考研數(shù)學一真題與解析

1、2019年考研數(shù)學一真題解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1當時，若與是同階無窮小，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】當時，所以，所以2設函數(shù)，則是的（ ）（A）可導點，極值點 （B）不可導的點，極值點（C）可導點，非極值點 （D）不可導點，非極值點【答案】（B）【詳解】（1），所以函數(shù)在處連續(xù)；（2），所以函數(shù)在處不可導；（3）當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)減少，所以函數(shù)在取得極大值3設是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級數(shù)中收斂的是（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【詳解】設是單調(diào)增加的有界數(shù)列，由單調(diào)有界定理知存在，記為；又設，滿足，則，

2、且，則對于正項對于級數(shù)，前項和：也就是收斂4設函數(shù)，如果對于上半平面內(nèi)任意有向光滑封閉曲線都有那么函數(shù)可取為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【詳解】顯然，由積分與路徑無關條件知，也就是，其中是在上處處可導的函數(shù)只有（D）滿足5設是三階實對稱矩陣，是三階單位矩陣，若，且，則二次型的規(guī)范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】假設是矩陣的特征值，由條件可得，也就是矩陣特征值只可能是和而，所以三個特征值只能是，根據(jù)慣性定理，二次型的規(guī)范型為6如圖所示，有三張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為，則（ ）（A） （

3、B）（C） （D）【答案】（A）【詳解】(1)顯然三個平面沒有共同交點，也就是非齊次方程組無解，從而；（2）從圖上可看任何兩個平面都不平行，所以；7 設為隨機事件，則的充分必要條件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】選項（A）是互不相容；選項（B）是獨立，都不能得到；對于選項（C），顯然，由，8設隨機變量與相互獨立，且均服從正態(tài)分布則（ ）（A）與無關，而與有關 （B）與有關，而與無關（C）與，都有關 （D）與，都無關【答案】（A）【詳解】由于隨機變量與相互獨立，且均服從正態(tài)分布，則，從而只與有關二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線

4、上）9設函數(shù)可導，則 【答案】解：10微分方程滿足條件的特解為 【答案】【詳解】把方程變形得，即由初始條件確定，所以11.冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù) .看不清楚題目是還是，我以給出解答【答案】【詳解】注意，從而有：12設為曲面的上側，則 【答案】【詳解】顯然曲面在平面的投影區(qū)域為13設為三階矩陣，若線性無關，且，則線性方程組的通解為 【答案】，其中為任意常數(shù)【詳解】顯然矩陣的秩，從而齊次線性方程組的基礎解系中只含有一個解向量由可知也就是為方程組基礎解系，通解為，其中為任意常數(shù)14設隨機變量的概率密度為，為其分布函數(shù)，其數(shù)學期望，則 【答案】【詳解】，三、解答題15（本題滿分10分）設函數(shù)是微分方程滿足

5、條件的特解（1）求；（2）求曲線的凸凹區(qū)間及拐點【詳解】（1）這是一個一階線性非齊次微分方程先求解對應的線性齊次方程的通解：，其中為任意常數(shù)；再用常數(shù)變易法求通解，設為其解，代入方程，得，也就是通解為：把初始條件代入，得，從而得到（2）令得當或時，是曲線的凸區(qū)間；當或時，是曲線的凹區(qū)間曲線的拐點有三個，分別為16（本題滿分10分）設為實數(shù)，函數(shù)在點處的方向?qū)?shù)中，沿方向的方向?qū)?shù)最大 ，最大值為（1）求常數(shù)之值；（2）求曲面的面積【詳解】（1），則；所以函數(shù)在點處的梯度為；由條件可知梯度與方向相同，且也就得到解出或（舍）即（2）17（本題滿分10分）求曲線與軸之間形成圖形的面積【詳解】先求曲線

6、與軸的交點：令得當時，；當時，由不定積分可得，所求面積為18（本題滿分10分）設（1）證明：數(shù)列單調(diào)減少，且；（2）求極限【詳解】（1）證明：，當時，顯然有，所以數(shù)列單調(diào)減少；先設則當時，也就是得到令，則同理，綜合上述，可知對任意的正整數(shù)，均有，即；（2）由（1）的結論數(shù)列單調(diào)減少，且令，由夾逼準則，可知19（本題滿分10分）設是由錐面與平面圍成的錐體，求的形心坐標【詳解】先計算四個三重積分：，從而設形心坐標為注：其實本題如果明白本題中的立體是一個圓錐體，則由體積公式顯然，且由對稱性，明顯，20（本題滿分11分）設向量組為空間的一組基，在這組基下的坐標為（1）求之值；（2）證明：也為空間的一組

7、基，并求到的過渡矩陣【詳解】（1）由可得，解方程組，得且當時，即線性無關，確實是空間的一組基（2），顯然線性無關，當然也為空間的一組基設，則從到的過渡矩陣為21（本題滿分11分）已知矩陣與相似（1）求之值；（2）求可逆矩陣，使得【詳解】（1）由矩陣相似的必要條件可知：，即，解得（2）解方程組得矩陣的三個特征值；分別求解線性方程組得到分屬三個特征值的線性無關的特征向量為：令，則可逆，且；同樣的方法，可求得屬于矩陣的三個特征值的線性無關的特征向量為：令，則可逆，且；由前面，可知令，就滿足22（本題滿分11分）設隨機變量相互獨立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為：，令（1）求的概率密度；（2）為何值時，不相關；（3）此時，是否相互獨立【詳解】（1）顯然的概率密度函數(shù)為先求的分布函數(shù)：再求的概率密度：（2）顯然；由于隨機變量相互獨立，所以；要使不相關，必須，也就是時不相關；（3）顯然不相互獨立，理由如下：設事件，事件，則；，當時，顯然，也就是顯然不