行列式的計算方法

1、引言2一、行列式的定義及性質(zhì)3（一）行列式的定義及相關(guān)公式3（二）n級行列式的性質(zhì)：5二、行列式的計算6（一）行列式的基本計算方法61、定義法:62、三角形法：73、降階法:124、換元法：145、遞推法：156、數(shù)學(xué)歸納法：177、目標(biāo)行列式法：19（二）行列式的輔助計算方法201、加邊法：202、析因子法：213、連加法：224、拆項法:235、乘積法：24結(jié)束語25參考文獻：26行列式的計算方法摘要 行列式是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分，是高等數(shù)學(xué)的一個基本的概念。行列式產(chǎn)生于解線性方程組中，并且也是最早應(yīng)用于解線性方程組中，并且在其他學(xué)科分支都有廣泛的應(yīng)用，可以說它是數(shù)學(xué)、物理學(xué)以

2、及工科許多課程的重要學(xué)習(xí)工具。行列式也為解決實際問題帶來了許多方便。本文針對行列式這一數(shù)學(xué)工具，進行系統(tǒng)討論，從不同的角度理解了行列式的定義，重點證明了行列式性質(zhì)，介紹一些展開定理，總結(jié)了行列式的幾種計算方法，如定義法、三角形法、降階法、換元法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法及目標(biāo)行列式法。輔助方法有：加邊法、析因子法、乘積法、連加法、拆項法等，并結(jié)合例題說明行列式計算的技巧性和靈活性。關(guān)鍵詞 行列式，計算方法，線性方程組。The Calculation of DeterminantLiuHui(College of Mathematics and Physics Bohai University Lia

3、oning Jinzhou 121000 China)Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first, more

4、over all has the widespread application in other discipline branches, we can say that it is an important study tool which in mathematics, the physics as well as the engineering course many curricula. The determinant also brought about convenient for the solution actual problem. This article in view

5、of the determinant this mathematical instrument, carries on the system discussion, had understood from the different angle to the determinant definition, had proven the nature of the determinant on emphasis, introduced some expansion theorem, summarized several computational methods of the determina

6、nt, such as defining the law, triangular law, lower the steps law, change yuans of law, is it push away law , mathematical induction and goal determinant law to pass, The householder method is as follows, add the law , analyse the factor law , product law, even the addition, dismantle a law and so o

7、n, and union sample question showing determinant computation skill and the flexibility.Key words Order determinat; Computing technology ; Line shape equation group.引言行列式是線性代數(shù)中重要的一部分，它的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線性方程組中，雖然相對整個線性代數(shù)領(lǐng)域來說，它只是一小部分，但是它的作用不可忽視，有著重要的地位。因為在一些數(shù)學(xué)問題中，往往會涉及到行列式問題，而行列式的計算是解決問題的關(guān)鍵。不過它現(xiàn)在的應(yīng)用范圍已拓展得很廣

8、泛，成為很多學(xué)科的重要工具。國際上一些知名的數(shù)學(xué)家如:克蘭姆(cramer),拉普拉斯(laplace),范得蒙(vandermonde)等都對行列式有著深入的研究,并為行列式的計算奠定了理論基礎(chǔ)。行列式的解題方法靈活多樣，技巧性強，有些問題只靠一種方法還不能解決，所以本文就行列式的多種基本方法和輔助方法進行歸納總結(jié)以及進行例證說明。這些方法與技巧也許不能包含所有解法，但隨著知識的發(fā)展我們相信還會有更新的，更好的方法來解決行列式的計算問題。 一、行列式的定義及性質(zhì)（一）行列式的定義及相關(guān)公式在高等代數(shù)（線性代數(shù)）教科書中,對行列式都有如下介紹:1、二級行列式的定義2、三級行列式的定義3、級行列

9、式的定義也就是說級行列式等于所有取自不同行不同列的幾個元素的乘積的代數(shù)和。這里是1,2的一個排列，當(dāng)是偶排列時，式取正號，當(dāng)是奇排列時式取負(fù)號。定義法是計算行列式的根本方法，對任何行列式都適用即級行列式等于所有取自不同行不同列的個元素乘積的代數(shù)和。4、將行列式按行（或列）展開其中=1、2、,是元素的代數(shù)余子式。5、降階定理，其中、C、D都是數(shù)域上的方陣。6、,其中、都是數(shù)域上的方陣。7、，其中、C都是數(shù)域上的方陣。8、分塊矩陣乘法公式:其中、是數(shù)域P上的方陣,、為、的階。9、非零矩陣k左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。 10、,其中是數(shù)域P上的方陣。11、范德蒙行列式

