第六章第2講　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考第第2講等差數(shù)列及其前講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和項(xiàng)和抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理(1)等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于與前一項(xiàng)的差等于_，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(公差常用字母公差常用字母“d”表示表示)即即anan1_(n2，nN)1等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式同一個(gè)常數(shù)同一個(gè)常數(shù)d抓住抓住

2、3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為，公差為d，則通項(xiàng)公式為，則通項(xiàng)公式為an_；若已知第；若已知第m項(xiàng)項(xiàng)am和公和公差差d，通項(xiàng)，通項(xiàng)an還可寫成還可寫成an_.(1)若數(shù)列若數(shù)列an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則anam_(n、mN*)(2)數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，若mnpq(m，n，p，qN*)，則，則aman_特別地，若特別地，若mn2p，則，則aman_.a1(n1)dam(nm)d.2等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)(nm)dapaq2ap抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考

3、點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)在有窮等差數(shù)列在有窮等差數(shù)列an中，與首、末兩項(xiàng)距離相等的任意中，與首、末兩項(xiàng)距離相等的任意兩項(xiàng)之和與首、末兩項(xiàng)之和相等，如兩項(xiàng)之和與首、末兩項(xiàng)之和相等，如a1ana2_.an1抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考annd抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和(3)最值問題：在等差數(shù)列最值問題：在等差數(shù)列an中，中，a10，d0，則，則Sn存在存在_，若，若a10，d0，則，則Sn存在存在_最大值最大值最小值最小值抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考

4、向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考一個(gè)命題解讀一個(gè)命題解讀等差數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查等差數(shù)列的通等差數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容對項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容對等差數(shù)列的定義，性質(zhì)及等差中項(xiàng)的考查，以填空為主，等差數(shù)列的定義，性質(zhì)及等差中項(xiàng)的考查，以填空為主，難度較小通項(xiàng)公式與前難度較小通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和相結(jié)合的題目，多出現(xiàn)在項(xiàng)和相結(jié)合的題目，多出現(xiàn)在解答題中，難度中等解答題中，難度中等對這部分內(nèi)容的考查仍會堅(jiān)持小題考性質(zhì)、大題考靈活運(yùn)對這部分內(nèi)容的考查仍會堅(jiān)持小題考性質(zhì)、大題考靈活運(yùn)用知識分析問題、解決問

5、題的能力用知識分析問題、解決問題的能力【助學(xué)助學(xué)微博微博】抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考等差數(shù)列的判斷方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一為同一常數(shù)；常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)都成都成立；立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq；(4)前前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2Bn.注注后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列來證明等差數(shù)列抓住抓住3個(gè)考

6、點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考1設(shè)設(shè)Sn是等差數(shù)列是等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和，已知項(xiàng)和，已知a23，a611， 則則S7_. 答案答案49 解析解析設(shè)公差為設(shè)公差為d.則則a5a23d6， a6a33d7613. 答案答案13考點(diǎn)自測考點(diǎn)自測2在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a37，a5a26，則，則a6_.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，a100，a110，n10時(shí)，時(shí)，Sn最大最大答案答案103已知等差數(shù)列的公差已知等差數(shù)列的公差d0，前，前n項(xiàng)和記為項(xiàng)和記

7、為Sn，滿足，滿足S200，S210，則當(dāng)，則當(dāng)n_時(shí)，時(shí)，Sn達(dá)到最大值達(dá)到最大值抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S11；當(dāng)；當(dāng)n2時(shí)時(shí)，a an nS Sn nS Sn n1 12n23n2(n1)23(n1)54n.顯然顯然a1符合符合an，所以，所以an54n(nN*)答案答案54n4(2012 2南通第一學(xué)期期末考試南通第一學(xué)期期末考試)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn2n23n，則數(shù)列，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為_抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考

8、點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若數(shù)列若數(shù)列an是等差數(shù)列，求數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前6項(xiàng)和項(xiàng)和S6；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn是公差為是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式式解解(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍11，a22，數(shù)列，數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，所以所以ann.所以所以b1b3b51，b25，b49，b613.所以所以S6b1b2b630.考向一考向一等差數(shù)列基本量的計(jì)算等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例例1】 (2012蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a11，a22.數(shù)列數(shù)列bn滿足滿足bnan1(1)nan，nN*.

9、抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)因?yàn)橐驗(yàn)閎1a2a1211，數(shù)列，數(shù)列bn是公差為是公差為2的等差的等差數(shù)列，所以數(shù)列，所以bn2n1.因?yàn)橐驗(yàn)閎2n1a2na2n14n3，b2na2n1a2n4n1，所以所以a2n1a2n12.故故a2n3a2n12.所以所以a2n3a2n1.又又a11，所以，所以a31.故故a4n3a11，a4n1a31.所以所以a2n11.則則a2n4n2.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中，共涉項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量，知三

10、可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出及五個(gè)量，知三可求二，如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)去考慮也可以體方程組解之如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)去考慮也可以體現(xiàn)了用方程解決問題的思想現(xiàn)了用方程解決問題的思想抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前k項(xiàng)和項(xiàng)和Sk35，求，求k的值的值解解(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為d，則，則ana1(n1)d.由由a11，a33可得可得12d3.解得解得d2.從而，從而，an1(n1)(2)32n.【訓(xùn)練訓(xùn)練1】 (2011

