經(jīng)典習(xí)題平面法向量求法及應(yīng)用

1、平面法向量的求法及其應(yīng)用一、 平面的法向量 1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量或，或，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。方法二：任何一個的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。其法向量;若平面與3個坐標(biāo)軸的交點為,如圖所示,則平面方程為:,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。圖1-1C1CByFADxA1D1zB1E方法三(外積法): 設(shè) ,

2、為空間中兩個不平行的非零向量，其外積為一長度等于，（為,兩者交角，且），而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由 的方向轉(zhuǎn)為 的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為的方向,。 （注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。）例1、 已知，試求（1）：（2）：Key: (1) ;例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體中，圖2-1-1BAC求平面AEF的一個法向量。AB圖2-1-2C二、 平面法向量的應(yīng)用1、 求空間角(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則AB與平面所成的角為：圖2-1-1:圖2-1-2:圖2-3圖2-2(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是

3、平面、的法向量，則二面角的平面角為：（圖2-2）;(圖2-3)兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲猓姆较驅(qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。2、 求空間距離（1）、異面直線之間距離:方法指導(dǎo)：如圖2-4,作直線a、b的方向向量、，圖2-4nabAB求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點A、B，作向量；

4、求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為圖2-5AMBNO,其中（2）、點到平面的距離:方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點B為平面外一點，點AAaB圖2-6為平面內(nèi)任一點，平面的法向量為，則點P到平面的距離公式為（3）、直線與平面間的距離:圖2-7AB方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量（4）、平面與平面間的距離:圖2-8a方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面之間的距離：，其中。是平面、的法向量。圖2-9a3、 證明圖2-10（1）、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。（2）、證明線面平行：在圖2-9

5、中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。圖2-11（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）（4）、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。圖3-1CDMAPB三、高考真題新解1、（2005全國I，18）（本大題滿分12分）已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小解:以A點為

6、原點,以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示.，設(shè)平面PAD的法向量為，設(shè)平面PCD的法向量為，即平面PAD平面PCD。，設(shè)平在AMC的法向量為.又,設(shè)平面PCD的法向量為.面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測19題) (本題滿分12分)圖3-2 如圖3-2，在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中點。()求證：AD平面A1BC；()求證：平面A1MC平面A1BD1；()求點A到平面A1MC的距離。解:以D點為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.,設(shè)平面A1BC的法向量為又,即AD/平面A1BC.,設(shè)平面A1MC的法向量為: ,又,設(shè)平面A1BD1的法向量為: ,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點到平面A1MC的距離為:.四、 用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，