10、 （二）n級行列式的性質(zhì)： 性質(zhì) 1：行列互換，行列式不變。 性質(zhì)2：一個數(shù)乘以行列式的某一行，等于該這個數(shù)乘以此行式 性質(zhì)3：如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這個行列式除這一行外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣。 性質(zhì)4：如果行列式中有兩行相同，那么行列式為為零。所謂兩行相同就是說兩行的對應(yīng)元素相等。 性質(zhì)5：如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。 性質(zhì)6：對換行列式中兩行的位置，行列式反號。 性質(zhì)7：把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。 性質(zhì)8：若行列式D的所有元素都加上同一個數(shù)，則其代數(shù)余子式之和不變。即： ， 則,其中是中的。 性質(zhì)9：若行列式某一行元素都等

11、于1，則行列式等于其所有代數(shù)余子式之和。 性質(zhì)10：設(shè)，則的代數(shù)余子式之和等于 二、行列式的計算（一）行列式的基本計算方法1、定義法: 應(yīng)用級行列式的定義計算其值的方法，稱為定義法。由行列式計算的定義知，也就是說n級行列式等于所有取自不同行不同列的幾個元素的乘積的代數(shù)和。這里是1,2n的一個排列，當(dāng)是偶排列時，式取正號，當(dāng)是奇排列時式取負(fù)號。定義法是計算行列式的根本方法，對任何行列式都適用。例1：計算行列式解：這是一個四級行列式,展開式應(yīng)有4！=24項,但由于出現(xiàn)很多零元素,所以不為零的項只有這一項,而,故。注：對于一個級行列式,按定義展開后共有！項,計算它就需要做?。?1）個乘法,當(dāng)較大時,

12、！是一個相當(dāng)大的數(shù)字,直接從定義來計算行列式幾乎是不可能的,因此,定義法一般很少用。2、三角形法：將行列式化為上三角形或下三角形行列式來計算的一種方法。（1）提公因式法（）行列式各行（列）元素的和都相同，這一類行列式的計算方法是把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因數(shù)，便可轉(zhuǎn)化為（1）的形式或直接化為三角形的形式。例2：計算行列式 分析：這是一個四級行列式，用定義法我們知道它的值是個項的和，能準(zhǔn)確的找出項也是一件麻煩的事情，觀察行列式我們會發(fā)現(xiàn)它每行（列）的和都是，因此經(jīng)過變換提公因數(shù)后會出現(xiàn)全為的一行（列），在化三角形法中，我們最愿意看到的就是一行（列），故解：把所有列都加到第一列，

13、提公因數(shù)，得：由此可見，用提公因數(shù)的方法計算某些行列式，可以減少計算量，降低出現(xiàn)錯誤的可能性。我們再來看一個高階行列式的例子。例3：計算：分析：觀察行列式的特點，行列式每行的和都為，故可提出公因數(shù)使第一列全變?yōu)?，則便形成（1）的形式，同樣可以化為三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因數(shù)，得:再將第一列的倍分別加到第列，得（2）提因式法（）有些行列式，雖然各行（列）元素的和不相同，但第行（列）乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到第一行（列）后，也可以提出公因數(shù)或直接化為三角形。例4：計算分析：這是一個三階行列式用前面介紹的定義法便可求出結(jié)果，即:雖然是三階行列式，但計算量也是相當(dāng)大的，仔細(xì)觀察行列式會發(fā)現(xiàn)，行列

14、式三行的和都是的倍數(shù)，且后兩列的元素分別相差，因此可以進行變換，然后提出公因數(shù)，使計算簡便。解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列減去第三列，則得 （3）比例相加法行列式對角線以下（上）的元素與行列式中某一行（列）的對應(yīng)元素成比例。這樣的行列式，只要把行列式的某一行（列）乘的適當(dāng)倍數(shù)加到其它行（列），即可化為三角形。例5：計算分析：觀察行列式的特點，主對角線下方的元素與第一行元素對應(yīng)相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主對角線下方的元素全部變?yōu)榱?。解：將的第一行的倍分別加到第行上去，可得:例6：計算分析：觀察行列式的特點，次對角線的上方的元素與最后一列的元素對應(yīng)成比例，故用最后一列元素的

15、倍數(shù)加到前面的列上就可使次對角線上方的元素都化為零。解：將最后一列分別乘的后依次加到第列，可得：（4） 逐行相加法。有的行列式的行（列）乘的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，逐行（列）相加后，可化為前面的幾種形式，進而化為三角形或直接化為三角形。例7： 計算分析：觀察行列式的特點，主對角線上方的元素按列（行）成等差數(shù)列，而主對角線下方的元素按行（列）成常數(shù)列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素變?yōu)榱?，而一部分全變?yōu)橄嗤?，從而更有利于化為三角形。一般的，若行列式對角線兩側(cè)的元素有一定的規(guī)律，如：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列或相等時，用逐行（列）相加法可使行列式變的簡單易算。解：從D的第二行起，每行乘以（1）后加到上一

16、行，則得從第一行開始，每行都減去下一行，又得以上的四種方法都是利用化三角形的方法來解求行列式，由定義法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于對角線上元素相乘時要注意前面的符號，為了書寫結(jié)果簡單，通常我們愿意利用主對角線元素的乘積來表示結(jié)果，但若化為次對角線乘積更簡便的方法，只要注意結(jié)果的符號，化為次對角線元素的乘積也是完全正確可行的。3、降階法: 利用行列式的性質(zhì)將行列式的階數(shù)降低，然后再計算行列式的值的方法，稱為降階法。降價法可以將一個階行列式化為個階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將階行列式降階直至化為許多個階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。即在較高階行列式的

