考研數(shù)學(xué)三真題與解析

1、2019年考研數(shù)學(xué)三真題解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1當(dāng)時，若與是同階無窮小，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】當(dāng)時，所以，所以2已知方程有三個不同的實根，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【詳解】設(shè)，則令得且，也就是函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；由于方程有三個不同實根，必須滿足，也就得到3已知微分方程的通解為，則依次為（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【詳解】（1）由非齊次線性方程的通解可看出是特征方程的實根，從而確定；（2）顯然，是非齊次方程的特解，代入原方程確定4若級數(shù)絕對收斂，條件收斂，則（

2、）（A）條件收斂 （B）絕對收斂 （C）收斂 （D）發(fā)散 （注：題目來自網(wǎng)上，我感覺選項（C）應(yīng)該有誤差，否則（A），（B）選項顯然沒有（C）選項優(yōu)越，若（A），（B）中有一個正確，則（C）一定正確題目就不科學(xué)了【答案】（B）【詳解】由于條件收斂，則，也就是有界；從而，由正項級數(shù)的比較審斂法，絕對收斂5設(shè)是四階矩陣，為其伴隨矩陣，若線性方程組基礎(chǔ)解系中只有兩個向量，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【詳解】線性方程組基礎(chǔ)解系中只有兩個向量，也就是，所以6設(shè)是三階實對稱矩陣，是三階單位矩陣，若，且，則二次型的規(guī)范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】假

3、設(shè)是矩陣的特征值，由條件可得，也就是矩陣特征值只可能是和而，所以三個特征值只能是，根據(jù)慣性定理，二次型的規(guī)范型為7 設(shè)為隨機(jī)事件，則的充分必要條件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】選項（A）是互不相容；選項（B）是獨(dú)立，都不能得到；對于選項（C），顯然，由，8設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布則（ ）（A）與無關(guān)，而與有關(guān) （B）與有關(guān)，而與無關(guān)（C）與，都有關(guān) （D）與，都無關(guān)【答案】（A）【詳解】由于隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，則，從而只與有關(guān)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【答案】解： 10曲線的拐

4、點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）【答案】【詳解】，；令得，且，所以是曲線的拐點(diǎn)；而對于點(diǎn)，由于，而，所以不是曲線的拐點(diǎn)11. 已知函數(shù)，則 【答案】【詳解】（1）用定積分的分部積分：（2）轉(zhuǎn)換為二重積分：12以分別表示兩個商品的價格設(shè)商品的需求函數(shù)，則當(dāng)時，商品的需求量對自身價格彈性 【答案】【詳解】，當(dāng)時，則邊際需求，商品的需求量對自身價格彈性為13已知矩陣若線性方程組有無窮多解，則 【答案】【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時，線性方程組有無窮多解14設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，為其分布函數(shù)，其數(shù)學(xué)期望，則 【答案】【詳解】，三、解答題15（本題滿分10分）已知函數(shù)，求，并求函數(shù)的極值

5、【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；在處，所以在處不可導(dǎo)綜合上述：；令得到當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，；故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為16（本題滿分10）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，求【詳解】，；17（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)是微分方程滿足條件的特解（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)平面區(qū)域，求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積【詳解】（1）這是一個一階線性非齊次微分方程先求解對應(yīng)的線性齊次方程的通解：，其中為任意常數(shù)；再用常數(shù)變易法求通解，設(shè)為其解，代入方程，得，也就是通解為：把初始條件代入，得，從而得到（2）旋轉(zhuǎn)體的體積為18（本題滿分10分）求曲線與軸之間

6、形成圖形的面積【詳解】先求曲線與軸的交點(diǎn)：令得當(dāng)時，；當(dāng)時，由不定積分可得，所求面積為19（本題滿分10分）設(shè)（1）證明：數(shù)列單調(diào)減少，且；（2）求極限【詳解】（1）證明：，當(dāng)時，顯然有，所以數(shù)列單調(diào)減少；先設(shè)則當(dāng)時，也就是得到令，則同理，綜合上述，可知對任意的正整數(shù)，均有，即；（2）由（1）的結(jié)論數(shù)列單調(diào)減少，且令，由夾逼準(zhǔn)則，可知20（本題滿分11分）已知向量組：；向量組：若向量組和向量組等價，求常數(shù)的值，并將用線性表示【詳解】向量組和向量組等價的充分必要條件是（1）當(dāng)時，顯然， ，兩個向量組等價此時，方程組的通解為，也就是，其中為任意常數(shù)；（2）當(dāng)時，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換如下：顯然，當(dāng)且時

7、，同時，也就是，兩個向量組等價這時，可由線性表示，表示法唯一：21（本題滿分11分）已知矩陣與相似（1）求之值；（2）求可逆矩陣，使得【詳解】（1）由矩陣相似的必要條件可知：，即，解得（2）解方程組得矩陣的三個特征值；分別求解線性方程組得到分屬三個特征值的線性無關(guān)的特征向量為：令，則可逆，且；同樣的方法，可求得屬于矩陣的三個特征值的線性無關(guān)的特征向量為：令，則可逆，且；由前面，可知令，就滿足22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為：，令（1）求的概率密度；（2）為何值時，不相關(guān)；（3）此時，是否相互獨(dú)立【詳解】（1）顯然的概率密度函數(shù)為先求的分布函數(shù)：再求的概率密度：（2）顯然；由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立，所以；要使不相關(guān)，必須，也就是時不相關(guān)；（3）顯然不相互獨(dú)立，理由如下：設(shè)事件，事件，則；，當(dāng)時，顯然，也就是顯然不相互獨(dú)