11、福建卷福建卷)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a11，a33.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求數(shù)列求數(shù)列an及及bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)是否存在常數(shù)是否存在常數(shù)a0且且a1，使得數(shù)列，使得數(shù)列anlogabn(nN*)是常數(shù)列？若存在，求出是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理的值；若不存在，請說明理由由考向二考向二等差數(shù)列的判定或證明等差數(shù)列的判定或證明抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考從而從而(anan1)(anan14)0.因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以anan14

12、.所以當(dāng)所以當(dāng)a11時(shí)，時(shí)，an4n3；當(dāng)；當(dāng)a13時(shí)，時(shí)，an4n1.又因?yàn)楫?dāng)又因?yàn)楫?dāng)a11時(shí)，時(shí)，a1，a2，a7分別為分別為1,5,25，能構(gòu)成等比，能構(gòu)成等比數(shù)列，所以數(shù)列，所以an4n3，bn5n1；當(dāng)當(dāng)a13時(shí)，時(shí)，a1，a2，a7分別為分別為3,7,27，不能構(gòu)成等比數(shù)，不能構(gòu)成等比數(shù)列，故舍去列，故舍去所以所以an4n3，bn5n1.抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法，而對于通項(xiàng)公式法和前法，而對于通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適合在填空項(xiàng)和公式法

13、主要適合在填空題中簡單判斷另外，求數(shù)列通項(xiàng)，一般要作出是否是等題中簡單判斷另外，求數(shù)列通項(xiàng)，一般要作出是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)設(shè)設(shè)bnan1an(nN*)，證明：，證明：bn是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(3)若若a3是是a6與與a9的等差中項(xiàng)，求的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對任意的的值，并證明：對任意的nN*，an是是an3與與an6的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng)(1)證明證明由題設(shè)由題設(shè)an1(1q)anqan1(n2)，得得an1anq(anan1)，即即b

14、nqbn1，n2.由由b1a2a11，q0，所以所以bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1，公比為，公比為q的等比數(shù)列的等比數(shù)列【訓(xùn)練訓(xùn)練2】 已知已知數(shù)列數(shù)列an中，中，a11，a22，且，且an1(1q)anqan1(n2，q0)抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由由(1)知，知，a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)將以上各式相加，得將以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，即即ana11qqn2(n2)上式對上式對n1顯然成立顯然成立抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)解解由由(2)，當(dāng)，當(dāng)q1時(shí)，顯然時(shí)，顯然

15、a3不是不是a6與與a9的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，故故q1.由由a3a6a9a3可得可得q5q2q2q8，由由q0得得q311q6，整理得整理得(q3)2q320，解得，解得q32或或q31(舍去舍去)抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列，求數(shù)列|an|的的前前n項(xiàng)和項(xiàng)和考向三等差數(shù)列前考向三等差數(shù)列前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用項(xiàng)和及綜合應(yīng)用【例例3】 (1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，已知中，已知a120，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，且且S10S15，求當(dāng)，求當(dāng)n取何值時(shí)，取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它

16、取得最大值，并求出它的最大值的最大值抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考方法總結(jié)方法總結(jié) 求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值求得和的最值(2)利用等差數(shù)列的前利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和SnAn2Bn(A、B為常數(shù)為常數(shù)

17、)為為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列求證：數(shù)列bnan為等比數(shù)列；為等比數(shù)列；(3)求求bn前前n項(xiàng)和的最小值項(xiàng)和的最小值抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例4】 (1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a1a

18、2a324，a18 a19a2078，則此數(shù)列前，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于項(xiàng)和等于_考向四考向四等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(1)180(2)15方法總結(jié)方法總結(jié) 高考對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的考查，常常涉及項(xiàng)高考對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的考查，常常涉及項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此突破這些問題的關(guān)鍵是歸納和與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此突破這些問題的關(guān)鍵是歸納和總結(jié)一些基本的性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)對問題進(jìn)行合理總結(jié)一些基本的性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)對問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，從而求解的轉(zhuǎn)化，從而求解抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)

19、考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考 近幾年高考中，對等差數(shù)列的概念通項(xiàng)公式、性近幾年高考中，對等差數(shù)列的概念通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前質(zhì)、前n項(xiàng)和公式的考查始終沒有放松一方面考查知項(xiàng)和公式的考查始終沒有放松一方面考查知識的掌握情況，另一方面考查數(shù)學(xué)推理能力識的掌握情況，另一方面考查數(shù)學(xué)推理能力(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)突破17 等差數(shù)列的綜合問題等差數(shù)列的綜合問題抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考反思與回顧反思與回顧 第三步第三步：高考考查等差數(shù)列時(shí)，?？疾椋焊呖伎疾榈炔顢?shù)列時(shí)，?？疾榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、求和、裂項(xiàng)法求和和公式法求和等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)、求和、裂項(xiàng)法求和和公式法求和等知識等知識抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012重慶卷改編重慶卷改編)在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，a21，a45， 則則an的前的前5項(xiàng)和項(xiàng)和S5_. 答案答案15高考經(jīng)典題組訓(xùn)練高考經(jīng)典題組訓(xùn)練抓住抓住3個(gè)考點(diǎn)個(gè)考點(diǎn)突破突破4個(gè)考向個(gè)考向揭秘揭秘3年高考年高考解析