17、計算過程中，如果行列式中某一行（或列）中元素較多，或者可以通過采用行列式的性質(zhì)使某一行（列）的大多數(shù)元素化為零，則可通過展開定理，將行列式按該行（列）展開，從而使較高階的行列式計算問題轉(zhuǎn)化為幾個較低階的行列式計算問題，反復(fù)使用多次，直到將原行列式化為易于計算出的較低階的行列式。例8：計算n（n2）階行列式 解：按第一行展開，得再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到例9：計算階行列式，解：將按第一行展開，得右端兩個階行列式再按第行展開得對用相似的方法推導(dǎo)下去，則4、換元法：將行列式的元素進行變換，然后再計算行列式之值的方法稱為換元法。例10：計算行列式解：把視為中每個元素加上x所得

18、，因此 例11：求證 D=，其中f(x)=(-x)( -x)( -x)ab.證明：作行列式D(x) D(x)= 可見D（-a）=f(a),D(-b)=f(b),又根據(jù)行列式的性質(zhì)可知是x的一次多項式，所以可令D(x)=cx+d 又因為D(0)=d=D,所以D(-a)=-ca+D=f(a); D(-b)=-cb+D=f(b),所以 D(x)=.5、遞推法：利用行列式的性質(zhì)，把一個階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，-1階或-1階與-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值。有時要用數(shù)學(xué)

19、歸納法證明其正確性，這種計算行列式值的方法稱為遞推法。例12: 計算行列式解：第1列只有兩個非零元素,不妨按第1列展開,得 ,由此遞推得 注：按此方法解題時,往往會得到一個一般的遞推公式:,此時可先計算出D1、D2、D3等,找出遞推規(guī)律,再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明,進而計算出行列式的值。例13：計算行列式解：按第一行展開得： (1)按遞推關(guān)系 (2)由(1)式又可推導(dǎo)出：，按逆推關(guān)系得 (3)由(2)(3)解得6、數(shù)學(xué)歸納法：利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟，處理行列式的方法，稱為數(shù)學(xué)歸納法。利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想值的嚴(yán)格證明，通常采用第二形數(shù)學(xué)歸納法較多。一般用于證明行

20、列式的正確性。例14：證明：當(dāng)時，有：結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對小于等于時成立。即有：將按第列展開，得：=故當(dāng)對時，等式也成立。例15：證明行列式證明：當(dāng)時，結(jié)論成立。假設(shè)對于時，結(jié)論成立，當(dāng)時，從第行開始，逐行減去上面相鄰行的倍得按第一行展開得提取各列公因子得到的階行列式，由數(shù)學(xué)歸納的假設(shè)知其值為于是稱上述行列式為范德蒙行列式。在計算行列式中，如果有行列式可以化成范德蒙行列式則可以直接利用范德蒙行列式的計算結(jié)果，會使計算簡便。7、目標(biāo)行列式法：將行列式化成一些已知其計算方法的行列式來計算的方法稱為目標(biāo)行列式法，常見的有化數(shù)字行列式為三角行列式計算。又如范德蒙行列式有些行列式構(gòu)造相似范德蒙行列

21、式，則以范德蒙行列式為目標(biāo)，轉(zhuǎn)化計算。例16：計算行列式D=解： = - - =VV=（二）行列式的輔助計算方法1、加邊法：有時為了便于計算行列式，特意把行列式加邊升階進行計算，這種方法稱之為加邊階法。加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為-1個元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。例17：計算行列式解：加一行一列使將第一行的()倍，加到其余各行

22、，得顯然如果a=b原行列式如果ab，將其余各列都乘以，加到第一列，得 2、析因子法： 對于元素均為個位數(shù)的n級行列式D。證明D可被某整數(shù)整除。一般證法為將第1列乘上第二列乘上，第n-1列乘上10，都加到第n列上，由第n列可被某數(shù)整除而證D可被整除。例18：已知2196、2394、1800、1998能被18整除。不計算行列式D的值。證明D可被18整除。 D=證明：將1、2、3列分別乘上、10加到第4列上得D=行列式的第4列可被整除18，所以18整除D又因，2×9=18。D的3、4兩列分別可被9、2整除，由行列式性質(zhì)知D可被18整除。3、連加法：若行列式中某列（行）加上其余乘上某因子的各列（行），使該列（行）元素均相等或出現(xiàn)較多零，從而簡化行列式計算的方法稱為連加法。例19、計算行列式D=解：這個行列式的特點是各列元素之和都是x+(n-1)a，先把第2行至第n行元素同時加到第1行，并提出公因式，得D=x+(n-1)a =x+(n-1)a =x+(n-1)a.4、拆項法:由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列