14等差與等比數(shù)列綜合

1、江蘇省江蘇省 2014 屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編 14：等差與等比數(shù)列綜合：等差與等比數(shù)列綜合填空題1. 數(shù)列na中,12a ,1nnaacn(c是常數(shù),12 3n ，),且123aaa，成公比不為1的等比數(shù)列,則na的通項公式是_. 【答案】22nann2. 已知數(shù)列滿足,則=_. na143a *11226nnanNa11niia【答案】 2 324nn3. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=18,S3=26,則an的公比q=_.【答案】34. 設(shè)數(shù)列an滿足:,則a1的值大于 20 的概率為_.*3118220()nnnnaaaaanN，【答案】

2、 145. 已知數(shù)列na滿足122nnaqaq（q為常數(shù)，| 1q ） ，若3456,a a a a 18, 6, 2,6,30，則1a 【答案】2或 1266. 觀察下列等式: =1-, +=1-, +31 21212231 21242 312213 2231 21242 3122=1-,由以上等式推測到一個一般的結(jié)論:對于nN*,53 412314 23 +=_.31 21242 3122n2nn112n【答案】 nn21117. 已知等比數(shù)列na的首項是1,公比為 2,等差數(shù)列 nb的首項是1,公差為1,把 nb 中的各項按照如下規(guī)則依次插入到na的每相鄰兩項之間,構(gòu)成新數(shù)列nc:112

3、2334,a b a b b a b 564,b b a,即在na和1na兩項之間依次插入 nb中n個項,則2013c_.【答案】1951 8. 若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則當(dāng)時,數(shù)列也是等比數(shù)列;類比 na12nnnba aa nb上述性質(zhì),若數(shù)列是等差數(shù)列,則當(dāng)_時,數(shù)列也是等差數(shù)列. ncnd nd【答案】 ncccn219. 已知等差數(shù)列滿足:,.若將,都加上同一個數(shù),所得的三個數(shù)依次成等 na21a02a1a4a5a比數(shù)列,則所加的這個數(shù)為_.【答案】 710.過點(diǎn)作曲線:的切線,切點(diǎn)為,設(shè)在軸上的投影是點(diǎn),過點(diǎn)再作曲線的( 1 0)P ，Cexy 1T1Tx1H1HC切線,切

4、點(diǎn)為,設(shè)在軸上的投影是點(diǎn),依次下去,得到第個切點(diǎn).則點(diǎn)的2T2Tx2H1n ()nN1nT1nT坐標(biāo)為_.【答案】 enn，11.已知數(shù)列an滿足 3an+1+an=4(nN*),且a1=9,其前n項之和為Sn,則滿足不等式|Sn-n-6|2 的n的取值范圍.nnnab2nT nbnT(3)設(shè)為非零整數(shù),),試確定的值,使得對任意,都有(2) 1(41nannnc*nN*nN成立.nncc1【答案】解:(1)由已知,(,), 111nnnnSSSS2n*nN即(,),且. 11nnaa2n*nN211aa數(shù)列是以為首項,公差為 1 的等差數(shù)列. na12a 1nan(2) , 1nannnnb

5、21) 1( 21231111123(1).(1)22221111123(1).(2)22222nnnnnnTnnTnn L 23111111(1)(2)1(1)22222nnnTn L得： nTnn233代入不等式 得: 01232233nnnn，即設(shè) 022)() 1(, 123)(1nnnnfnfnnf則在上單調(diào)遞減, )(nfN, 041)3(, 041)2(, 01) 1 (fff當(dāng)n=1,n=2 時, ( )0,3( )0f nnf n當(dāng)時，所以n的取值范圍.為 3,nnN且(3),要使恒成立, 1,nanQ114( 1)2nnnnc 1nncc即恒成立, 1211144( 1)2

6、( 1)20nnnnnnnncc 恒成立,恒成立, 113 43( 1)20nnn 11( 1)2nn(i)當(dāng)為奇數(shù)時,即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,有最小值為 ,. n12n1n 12n11(ii)當(dāng)為偶數(shù)時,即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,有最大值, .即n12n 2n 12n22 ,又為非零整數(shù),則 21 1 綜上所述:存在,使得對任意的,都有 1 nN1nncc22.已知等差數(shù)列an的首項a1為a(,0)aR a.設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn ,且對任意正整數(shù)n都有24121nnanan. (1) 求數(shù)列an的通項公式及Sn ;(2) 是否存在正整數(shù)n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比數(shù)列?若

7、存在,求出n和k的值;若不存在,請說明理由.【答案】 23.設(shè)是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和.記,其中naad)0(dnSncnnSbnn2*Nn為實(shí)數(shù).c(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();0c421bbb，knkSnS2*,Nnk(2)若是等差數(shù)列,證明:.nb0c【答案】本題主要考察等差數(shù)列等比數(shù)列的定義.通項.求和等基礎(chǔ)知識,考察分析轉(zhuǎn)化能力及推理論證能力. 證明:是首項為,公差為的等差數(shù)列,是其前項和 naad)0(dnSn dnnnaSn2) 1( (1) 0cdnanSbnn21成等比數(shù)列 421bbb，4122bbb)23()21(2daada 041212dad0)2

