左右, 現(xiàn)在人們已經(jīng)開始進(jìn)行幾十萬自由度以上規(guī)模問題的分析研究。1.2有限元方法的基本思路有

4、限元法是一種基于變分法而發(fā)展起來的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法,他是通過計(jì)算機(jī)采用分片近似,進(jìn)而逼近整體的研究思想 求解物理問題。先將物體或求解域離散為有限個(gè)互不重僅通過節(jié)點(diǎn) 相互連接的子域,原始邊界條件也被轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的邊界條件。在單元上選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的 變量改寫成由各變量或其倒數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)殘值法,建立有限元方程,從而將微 分方程轉(zhuǎn)化為一組以變量或其倒數(shù)的節(jié)點(diǎn)值為未知量的代數(shù)方程組。進(jìn)而借 助矩陣表示和計(jì)算機(jī)求解代 數(shù)方程組得到原問題 的近似解。有限元法的離散對單元沒有限制,單元可以為不同形狀,且不同單

5、元可以相互連接組合,而且,隨著區(qū)間離散數(shù)目越多,折線越逼近真實(shí)函數(shù),計(jì)算精度就越高。1.3有限元的應(yīng)用過程應(yīng)用于實(shí)際問題須經(jīng)歷以下過程：(1) 問題的數(shù)學(xué)描述。對問題客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)描述(通常是微分方程及邊界條件)是建立有限元方程的前提。單元特性矩陣和整體有限元方程都是基于數(shù)學(xué)模型建立的。常見的彈性力學(xué)基本方程、運(yùn)動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程等都是對客觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。(2) 有限元方程的建立。利用變分原理, 通過離散、單元分析、整體分析等過程, 建立數(shù)學(xué)模型的有限元方程, 它通常是一組易于用數(shù)值方法求解的代數(shù)方程。(3) 算法研究。 有限元方程的計(jì)算量龐大, 須有有效的算法來保證計(jì)算效率和精度, 同時(shí)考

6、慮對計(jì)算條件的要求。如求解大型線性方程組的帶寬法、波前法, 求解大型特征值問題的分塊 Lanczos 法等。(4) 程序開發(fā)。 數(shù)值計(jì)算依賴于計(jì)算機(jī), 因此求解算法需用相應(yīng)的計(jì)算程序來實(shí)現(xiàn)。(5) 有限元建模。對應(yīng)于 FEA 系統(tǒng)的前處理(Pre - pro-cessing)。它為數(shù)值計(jì)算提供所有原始輸入數(shù)據(jù)(節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)和邊界條件數(shù)據(jù))。 因?yàn)槟Ｐ托问街苯記Q定計(jì)算精度和規(guī)模, 且建模所需時(shí)間約占整個(gè) FEA 的 70%左右, 所以建模質(zhì)量和效率是 FEA 的關(guān)鍵。圖 2 列出了有限元建模中的關(guān)鍵技術(shù)。(6) 數(shù)值計(jì)算。對應(yīng)于FEA系統(tǒng)的計(jì)算(Solving)。它由一系列計(jì)算程序組成,

7、計(jì)算程序又稱求解器(solver)。每個(gè)求解器完成特定類型的計(jì)算。因此求解器越多, 系統(tǒng)功能越強(qiáng)。(7) 結(jié)果處理。對應(yīng)于FEA系統(tǒng)的后處理(Post - pro-cessing)。它對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理、顯示、運(yùn)算和列表等。若按照(1) (7)過程, 問題得以解決, 則 FEM 應(yīng)用結(jié)束;反之, 則需根據(jù)求解結(jié)果提出改進(jìn)方案, 循環(huán)執(zhí)行(5) (7)過程, 直至問題解決或得到最佳設(shè)計(jì)。對于一個(gè)全新的問題, 必須從第一步開始。 而對已知的問題, 可從第(5)步開始, 即直接利用已有的 FEA 系統(tǒng), 建立有限元模型。在實(shí)際應(yīng)用中, 絕大多數(shù)問題都屬于第二類問題。1.4有限元方法的特點(diǎn)有限元法經(jīng)過

8、幾十年的發(fā)展,已成為一種通用的數(shù)值計(jì)算方法,其鮮明的特點(diǎn)表現(xiàn)如下:（1）有限元法的基本思想是幾何離散和分片插值,思想簡單樸素,概念清晰易理解。（2）有限元法計(jì)算格式的建立是基于物理概念和純數(shù)學(xué)原理均可推得,數(shù)值計(jì)算的收斂性、穩(wěn)定性均可從理論上得到證明,數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定、高效。（3）由于有限元法的單元不限于均勻規(guī)則單元,所以,有限元法可以處理任意復(fù)雜邊界的結(jié)構(gòu),同時(shí),有限元法可通過選擇單元插值函數(shù)的階 次和單元數(shù)目來控制計(jì)算精度。（4）計(jì)算格式規(guī)范,用矩陣表達(dá),方便處理,易于計(jì)算機(jī)程序化。（5）有限元法是一種通用的數(shù)值計(jì)算方法,應(yīng)用范圍廣,適用于用微分方程表示的物理問題的求解。2.有限元方法在材料科

9、學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)狀FEM 最早應(yīng)用于固體力學(xué)領(lǐng)域, 但由于其解決問題的有效性和實(shí)用性, 很快推廣應(yīng)用于溫度場、電磁場、流場、聲場等連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域。 目前 FEM 的應(yīng)用領(lǐng)域主要包括:2.1靜力分析包括線性非線性靜力分析。 線性靜力分析研究線彈性結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力, 它是工程結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)中最基本的方法。非線性結(jié)構(gòu)靜力分析主要研究外載作用下引起的非線性響應(yīng),其中非線性來源主要是材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性 3 大類。2.2動(dòng)力分析主要包括以下分析類型:(1) 模態(tài)分析。用于求解多自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。下圖為計(jì)算得到的計(jì)算機(jī)主板的前三階振型。(2) 瞬態(tài)響應(yīng)分析。求解在時(shí)域內(nèi)結(jié)構(gòu)承受隨時(shí)間變化的

10、載荷和速度作用時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。(3) 簡諧響應(yīng)分析。對簡諧激勵(lì)結(jié)構(gòu)在其平衡位置的振動(dòng)進(jìn)行分析。(4) 頻譜響應(yīng)分析和隨機(jī)振動(dòng)分析。用于分析結(jié)構(gòu)受已知頻率激勵(lì)時(shí)的最大響應(yīng)。(5) 屈曲和失穩(wěn)分析。分析考察結(jié)構(gòu)的極限承載能力, 研究結(jié)構(gòu)總體或局部的穩(wěn)定性, 獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)和失穩(wěn)路徑。(6) 自動(dòng)接觸分析。用于接觸邊界定義和摩擦分析。2.3失效和破壞分析包括斷裂分析(線彈性斷裂分析和彈塑性斷裂分析)、裂紋萌生與擴(kuò)展分析、跌落分析和疲勞失效分析。下圖是對電視機(jī)進(jìn)行的跌落分析。2.4熱傳導(dǎo)分析包括穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析、熱輻射、強(qiáng)迫對流及溫度的耦合分析。下圖是一個(gè)鑄造過程中的熱傳導(dǎo)分析, 目的是追蹤固化過程中鑄件和模具的溫度分布。2.5聲場分析 它用來研究在含有流體介質(zhì)中聲波的傳播問題, 或分析浸在流體中的固體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。2.6流體分析研究流體速度、壓強(qiáng)、密度變化規(guī)律和粘滯流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及粘滯流體中運(yùn)動(dòng)物體所受阻力及其它熱力學(xué)性質(zhì)。下圖是離心泵葉輪葉片表面相對速度和壓力變化曲線。3.結(jié)束語有限元方法是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的一種數(shù)值計(jì)算方法,隨著有限元理論研究的逐步深入和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,有限元方法得到了廣泛