8、1(21dad0dda21ad2 anannnadnnnaSn222) 1(2) 1(左邊= 右邊= aknankSnk222)(aknSnk222左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: nb1d11) 1(dnbbncnnSbnn2 對恒成11) 1(dnbcnnSn2)()21()21(11121131bdcncdndadbndd Nn立 0)(0021021111111bdccddadbdd由式得: dd2110d01d由式得: 0c法二:證:(1)若,則,. 0cdnaan) 1( 22) 1(adnnSn22) 1(adnbn當(dāng)成等比數(shù)列, 421bbb，4122bb

9、b 即:,得:,又,故. 2322daadaadd220dad2由此:,. anSn2aknankSnk222)(aknSnk222故:(). knkSnS2*,Nnk(2), cnadnncnnSbnn22222) 1( cnadncadncadnn2222) 1(22) 1(22) 1(. () cnadncadn222) 1(22) 1(若是等差數(shù)列,則型. nbBnAnbn觀察()式后一項,分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 022) 1(2cnadnc022) 1(adnc22) 1(adn故. 0c經(jīng)檢驗,當(dāng)時是等差數(shù)列. 0cnb24.已知等差數(shù)列 na的前n項和為nS,公差

10、,50, 053SSd且1341,aaa成等比數(shù)列.()求數(shù)列 na的通項公式;()設(shè)nnab是首項為 1,公比為 3 的等比數(shù)列,求數(shù)列 nb的前n項和nT.【答案】解:()依題意得 )12()3(5025452233112111daadadada 解得231da, 1212) 1(23) 1(1nanndnaann即， ()13nnnab,113) 12(3nnnnnab 123) 12(37353nnnT nnnnnT3) 12(3) 12(3735333132 nnnnT3) 12(3232323212 nnnnn323) 12(31)31 (3231 nnnT3 25.已知數(shù)列na的

11、前n項和為nS.()若數(shù)列na是等比數(shù)列,滿足23132aaa, 23a是2a,4a的等差中項,求數(shù)列 na的通項公式;()是否存在等差數(shù)列na,使對任意*nN都有22(1)nnaSnn?若存在,請求出所有滿足條件的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.【答案】解:()設(shè)等比數(shù)列 na的首項為1a,公比為q, 依題意,有).2(2,32342231aaaaaa即)2(. 42)() 1 (,3)2(2131121qaqqaqaqa 由 ) 1 (得 0232 qq,解得1q或2q. 當(dāng)1q時,不合題意舍; 當(dāng)2q時,代入(2)得21a,所以,nnna2221 ()假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列na,設(shè)此數(shù)列

12、的公差為d,則 方法 1: 211(1)(1) 2(1)2n nand a ndnn,得 222222111331()()222222dna ddnaa ddnn對*nN恒成立, 則22122112,232,2310,22da ddaa dd 解得12,2,da或12,2.da 此時2nan,或2nan . 故存在等差數(shù)列na,使對任意*nN都有22(1)nnaSnn.其中2nan, 或2nan 方法 2:令1n ,214a ,得12a , 令2n ,得2212240aaa, 當(dāng)12a 時,得24a 或26a , 若24a ,則2d ,2nan,(1)nSn n,對任意*nN都有22(1)nn

13、aSnn; 若26a ,則8d ,314a ,318S ,不滿足23323(31)aS. 當(dāng)12a 時,得24a 或26a , 若24a ,則2d ,2nan ,(1)nSn n ,對任意*nN都有22(1)nnaSnn; 若26a ,則8d ,314a ,318S ,不滿足23323(31)aS. 綜上所述,存在等差數(shù)列na,使對任意*nN都有22(1)nnaSnn.其中2nan,或2nan 26.設(shè)數(shù)列 na的前n項和為nS,滿足21nnaSAnBn(0A ).(1)若132a ,294a ,求證數(shù)列nan是等比數(shù)列,并求數(shù)列 na的通項公式;(2)已知數(shù)列 na是等差數(shù)列,求1BA的值.【答案】 27.已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列na和 nb滿足:221nnnnnbabaa,*Nn,(1)設(shè)nnnabb11,*Nn,求證:數(shù)列2nnba是等差數(shù)列;(2)設(shè)nnnabb21,*Nn,且na是等比數(shù)列,求1a和1b的值.【答案】解:(1)nnnabb11,11222=1nnnnnnnnabbaabba. 2111nnnnbbaa. 222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa .數(shù)列2nnba是以 1 為公差的等差數(shù)列.(2)00nna b ，,22222nnnnnnabab ab.12212nnnnnab知0q,